座標平面内の曲線$y=x^2$上の2点$\mathrm{P}_1(x_1,\ y_1)$と$\mathrm{P}_2(x_2,\ y_2)$を両端にもつ長さ$r>0$の線分$\mathrm{P}_1 \mathrm{P}_2$の中点を$\mathrm{C}(s,\ t)$とする．また$a=x_1-x_2,\ b=x_1+x_2$とおく．このとき下記の設問に答えなさい．

(1)$r^2$を$a$と$b$を用いて表しなさい．
(2)線分$\mathrm{P}_1 \mathrm{P}_2$の中点$\mathrm{C}$の$y$座標$t$を$b$と$r$を用いて表しなさい．
(3)$0<r<1$とする．このとき$t$は$b=0$のとき最小値$\displaystyle \frac{r^2}{4}$をとることを示しなさい．
(4)$r \geqq 1$の場合，$t$の最小値を$r$を用いて表しなさい．

100人の団体がある区間を列車で移動する．このとき，乗車券が7枚入った480円のセットAと，乗車券が3枚入った220円のセットBを購入して，利用することにした．以下の問いに答えよ．

(1)$x$が0以上の整数であるとき，次のことを示せ．\\
\quad $\displaystyle \frac{1}{3} (100-7x)$は，$x$を3で割ったときの余りが1の場合に整数であり，\\
\quad それ以外の場合は整数ではない．
(2)購入した乗車券は，余らせずすべて利用するものとする．このとき，セットAとセットBの購入の仕方をすべて挙げよ．
(3)購入した乗車券は余ってもよいものとする．このとき，Aのみ，あるいはBのみを購入する場合も含めて，購入金額が最も低くなるのは，A，Bをそれぞれ何
セットずつ購入するときか．またそのときの購入金額はいくらか．

次の条件によって定められる数列$\{a_n\}$について，以下の問に答えよ．
\[ a_1 = \frac{1}{2}, \quad a_{n+1} = \frac{8a_n-1}{25a_n-2} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]

(1)$a_2,\ a_3,\ a_4,\ a_5$を求めよ．
(2)(1)の結果に基づいて，一般項$a_n$を推測せよ．また，その推測が正しいことを証明せよ．

鋭角三角形$\mathrm{ABC}$の$\angle \mathrm{A}$，$\angle \mathrm{B}$，$\angle \mathrm{C}$の大きさをそれぞれ$\alpha,\ \beta,\ \gamma$で表す．点$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$，$\mathrm{F}$はそれぞれ辺$\mathrm{CA}$，$\mathrm{AB}$，$\mathrm{BC}$上にあり，$\mathrm{DE} \perp \mathrm{AB},\ \mathrm{EF} \perp \mathrm{BC},\ \mathrm{FD} \perp \mathrm{CA}$を満たす．次の問いに答えよ．

(1)$\triangle \mathrm{ABC}$と$\triangle \mathrm{DEF}$は相似であることを示せ．
(2)$\displaystyle \frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{EF}}= \frac{1}{\tan \alpha}+\frac{1}{\tan \beta}+\frac{1}{\tan \gamma}$を示せ．
(3)$\alpha$が一定のとき，$\displaystyle \frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{EF}}$を最小にするような$\beta,\ \gamma$を$\alpha$で表せ．

$xy$平面上に$n$個の点P$_k(x_k,\ y_k) (k=1,\ 2,\ 3,\ \cdots,\ n)$がある．
\[ a=\sum_{k=1}^n x_k^2, \quad b=\sum_{k=1}^n y_k^2, \quad c= \sum_{k=1}^n x_ky_k \]
とおく．さらに，P$_k$と直線$\ell: x\cos \theta + y\sin \theta = 0$の距離を$d_k$とし，
\[ L = \sum_{k=1}^n d_k^2 \]
とおく．次の問いに答えよ．

(1)$L$を$a,\ b,\ c,\ \theta$を用いて表せ．
(2)$\theta$が$0 \leqq \theta < \pi$の範囲を動くとき，$L$の最大値と最小値を$a,\ b,\ c$を用いて表せ．
(3)$a \neq b$または$c \neq 0$のとき，$L$を最大にする$\ell$を$\ell_1$，最小にする$\ell$を$\ell_2$とする．$\ell_1$と$\ell_2$は直交することを示せ．

次の問いに答えよ．

(1)$n$を自然数とするとき，$4^{2n-1}+3^{n+1}$は13の倍数であることを示せ．
(2)$\displaystyle \frac{1}{5-\sqrt{19}}$の整数部分を$\alpha$，小数部分を$\beta$とするとき$\alpha,\ \beta$を求めよ．また$\alpha^2-18 \beta^2$を求めよ．

$n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$に対し，
\[ I_n = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \tan^{2n} x\, dx \]
とおく．

(1)$I_n+I_{n+1}$を計算せよ．
(2)$\displaystyle \lim_{n \to \infty} I_n = 0$を示せ．
(3)$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \frac{1}{2n+1}$を求めよ．

以下の問いに答えよ．

(1)正の実数$x,\ y$に対して
\[ \frac{y}{x}+\frac{x}{y} \geqq 2 \]
が成り立つことを示し，等号が成立するための条件を求めよ．
(2)$n$を自然数とする．$n$個の正の実数$a_1,\ \cdots,\ a_n$に対して
\[ (a_1 +\cdots+a_n) \left( \frac{1}{a_1}+\cdots+\frac{1}{a_n} \right) \geqq n^2 \]
が成り立つことを示し，等号が成立するための条件を求めよ．

自然対数の底を$e$とする．以下の問に答えよ．

(1)$e<3$であることを用いて，不等式$\displaystyle \log 2 > \frac{3}{5}$が成り立つことを示せ．
(2)関数$\displaystyle f(x) = \frac{\sin x}{1+\cos x}-x$の導関数を求めよ．
(3)積分
\[ \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x-\cos x}{1+\cos x} \, dx \]
の値を求めよ．
(4)(3)で求めた値が正であるか負であるかを判定せよ．

$a_1$を$\displaystyle \frac{\pi}{12} < a_1 < \frac{\pi}{4}$を満たす数とし，$\{a_n\}$を
\[ a_{n+1} = 1-\sin \;a_n \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
で定められる数列とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)直線$y=1-x$と曲線$y=\sin x$は，$\displaystyle \frac{\pi}{12} < x < \frac{\pi}{4}$の範囲でただ1つの交点をもつことを示せ．
(2)$n$を自然数とするとき，不等式$\displaystyle \frac{\pi}{12} < a_n < \frac{\pi}{4}$を示せ．
(3)(1)の交点の$x$座標を$\alpha$とするとき，$\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n=\alpha$が成り立つことを示せ．