行列$A=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \right)$は次の条件をみたすものとする．
\begin{eqnarray}
a+d=1,\ & & A^2-A-2E=O \nonumber \\
& & (\text{ただし，}E \text{は単位行列で，}O \text{は零行列である．}) \nonumber
\end{eqnarray}
このとき，次の問いに答えよ．

(1)次の関係をみたす実数$x,\ y$は$x=y=0$に限ることを示せ．
\[ xA+yE=O \]
(2)自然数$n$に対し，$A^n$はある実数$x_n,\ y_n$を用いて，$A^n=x_n A+y_n E$の形で表せることを示し，数列$\{x_n-y_n\},\ \{2x_n+y_n\}$の一般項を求めよ．
(3)自然数$n$に対し，$A^n=\left( \begin{array}{cc}
p_n & q_n \\
r_n & s_n
\end{array} \right)$とおく．$p_n+s_n$を求めよ．

四面体$\mathrm{OABC}$において，次が満たされているとする．
\[ \overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{\mathrm{OB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{\mathrm{OC}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OA}} \]
点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$を通る平面を$\alpha$とする．点$\mathrm{O}$を通り平面$\alpha$と直交する直線と，平面$\alpha$との交点を$\mathrm{H}$とする．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{BC}}$は垂直であることを示せ．
(2)点$\mathrm{H}$は$\triangle \mathrm{ABC}$の垂心であること，すなわち$\overrightarrow{\mathrm{AH}} \perp \overrightarrow{\mathrm{BC}},\ \overrightarrow{\mathrm{BH}} \perp \overrightarrow{\mathrm{CA}},\ \overrightarrow{\mathrm{CH}} \perp \overrightarrow{\mathrm{AB}}$を示せ．
(3)$|\overrightarrow{\mathrm{OA}}|=|\overrightarrow{\mathrm{OB}}|=|\overrightarrow{\mathrm{OC}}|=2,\ \overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{\mathrm{OB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{\mathrm{OC}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OA}}=1$とする．このとき，$\triangle \mathrm{ABC}$の各辺の長さおよび線分$\mathrm{OH}$の長さを求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle 0<x<\frac{\pi}{2}$に対し，
\[ x < \tan x\]
となることを示せ．
(2)$x>0$に対し，
\[ \log \left( x+\sqrt{1+x^2} \right) > \sin x \]
となることを示せ．ただし，対数は自然対数である．

2つの双曲線$C:x^2-y^2=1,\ H:x^2-y^2=-1$を考える．双曲線$H$上の点$\mathrm{P}(s,\ t)$に対して，方程式$sx-ty=1$で定まる直線を$\ell$とする．

(1)直線$\ell$は点$\mathrm{P}$を通らないことを示せ．
(2)直線$\ell$と双曲線$C$は異なる$2$点$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$で交わることを示し，$\triangle \mathrm{PQR}$の重心$\mathrm{G}$の座標を$s,\ t$を用いて表せ．
(3)(2)における$3$点$\mathrm{G}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$に対して，$\triangle \mathrm{GQR}$の面積は点$\mathrm{P}(s,\ t)$の位置によらず一定であることを示せ．

実数$a$に対して，関数$\displaystyle f_a(x)=-3x^2+\left(\frac{5}{4}-x \right)\int_0^a f_a(t) \, dt$を満たすとする．

(1)$\displaystyle k=\int_0^a f_a(t) \, dt$とおく．このとき，$k$を$a$の分数式で表せ．
(2)どのような実数$a$に対しても，$2$次方程式$f_a(x)=4x-20$が異なる$2$つの実数解をもつことを示せ．
(3)(2)の方程式の解がともに正であるような$a$の値の範囲を求めよ．

$A=\left( \begin{array}{rr}
-2 & 6 \\
0 & 3
\end{array} \right)$，$P=\left( \begin{array}{cc}
1 & \displaystyle \frac{6}{5} \\
0 & 1
\end{array} \right)$とする．

