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国立 お茶の水女子大学 2013年 第9問放物線$y=x^2$を$C_1$，$C_1$と異なる放物線$y=ax^2+bx+c \ (a \neq 0)$を$C_2$とする．
(1)$a=1$のとき，$C_1$と$C_2$の両方に接する直線は最大でも$1$本しか存在しないことを示せ．
(2)$a=1$のとき，条件$b \neq 0$は条件
$C_1$と$C_2$の両方に接する直線が$1$本だけ存在する
の必要十分条件であることを示せ．
(3)条件$p_1,\ p_2,\ q_1,\ q_2$を次で定める．
\[ \begin{array}{ll}
p_1:C_2 \text{は下に凸である．} & p_2:C_2 \text{は上に凸である．} \\
q_1:C_1 \text{と} C_2 \text{が異なる}2 \text{点で交わる．} & q_2:C_1 \text{と} C_2 \text{が交わらない．}
\end{array} \]
$a \neq 1$のとき，条件
$p:$「$p_1$かつ$q_1$」または「$p_2$かつ$q_2$」
は条件
$q:C_1$と$C_2$の両方に接する直線が$2$本存在する
の必要十分条件であることを示せ．
(1)$a=1$のとき，$C_1$と$C_2$の両方に接する直線は最大でも$1$本しか存在しないことを示せ．
(2)$a=1$のとき，条件$b \neq 0$は条件
$C_1$と$C_2$の両方に接する直線が$1$本だけ存在する
の必要十分条件であることを示せ．
(3)条件$p_1,\ p_2,\ q_1,\ q_2$を次で定める．
\[ \begin{array}{ll}
p_1:C_2 \text{は下に凸である．} & p_2:C_2 \text{は上に凸である．} \\
q_1:C_1 \text{と} C_2 \text{が異なる}2 \text{点で交わる．} & q_2:C_1 \text{と} C_2 \text{が交わらない．}
\end{array} \]
$a \neq 1$のとき，条件
$p:$「$p_1$かつ$q_1$」または「$p_2$かつ$q_2$」
は条件
$q:C_1$と$C_2$の両方に接する直線が$2$本存在する
の必要十分条件であることを示せ．
国立 宮崎大学 2013年 第3問次の各問に答えよ．
(1)方程式$2 \cdot 8^x-3 \cdot 4^{x+1}+5 \cdot 2^{x+1}+24=0$を満たすような実数$x$をすべて求めよ．
(2)実数$\theta$に対し，関数$f(\theta)$と$g(\theta)$を，
\[ f(\theta)=(\cos \theta)(\cos 2\theta)(\cos 3\theta),\quad g(\theta)=(\sin \theta)(\sin 2\theta)(\sin 3\theta) \]
とおくとき，次の$(ⅰ),\ (ⅱ)$に答えよ．
(i) 関数$f(\theta),\ g(\theta)$は，それぞれ
\[ \begin{array}{l}
f(\theta)=p+q \cos 2\theta+r \cos 4\theta+s \cos 6\theta \\
g(\theta)=t+u \sin 2\theta+v \sin 4\theta+w \sin 6\theta
\end{array} \]
のように表されることを示せ．ただし，$p,\ q,\ r,\ s,\ t,\ u,\ v,\ w$は$\theta$によらない定数とする．
(ii) $0 \leqq \theta \leqq \pi$のとき，方程式$\displaystyle f(\theta)=g \left( \theta+\frac{\pi}{4} \right)$を満たすような$\theta$をすべて求めよ．
(1)方程式$2 \cdot 8^x-3 \cdot 4^{x+1}+5 \cdot 2^{x+1}+24=0$を満たすような実数$x$をすべて求めよ．
(2)実数$\theta$に対し，関数$f(\theta)$と$g(\theta)$を，
\[ f(\theta)=(\cos \theta)(\cos 2\theta)(\cos 3\theta),\quad g(\theta)=(\sin \theta)(\sin 2\theta)(\sin 3\theta) \]
とおくとき，次の$(ⅰ),\ (ⅱ)$に答えよ．
(i) 関数$f(\theta),\ g(\theta)$は，それぞれ
\[ \begin{array}{l}
f(\theta)=p+q \cos 2\theta+r \cos 4\theta+s \cos 6\theta \\
g(\theta)=t+u \sin 2\theta+v \sin 4\theta+w \sin 6\theta
\end{array} \]
のように表されることを示せ．ただし，$p,\ q,\ r,\ s,\ t,\ u,\ v,\ w$は$\theta$によらない定数とする．
(ii) $0 \leqq \theta \leqq \pi$のとき，方程式$\displaystyle f(\theta)=g \left( \theta+\frac{\pi}{4} \right)$を満たすような$\theta$をすべて求めよ．
