以下の問いに答えよ．

(1)$x \geqq 0$，$y>0$，$a>b$のとき，$\displaystyle b \leqq \frac{ax+by}{x+y}$であることを示せ．
(2)$x \geqq 0$，$y>0$，$a>b$で$(x+y)^2=ax+by$とする．$s=x+y$とおくとき，$a,\ b,\ s$の大小関係を求めよ．
(3)$x \geqq 0$，$y>0$，$z \geqq 0$，$a>b>c$で$(x+y+z)^2=ax+by+cz$とする．$t=x+y+z$とおくとき，$a,\ c,\ t$の大小関係を求めよ．

以下の問いに答えよ．

(1)$x \geqq 0$，$y>0$，$a>b$のとき，$\displaystyle b \leqq \frac{ax+by}{x+y}$であることを示せ．
(2)$x \geqq 0$，$y>0$，$a>b$で$(x+y)^2=ax+by$とする．$s=x+y$とおくとき，$a,\ b,\ s$の大小関係を求めよ．
(3)$x \geqq 0$，$y>0$，$z \geqq 0$，$a>b>c$で$(x+y+z)^2=ax+by+cz$とする．$t=x+y+z$とおくとき，$a,\ c,\ t$の大小関係を求めよ．

$2$つの$2$次曲線$C_1:y=x^2$，$C_2:y^2=x$がある．次の各問に答えよ．

(1)$C_1$，$C_2$のいずれにも接する直線の方程式を求めよ．
(2)$C_1$上の点$\mathrm{P}(p,\ p^2)$を通る直線で$C_2$と接するものがちょうど$2$本引けるような$p$のとり得る値の範囲を求めよ．
(3)$C_1$上の点$\mathrm{P}(p,\ p^2)$を通る直線で$C_2$と接するものがちょうど$2$本引け，さらにその$2$本の接線がいずれも$C_1$と$\mathrm{P}$以外の点でも交わるとする．このような$p$のとり得る値の範囲を求めよ．
(4)$C_1$上の相異なる$2$点$\mathrm{Q}_1(q_1,\ {q_1}^2)$，$\mathrm{Q}_2(q_2,\ {q_2}^2)$について，直線$\mathrm{Q}_1 \mathrm{Q}_2$が$C_2$と接するための条件を求めよ．
(5)$C_1$上の点$\mathrm{P}(p,\ p^2)$を通る直線で$C_2$と接するものがちょうど$2$本引け，さらにその$2$本の接線がいずれも$C_1$と$\mathrm{P}$以外の点でも交わるとする．いま，その$2$本の接線と$C_1$との交点のうち，$\mathrm{P}$以外の交点をそれぞれ$\mathrm{Q}_1$および$\mathrm{Q}_2$とする．このとき，直線$\mathrm{Q}_1 \mathrm{Q}_2$は再び$C_2$と接することを示せ．

図に示す一辺の長さが$10a (a>0)$の正方形$\mathrm{ABCD}$がある．辺上を車両が動くとき，次の問に答えよ．

(1)車両$\mathrm{Q}$が，一定の速度$a$で点$\mathrm{C}$を出発し，点$\mathrm{D}$を経由して点$\mathrm{A}$まで動くものとする．出発時刻を$t=0$とし，時間$t$経過後の点$\mathrm{A}$と車両$\mathrm{Q}$との直線距離を$t$と$a$を用いて表せ．
(2)$(1)$の条件下で，点$\mathrm{A}$と車両$\mathrm{Q}$との間で通信が行われる．通信に必要な電力$y$は，$2$点間の直線距離の$2$乗である．時間$t$経過後の電力$y$の変化を横軸に$t$，縦軸を$y$としたグラフに示せ．
(3)$(1)$の条件下で，車両$\mathrm{P}$が，一定の速度$a$で点$\mathrm{A}$を出発し，点$\mathrm{B}$を経由して点$\mathrm{C}$へ向かうものとする．出発時刻を$t=0$とし，時間$t$経過後の車両$\mathrm{P}$と車両$\mathrm{Q}$との直線距離の$2$乗$z$の変化を横軸に$t$，縦軸を$z$としたグラフに示せ．
（図は省略）