(1)すべての自然数$n$に対して$P^{-1}A^nP=\left( \begin{array}{cc}
(-2)^n & 0 \\
0 & 3^n
\end{array} \right)$が成り立つことを示せ．
(2)数列$\{a_n\}$を関係式$a_1=1,\ a_{n+1}=-2a_n+6 \cdot 3^{n-1} \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$で定める．このとき，すべての自然数$n$に対して$A^n \left( \begin{array}{c}
a_1 \\
1
\end{array} \right) = \left( \begin{array}{c}
a_{n+1} \\
3^n
\end{array} \right)$が成り立つことを示せ．
(3)数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．

実数$c$に対して，行列
\[ A=\biggl( \begin{array}{cc}
1 & -c \\
c & 1
\end{array} \biggr) \]
で表される1次変換を$T$とするとき，以下の問いに答えよ．

(1)$T$は原点の回りの回転移動と原点中心の拡大(相似変換)との合成変換であることを示せ．
(2)$xy$平面上の同一直線上にない3点P，Q，Rが$T$によってそれぞれP$^\prime$，Q$^\prime$，R$^\prime$に移るとする．三角形P$^\prime$Q$^\prime$R$^\prime$の面積が三角形PQRの面積の2倍となる$c$の値を求めよ．
(3)$c=2$とする．楕円
\[ E:\frac{x^2}{4}+y^2=1 \]
上の点が$T$によって楕円$E^\prime$上の点に移るとする．$E$が$E^\prime$の内部にあることを示し，$E^\prime$の内部にあり$E$の外部にある部分の面積を求めよ．

数列$\{a_n\},\ \{b_n\}$を次のように定義する．
\[ \left\{
\begin{array}{l}
a_1=5, b_1=3, \\
\left( \begin{array}{c}
a_{n+1} \\
b_{n+1}
\end{array} \right)=\left( \begin{array}{cc}
5 & 3 \\
3 & 5
\end{array} \right) \left( \begin{array}{c}
a_{n} \\
b_{n}
\end{array} \right) \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)
\end{array}
\right. \]
また，自然数$n$について$c_n=a_n^2-b_n^2$とおく．このとき以下の各問いに答えよ．

(1)$c_n$を$n$を用いて表せ．
(2)$k$を自然数とするとき，自然数$\ell$について
\[ a_{k+\ell}=a_ka_\ell + b_kb_\ell, b_{k+\ell}=b_ka_\ell+a_kb_\ell \]
が成立することを，$\ell$に関する数学的帰納法によって示せ．
(3)$n > \ell$となる自然数$n,\ \ell$について
\[ b_{n+\ell}-c_\ell b_{n-\ell}=2a_nb_\ell \]
が成立することを示せ．
(4)$2$以上の自然数$n$について
\[ a_{2n}+\sum_{m=1}^{n-1}c_{n-m}a_{2m}=\frac{b_{2n+1}}{2b_1}-\frac{c_n}{2} \]
が成立することを示せ．

すべての項が整数である数列を整数列という．$p,\ q,\ r,\ s$を実数とし，正の整数$n$に対し
\[ a_n=p+qn+rn^2,\quad b_n=p+qn+rn^2+sn^3 \]
とおく．このとき以下の命題を示せ．

(1)数列$\{a_n\}$が整数列ならば，$2r$は整数である．
(2)数列$\{b_n\}$が整数列であるための必要十分条件は，$p$と$q+r+s$と$2r$と$6s$がいずれも整数となることである．

以下の問いに答えよ．

(1)関数$f(x)$は第2次導関数$f^{\prime\prime}(x)$が連続で，ある$a<b$に対して，$f^{\prime}(a)=f^{\prime}(b)=0$を満たしているものとする．このとき
\[ f(b)-f(a)=\int_a^b \left( \frac{a+b}{2}-x \right) f^{\prime\prime}(x) \, dx \]
が成り立つことを示せ．
(2)直線道路上における車の走行を考える．ある信号で停止していた車が，時刻0で発進後，距離$L$だけ離れた次の信号に時刻$T$で到達し再び停止した．この間にこの車の加速度の絶対値が$\displaystyle \frac{4L}{T^2}$以上である瞬間があることを示せ．