国立 宮崎大学 2013年 第5問右図のような四角形$\mathrm{ABCD}$について，すべての内角の大きさは$180^\circ$ \\
未満とする．$\triangle \mathrm{BCD}$の重心を$\mathrm{P}$，$\triangle \mathrm{CDA}$の重心を$\mathrm{Q}$，$\triangle \mathrm{DAB}$の重 \\
心を$\mathrm{R}$，$\triangle \mathrm{ABC}$の重心を$\mathrm{S}$とする．ただし，点$\mathrm{P}$と点$\mathrm{R}$は直線$\mathrm{AC}$ \\
上になく，点$\mathrm{Q}$と点$\mathrm{S}$は直線$\mathrm{BD}$上にないものとする．このとき， \\
次の各問に答えよ．
\img{735_3039_2013_1}{37}
(1)$\mathrm{AC} \para \mathrm{RP}$を示せ．
(2)$\mathrm{AB} \para \mathrm{QP}$を示せ．
(3)四角形$\mathrm{ABCD}$が円に内接するとき，$4$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$，$\mathrm{S}$は同一円周上にあることを示せ．
未満とする．$\triangle \mathrm{BCD}$の重心を$\mathrm{P}$，$\triangle \mathrm{CDA}$の重心を$\mathrm{Q}$，$\triangle \mathrm{DAB}$の重 \\
心を$\mathrm{R}$，$\triangle \mathrm{ABC}$の重心を$\mathrm{S}$とする．ただし，点$\mathrm{P}$と点$\mathrm{R}$は直線$\mathrm{AC}$ \\
上になく，点$\mathrm{Q}$と点$\mathrm{S}$は直線$\mathrm{BD}$上にないものとする．このとき， \\
次の各問に答えよ．
\img{735_3039_2013_1}{37}
(1)$\mathrm{AC} \para \mathrm{RP}$を示せ．
(2)$\mathrm{AB} \para \mathrm{QP}$を示せ．
(3)四角形$\mathrm{ABCD}$が円に内接するとき，$4$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$，$\mathrm{S}$は同一円周上にあることを示せ．
国立 長崎大学 2013年 第2問次の問いに答えよ．
(1)$\displaystyle a_1=\frac{3}{2},\ a_{n+1}+2a_{n+1}a_n-3a_n=0 \ (n \geqq 1)$で与えられる数列$\{a_n\}$について，$a_2,\ a_3,\ a_4,\ a_5$の値を求めよ．また，一般項$a_n$を推測し，その推測の結果を数学的帰納法で証明せよ．
(2)$\displaystyle \frac{7}{12}\pi=\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{4}$であることを利用して$\displaystyle \sin \frac{7}{12}\pi$を求め，$1 \leqq x \leqq 4$のとき，次の方程式を解け．
\[ \sin x=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4} \]
(3)$\displaystyle 0 \leqq x<\frac{\pi}{2}$とする．このとき，$X=\log_2 \cos x$の範囲を求め，次の不等式を解け．
\[ 2(\log_2 \cos x)^2+(4-\log_2 3)\log_2 \cos x+2-\log_23 \leqq 0 \]
{\bf 注意：} $\log_2 \cos x$は$\log_2(\cos x)$を表す．
(1)$\displaystyle a_1=\frac{3}{2},\ a_{n+1}+2a_{n+1}a_n-3a_n=0 \ (n \geqq 1)$で与えられる数列$\{a_n\}$について，$a_2,\ a_3,\ a_4,\ a_5$の値を求めよ．また，一般項$a_n$を推測し，その推測の結果を数学的帰納法で証明せよ．
(2)$\displaystyle \frac{7}{12}\pi=\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{4}$であることを利用して$\displaystyle \sin \frac{7}{12}\pi$を求め，$1 \leqq x \leqq 4$のとき，次の方程式を解け．
\[ \sin x=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4} \]
(3)$\displaystyle 0 \leqq x<\frac{\pi}{2}$とする．このとき，$X=\log_2 \cos x$の範囲を求め，次の不等式を解け．
