$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$が点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円周上にあり，$13 \overrightarrow{\mathrm{OA}}+12 \overrightarrow{\mathrm{OB}}+5 \overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{\mathrm{0}}$を満たしている．

(1)$\mathrm{OB}$と$\mathrm{OC}$は垂直であることを示せ．
(2)$\angle \mathrm{AOB}=\alpha$，$\angle \mathrm{AOC}=\beta$とおく．$\cos \alpha$および$\cos \beta$の値を求めよ．
(3)$\mathrm{A}$から$\mathrm{BC}$にひいた垂線と$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{H}$とする．線分$\mathrm{AH}$の長さを求めよ．

以下の各問いに答えなさい．

(1)以下の図において$\overline{A \cap B}$の部分を塗りつぶしなさい．
（図は省略）
(2)$A=\{2x \;|\; 1 \leqq x \leqq 10,\ x \text{は自然数} \}$，$B=\{3y \;|\; 1 \leqq y \leqq 10,\ y \text{は自然数} \}$のとき，$A \cap B$の要素をすべて答えなさい．
(3)命題「$x^2-1=0 \Longrightarrow x=1$または$x=-1$」の対偶を答えなさい．
(4)次の表中$①$～$⑤$（ \quad ）内に，命題「$p \Longrightarrow q$」が成立するように，次の（ア）～（ケ）から適切なものを \underline{すべて} 選び記号で答えなさい．

\begin{tabular}{|c|c|}
\hline
$p$ & $q$ \\ \hline
犬である． & $①$（ \qquad ） \\ \hline
宜野湾市である． & $②$（ \qquad ） \\ \hline
$x=5$ & $③$（ \qquad ） \\ \hline
$④$ （ \qquad ） & ほ乳類である． \\ \hline
$⑤$ （ \qquad ） & $x=-2$または$x=3$ \\ \hline
\end{tabular}

\begin{screen}
（ア） $x$は偶数である． \quad （イ） $x$は$2$の倍数である． \quad （ウ） $0<x<10$ \\
（エ） 動物である． \quad （オ） 沖縄県である． \quad （カ） 人間である． \\
（キ） $|x| \geqq 5$ \quad （ク） $x^2-x-6=0$ \quad （ケ） $x^2-x+6=0$
\end{screen}
(5)$x+y=2$ならば$x \leqq 1$または$y \leqq 1$であることを背理法によって証明しなさい．

座標平面において，$x$座標，$y$座標がともに整数である点を格子点と呼ぶ．いま，$4$つの格子点$\mathrm{O}(0,\ 0)$，$\mathrm{A}(a,\ b)$，$\mathrm{B}(a,\ b+4)$，$\mathrm{C}(0,\ b+4)$を考える．ただし，$a$と$b$は互いに素な自然数とする．

(1)線分$\mathrm{OA}$上には，点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$以外の格子点は存在しないことを示せ．
(2)四角形$\mathrm{OABC}$の$4$辺上に格子点はいくつあるか．
(3)四角形$\mathrm{OABC}$の内部（辺，頂点は含まない）に格子点はいくつあるか．

$\triangle \mathrm{ABC}$の面積を$S$，$\angle \mathrm{BAC}=\alpha$とし，辺$\mathrm{BC}$，$\mathrm{CA}$，$\mathrm{AB}$の長さをそれぞれ$a,\ b,\ c$とする．さらに，辺$\mathrm{BC}$，$\mathrm{CA}$，$\mathrm{AB}$を$1$辺とする正三角形の面積をそれぞれ$S_A,\ S_B,\ S_C$とする．ただし，$\alpha \neq {90}^\circ$とする．

(1)$a$を用いて$S_A$を表せ．
(2)次の等式が成り立つことを証明せよ．
\[ S_A=S_B+S_C-\frac{\sqrt{3}}{\tan \alpha}S \]

以下の問いに答えよ．

(1)$\sqrt{5}$が無理数であることを証明せよ．
(2)$p$を$0$でない有理数，$q$を有理数とするとき，$p \sqrt{5}+q$が無理数であることを証明せよ．

点$\mathrm{A}(1,\ 0,\ 1)$を通り，ベクトル$\overrightarrow{n}=(2,\ 1,\ -1)$に垂直な平面$\alpha$を考える．

