「証明」について
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国立 高知大学 2012年 第1問次の問いに答えよ．
(1)不等式$x^2+y^2<1$の表す領域を$xy$平面上に図示せよ．
(2)不等式$|x|+|y|<2$の表す領域を$xy$平面上に図示せよ．
(3)実数$x,\ y$が$x^2+y^2<5$をみたすとき，$|x|<3$かつ$|y|<3$が成り立つことを示せ．
(4)任意の実数$x,\ y$に対して，$|x|+|y| \leqq 2\sqrt{x^2+y^2}$が成り立つことを示せ．
(1)不等式$x^2+y^2<1$の表す領域を$xy$平面上に図示せよ．
(2)不等式$|x|+|y|<2$の表す領域を$xy$平面上に図示せよ．
(3)実数$x,\ y$が$x^2+y^2<5$をみたすとき，$|x|<3$かつ$|y|<3$が成り立つことを示せ．
(4)任意の実数$x,\ y$に対して，$|x|+|y| \leqq 2\sqrt{x^2+y^2}$が成り立つことを示せ．
国立 千葉大学 2012年 第12問$\ell,\ n,\ d$を自然数とする．このとき自然数の積$(2\ell +1)nd$は，ある自然数$a$と$2$以上の整数$m$を用いて
\[ (2 \ell+1)nd=\sum_{i=1}^m \{a+(i-1)d \} \]
と表せることを証明せよ．
\[ (2 \ell+1)nd=\sum_{i=1}^m \{a+(i-1)d \} \]
と表せることを証明せよ．
国立 弘前大学 2012年 第3問座標平面に点$\mathrm{E}(1,\ 0)$，$\mathrm{F}(1,\ 1)$，$\mathrm{F}^\prime(-5,\ 11)$がある．さらに点$\mathrm{E}^\prime$は第1象限にあり，$\mathrm{O}$を原点とするとき，三角形$\mathrm{OE}^\prime \mathrm{F}^\prime$は角$\mathrm{E}^\prime$が直角の二等辺三角形である．
(1)点$\mathrm{E}^\prime$の座標を求めよ．
(2)点$\mathrm{E}$を点$\mathrm{E}^\prime$に，点$\mathrm{F}$を点$\mathrm{F}^\prime$に移すような1次変換を$f$とする．$f$を表す行列を求めよ．
(3)座標平面に三角形$\mathrm{OPQ}$があり，(2)の1次変換$f$により点$\mathrm{P}$が点$\mathrm{P}^\prime$に，点$\mathrm{Q}$が点$\mathrm{Q}^\prime$に移るとする．三角形$\mathrm{OPQ}$と三角形$\mathrm{OP}^\prime \mathrm{Q}^\prime$は相似であることを示せ．
(1)点$\mathrm{E}^\prime$の座標を求めよ．
(2)点$\mathrm{E}$を点$\mathrm{E}^\prime$に，点$\mathrm{F}$を点$\mathrm{F}^\prime$に移すような1次変換を$f$とする．$f$を表す行列を求めよ．
(3)座標平面に三角形$\mathrm{OPQ}$があり，(2)の1次変換$f$により点$\mathrm{P}$が点$\mathrm{P}^\prime$に，点$\mathrm{Q}$が点$\mathrm{Q}^\prime$に移るとする．三角形$\mathrm{OPQ}$と三角形$\mathrm{OP}^\prime \mathrm{Q}^\prime$は相似であることを示せ．
国立 東京医科歯科大学 2012年 第3問関数$f(x)=x^3-x^2+x$について，以下の各問いに答えよ．
(1)$f(x)$はつねに増加する関数であることを示せ．
(2)$f(x)$の逆関数を$g(x)$とおく．$x>0$について
\[ \sqrt[3]{x}-1 < g(x) < \sqrt[3]{x}+1 \]
が成立することを示せ．
(3)$b>a>0$について
\[ 0<\int_a^b \frac{1}{x^2+1}\, dx<\frac{1}{a} \]
が成立することを示せ．
(4)自然数$n$について，(2)で定義された$g(x)$を用いて
\[ A_n=\int_n^{2n} \frac{1}{\{g(x)\}^3+g(x)} \, dx \]
とおくとき，極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty} A_n$を求めよ．
(1)$f(x)$はつねに増加する関数であることを示せ．
(2)$f(x)$の逆関数を$g(x)$とおく．$x>0$について
\[ \sqrt[3]{x}-1 < g(x) < \sqrt[3]{x}+1 \]
が成立することを示せ．
(3)$b>a>0$について
\[ 0<\int_a^b \frac{1}{x^2+1}\, dx<\frac{1}{a} \]
が成立することを示せ．
(4)自然数$n$について，(2)で定義された$g(x)$を用いて
\[ A_n=\int_n^{2n} \frac{1}{\{g(x)\}^3+g(x)} \, dx \]
とおくとき，極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty} A_n$を求めよ．
国立 奈良女子大学 2012年 第3問$a$と$b$は異なる整数で，ともに$0$以上$9$以下とする．有理数$x$が次のように循環小数で表されているとする．
\[ x=0.abababab \cdots \]
次の問いに答えよ．