\[ 2(\log_2 \cos x)^2+(4-\log_2 3)\log_2 \cos x+2-\log_23 \leqq 0 \]
{\bf 注意：} $\log_2 \cos x$は$\log_2(\cos x)$を表す．
国立 長崎大学 2013年 第3問$n$を$2$以上の整数とする．$n$個の実数$a_1,\ a_2,\ \cdots,\ a_n$が与えられたとき，
\[ P_n=(a_1+a_2+\cdots +a_n)^2,\quad Q_n={a_1}^2+{a_2}^2+\cdots +{a_n}^2 \]
とおく．次に，$1 \leqq i<j \leqq n$を満たすすべての番号$i,\ j$に対する$a_ia_j$の和を$R_n$とする．たとえば，$R_2=a_1a_2$，$R_3=a_1a_2+a_1a_3+a_2a_3$である．同様に，$1 \leqq i<j \leqq n$を満たすすべての番号$i,\ j$に対する$(a_i-a_j)^2$の和を$S_n$とする．たとえば，$S_2=(a_1-a_2)^2$，$S_3=(a_1-a_2)^2+(a_1-a_3)^2+(a_2-a_3)^2$である．次の問いに答えよ．
(1)$P_4$を$Q_4$と$R_4$を使って表せ．
(2)すべての$n \geqq 2$に対して$S_n=(n-1)Q_n-2R_n$と表されることを，数学的帰納法で証明せよ．
(3)$Q_4$を$P_4$と$S_4$を使って表せ．
(4)$a_1+a_2+a_3+a_4=1$のとき，$Q_4$の最小値と，そのときの$a_1,\ a_2,\ a_3,\ a_4$の値をそれぞれ求めよ．
\[ P_n=(a_1+a_2+\cdots +a_n)^2,\quad Q_n={a_1}^2+{a_2}^2+\cdots +{a_n}^2 \]
とおく．次に，$1 \leqq i<j \leqq n$を満たすすべての番号$i,\ j$に対する$a_ia_j$の和を$R_n$とする．たとえば，$R_2=a_1a_2$，$R_3=a_1a_2+a_1a_3+a_2a_3$である．同様に，$1 \leqq i<j \leqq n$を満たすすべての番号$i,\ j$に対する$(a_i-a_j)^2$の和を$S_n$とする．たとえば，$S_2=(a_1-a_2)^2$，$S_3=(a_1-a_2)^2+(a_1-a_3)^2+(a_2-a_3)^2$である．次の問いに答えよ．
(1)$P_4$を$Q_4$と$R_4$を使って表せ．
(2)すべての$n \geqq 2$に対して$S_n=(n-1)Q_n-2R_n$と表されることを，数学的帰納法で証明せよ．
(3)$Q_4$を$P_4$と$S_4$を使って表せ．
(4)$a_1+a_2+a_3+a_4=1$のとき，$Q_4$の最小値と，そのときの$a_1,\ a_2,\ a_3,\ a_4$の値をそれぞれ求めよ．
国立 長崎大学 2013年 第4問右図のような四面体$\mathrm{OABC}$がある．各面$\mathrm{ABC}$，$\mathrm{OBC}$，$\mathrm{OCA}$，$\mathrm{OAB}$の \\
重心を，それぞれ$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$，$\mathrm{S}$とし，辺$\mathrm{BC}$の中点を$\mathrm{M}$とする．また， \\
$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$，$\overrightarrow{\mathrm{OM}}=\overrightarrow{m}$とおく．次の問いに答えよ．
\img{713_2938_2013_1}{25}
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を$\overrightarrow{m}$を用いて表せ．また，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{m}$を用いて表せ．
(2)線分$\mathrm{OP}$と線分$\mathrm{AQ}$の交点を$\mathrm{G}$とする．線分$\mathrm{OP}$上の点$\mathrm{U}$は，実数$s$を用いて，$\overrightarrow{\mathrm{OU}}=s \overrightarrow{\mathrm{OP}} (0 \leqq s \leqq 1)$と表され，線分$\mathrm{AQ}$上の点$\mathrm{V}$は，実数$t$を用いて，$\overrightarrow{\mathrm{OV}}=(1-t) \overrightarrow{\mathrm{OA}}+t \overrightarrow{\mathrm{OQ}} (0 \leqq t \leqq 1)$と表される．このことを利用して，$\overrightarrow{\mathrm{OG}}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{m}$を用いて表せ．