$\triangle \mathrm{ABC}$は$\mathrm{AB}=7$，$\mathrm{BC}=8$，$\mathrm{AC}=5$とする．そして，辺$\mathrm{BC}$上に点$\mathrm{D}$をとる（ただし，点$\mathrm{D}$は点$\mathrm{B}$および点$\mathrm{C}$と一致しない）．また，$\triangle \mathrm{ABD}$の外接円の半径を$r_1$，$\triangle \mathrm{ACD}$の外接円の半径を$r_2$とする．次の問に答えよ．

(1)$\sin \angle \mathrm{ACB}$の値を求めよ．
(2)$\mathrm{AD}=\mathrm{AC}$の場合，線分$\mathrm{BD}$の長さを求めよ．
(3)$\mathrm{AD}=t$として，$\displaystyle \frac{r_1}{r_2}$の値は$t$の値によらず一定であることを示し，その値を求めよ．

関数$f(x)=x^3+ax^2+bx+c$（ただし，$a,\ b,\ c$は実数の定数）について，次の問に答えよ．

(1)$a$は$a>-3$を満たし，$f(x)$は$x=1$のとき極小値をとる．このとき，$b$を$a$を用いて表せ．
(2)$(1)$のとき，さらに，$y=f(x)$のグラフが点$(0,\ 0)$に関して対称であるとする．このとき，$a,\ b,\ c$の値を求めよ．
(3)$y=f(x)$のグラフは，曲線上の点$\displaystyle \mathrm{A} \left( -\frac{a}{3},\ f \left( -\frac{a}{3} \right) \right)$に関して対称であることを示せ．

次の問いに答えよ．

(1)$x>0$のとき，$1+2 \sin x<x+e^x$が成り立つことを示せ．
(2)$x \geqq 0$の範囲にあって，$2$つの曲線$y=1+2 \sin x,\ y=x+e^x$と直線$x=\pi$とで囲まれる領域を$x$軸のまわりに$1$回転して得られる立体の体積を求めよ．

$a,\ b,\ c$を実数とする．

(1)不等式
\[ 3(a^2+b^2+c^2) \geqq (a+b+c)^2 \]
を証明せよ．また，等号が成り立つとき$a=b=c$であることを証明せよ．
(2)不等式
\[ 27(a^4+b^4+c^4) \geqq (a+b+c)^4 \]
を証明せよ．

$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\mathrm{BC}=a$，$\mathrm{CA}=b$，$\mathrm{AB}=c$とする．$\angle \mathrm{A}$の二等分線が辺$\mathrm{BC}$と交わる点を$\mathrm{D}$とし，$\theta=\angle \mathrm{BAD}$とするとき，次の問に答えよ．

(1)$\cos \theta$の値を$a,\ b,\ c$の式で表せ．

(2)$\displaystyle \mathrm{AD}=\frac{2bc}{b+c} \cos \theta$であることを示せ．

(3)$a=3,\ b=4,\ c=2$のとき，線分$\mathrm{AD}$の長さを求めよ．

次の各問に答えよ．

(1)方程式$|2x-3|+3=(x-3)^2$を解け．
(2)$21$本のくじの中に当たりくじが$n$本ある．このくじを同時に$2$本引くとき，次の問に答えよ．ただし，$1 \leqq n \leqq 21$とする．

(i) $2$本ともはずれる確率を求めよ．
(ii) 少なくとも$1$本は当たる確率が$\displaystyle \frac{1}{2}$以上となる最小の$n$を求めよ．

(3)$x,\ y$は実数とする．

命題$p$：「$x \neq 3$または$y \neq 2$」ならば「$2x-y \neq 4$または$x+y \neq 5$」

について次の問に答えよ．

(i) 命題$p$の対偶を述べよ．
(ii) 命題$p$を証明せよ．