(1)平面$\alpha$上の点$\mathrm{P}(x,\ y,\ z)$に関して
\[ 2x+y-z=1 \]
が成り立つことを示せ．
(2)平面$\alpha$に関して点$\mathrm{B}(3,\ 2,\ 1)$と対称な点$\mathrm{C}$の座標を求めよ．
(3)点$\mathrm{B}$と点$\mathrm{Q}(1,\ 4,\ 5)$と平面$\alpha$上の点$\mathrm{R}$が正三角形の$3$頂点となるとき，点$\mathrm{R}$の座標を求めよ．

放物線$C:y^2=4px (p>0)$の焦点$\mathrm{F}(p,\ 0)$を通る$2$直線$\ell_1$，$\ell_2$は互いに直交し，$C$と$\ell_1$は$2$点$\mathrm{P}_1$，$\mathrm{P}_2$で，$C$と$\ell_2$は$2$点$\mathrm{Q}_1$，$\mathrm{Q}_2$で交わるとする．次の問に答えよ．

(1)$\ell_1$の方程式を$x=ay+p$と置き，$\mathrm{P}_1$，$\mathrm{P}_2$の座標をそれぞれ$(x_1,\ y_1)$，$(x_2,\ y_2)$とする．$y_1+y_2$，$y_1y_2$を$a$と$p$で表せ．
(2)$\displaystyle \frac{1}{\mathrm{P}_1 \mathrm{P}_2}+\frac{1}{\mathrm{Q}_1 \mathrm{Q}_2}$は$\ell_1$，$\ell_2$のとり方によらず一定であることを示せ．

複素数$z=1+2 \sqrt{6} \, i$と自然数$n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$について，複素数$z^n$を実数$a_n,\ b_n$を用いて
\[ z^n=a_n+b_n i \]
と表す．次の問に答えよ．

(1)${a_n}^2+{b_n}^2=5^{2n} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$であることを示せ．
(2)すべての$n$について$a_{n+2}=pa_{n+1}+qa_n$が成り立つ定数$p,\ q$を求めよ．
(3)どんな$n$についても$a_n$は$5$の整数倍でないことを示せ．
(4)$z^n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$は実数でないことを示せ．

自然数の組$(x,\ y,\ z)$が等式$x^2+y^2=z^2$を満たすとする．

(1)すべての自然数$n$について，$n^2$を$4$で割ったときの余りは$0$か$1$のいずれかであることを示せ．
(2)$x$と$y$の少なくとも一方が偶数であることを示せ．
(3)$x$が偶数，$y$が奇数であるとする．このとき，$x$が$4$の倍数であることを示せ．

次の各問に答えよ．$(2)$は空欄にあてはまる数または式を記入せよ．

(1)数列$\{a_n\}$が
\[ a_n=\frac{1}{(2n-1)(2n+1)} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
で与えられている．このとき，和$S_n=a_1+a_2+\cdots +a_n$を求めよ．また，$S_n$は
\[ S_n-S_{n-1}=(1-2S_{n-1})(1-2S_n) \quad (n=2,\ 3,\ \cdots) \]
を満たすことを示せ．
(2)数列$\{b_n\}$の和$T_n=b_1+b_2+\cdots +b_n$が
\[ (*) \quad T_n-T_{n-1}=(1-2T_{n-1})(1-2T_n) \quad (n=2,\ 3,\ \cdots) \]
を満たしている．もし，$\displaystyle T_1=\frac{1}{2}$ならば，$(*)$で$n=2$ととれば，$\displaystyle T_2=T_1=\frac{1}{2}$となる．同様に，$(*)$で$n=3,\ 4,\ \cdots$ととれば，$\displaystyle T_n=\frac{1}{2} (n=3,\ 4,\ \cdots)$となる．
いま，$\displaystyle T_n \neq \frac{1}{2} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とする．このとき，$U_n=1-2T_n$とおくと，$U_n$は漸化式$[ア]$を満たす．よって，$\displaystyle \frac{1}{U_1}=c (\neq 0)$とおけば，$U_n$は$n$と$c$を用いて，$U_n=[イ]$と表せる．これより，$b_1=[ウ]$，$b_n=[エ]$が得られ，$b_n$が$(1)$の$a_n$と一致するのは$c=[オ]$のときである．