(1)$99x$は自然数であることを示せ．
(2)$33x$が自然数となるような$x$を$1$つ求めよ．
(3)$11x$が自然数となるときの$a+b$の値を求めよ．
\[ x=0.abababab \cdots \]
次の問いに答えよ．
(1)$99x$は自然数であることを示せ．
(2)$33x$が自然数となるような$x$を$1$つ求めよ．
(3)$11x$が自然数となるときの$a+b$の値を求めよ．
国立 高知大学 2012年 第1問次の問いに答えよ．
(1)不等式$x^2+y^2<1$の表す領域を$xy$平面上に図示せよ．
(2)不等式$|x|+|y|<2$の表す領域を$xy$平面上に図示せよ．
(3)実数$x,\ y$が$x^2+y^2<5$をみたすとき，$|x|<3$かつ$|y|<3$が成り立つことを示せ．
(4)任意の実数$x,\ y$に対して，$|x|+|y| \leqq 2\sqrt{x^2+y^2}$が成り立つことを示せ．
(1)不等式$x^2+y^2<1$の表す領域を$xy$平面上に図示せよ．
(2)不等式$|x|+|y|<2$の表す領域を$xy$平面上に図示せよ．
(3)実数$x,\ y$が$x^2+y^2<5$をみたすとき，$|x|<3$かつ$|y|<3$が成り立つことを示せ．
(4)任意の実数$x,\ y$に対して，$|x|+|y| \leqq 2\sqrt{x^2+y^2}$が成り立つことを示せ．
国立 高知大学 2012年 第3問点Oを中心とする半径1の円に内接する正十角形の隣り合う頂点をA，Bとする．また，$\angle \text{OAB}$の二等分線と直線OBの交点をCとする．次の問いに答えよ．
(1)$\triangle$ABCと$\triangle$OABは相似になることを示せ．
(2)辺ABの長さを求めよ．
(3)$\displaystyle \cos \frac{2\pi}{5}$を求めよ．
(4)半径1の円に内接する正五角形の一辺の長さを求めよ．
(1)$\triangle$ABCと$\triangle$OABは相似になることを示せ．
(2)辺ABの長さを求めよ．
(3)$\displaystyle \cos \frac{2\pi}{5}$を求めよ．
(4)半径1の円に内接する正五角形の一辺の長さを求めよ．
国立 佐賀大学 2012年 第1問座標空間内で，原点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}(1,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{B}(b_1,\ b_2,\ 0)$，$\mathrm{C}(c_1,\ c_2,\ c_3)$を頂点とする正四面体を考える．ただし，$b_2$と$c_3$は正とする．次の問いに答えよ．
(1)$b_1,\ b_2$および$c_1,\ c_2,\ c_3$を求めよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{BC}}$は垂直であることを示せ．
(3)$\mathrm{P}$は直線$\mathrm{BC}$上の点で，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$と$\overrightarrow{\mathrm{BC}}$は垂直であるとする．$\mathrm{P}$の座標を求めよ．また$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$と$\overrightarrow{\mathrm{BC}}$は垂直であることを示せ．
(1)$b_1,\ b_2$および$c_1,\ c_2,\ c_3$を求めよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{BC}}$は垂直であることを示せ．
(3)$\mathrm{P}$は直線$\mathrm{BC}$上の点で，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$と$\overrightarrow{\mathrm{BC}}$は垂直であるとする．$\mathrm{P}$の座標を求めよ．また$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$と$\overrightarrow{\mathrm{BC}}$は垂直であることを示せ．
国立 岩手大学 2012年 第5問3次関数$y=f(x)$が$x=1-\sqrt{3}$と$x=1+\sqrt{3}$において極値をとり，点$(3,\ f(3))$における$y=f(x)$のグラフの接線が直線$y=4x-27$であるとき，次の問いに答えよ．
(1)$f(x)$を求めよ．
(2)$x \geqq 0$のとき，$f(x) \geqq 3x^2-14x$が成立することを示せ．
(1)$f(x)$を求めよ．
(2)$x \geqq 0$のとき，$f(x) \geqq 3x^2-14x$が成立することを示せ．
国立 岩手大学 2012年 第5問3次関数$y=f(x)$が$x=1-\sqrt{3}$と$x=1+\sqrt{3}$において極値をとり，点$(3,\ f(3))$における$y=f(x)$のグラフの接線が直線$y=4x-27$であるとき，次の問いに答えよ．
(1)$f(x)$を求めよ．
(2)$x \geqq 0$のとき，$f(x) \geqq 3x^2-14x$が成立することを示せ．
(1)$f(x)$を求めよ．
(2)$x \geqq 0$のとき，$f(x) \geqq 3x^2-14x$が成立することを示せ．