(3)$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて$\overrightarrow{\mathrm{OG}}$を表せ．
(4)$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$の中から必要なものを用いて，$\overrightarrow{\mathrm{OR}}$および$\overrightarrow{\mathrm{OS}}$をそれぞれ表せ．また，点$\mathrm{G}$が線分$\mathrm{BR}$および線分$\mathrm{CS}$上にあることを示せ．
重心を，それぞれ$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$，$\mathrm{S}$とし，辺$\mathrm{BC}$の中点を$\mathrm{M}$とする．また， \\
$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$，$\overrightarrow{\mathrm{OM}}=\overrightarrow{m}$とおく．次の問いに答えよ．
\img{713_2938_2013_1}{25}
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を$\overrightarrow{m}$を用いて表せ．また，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{m}$を用いて表せ．
(2)線分$\mathrm{OP}$と線分$\mathrm{AQ}$の交点を$\mathrm{G}$とする．線分$\mathrm{OP}$上の点$\mathrm{U}$は，実数$s$を用いて，$\overrightarrow{\mathrm{OU}}=s \overrightarrow{\mathrm{OP}} (0 \leqq s \leqq 1)$と表され，線分$\mathrm{AQ}$上の点$\mathrm{V}$は，実数$t$を用いて，$\overrightarrow{\mathrm{OV}}=(1-t) \overrightarrow{\mathrm{OA}}+t \overrightarrow{\mathrm{OQ}} (0 \leqq t \leqq 1)$と表される．このことを利用して，$\overrightarrow{\mathrm{OG}}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{m}$を用いて表せ．
(3)$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて$\overrightarrow{\mathrm{OG}}$を表せ．
(4)$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$の中から必要なものを用いて，$\overrightarrow{\mathrm{OR}}$および$\overrightarrow{\mathrm{OS}}$をそれぞれ表せ．また，点$\mathrm{G}$が線分$\mathrm{BR}$および線分$\mathrm{CS}$上にあることを示せ．
国立 岐阜大学 2013年 第7問$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$，$\overrightarrow{d}$は空間のベクトルであり，次の条件を満たしている．
\[ \begin{array}{l}
\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}+\overrightarrow{d}=\overrightarrow{\mathrm{0}} \\
|\overrightarrow{a}|=|\overrightarrow{b}|=|\overrightarrow{c}|=|\overrightarrow{d}|=1
\end{array} \]
以下の問に答えよ．ここで$2$つのベクトルのなす角$\theta$は$0^\circ \leqq \theta \leqq 180^\circ$である．
(1)$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$のなす角と$\overrightarrow{c}$と$\overrightarrow{d}$のなす角が等しいことを示せ．
(2)内積$(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}) \cdot (\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})$が$0$であることを示せ．
(3)$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$のなす角と$\overrightarrow{b}$と$\overrightarrow{c}$のなす角が等しいとする．このとき，$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$のなす角$\theta$は，$\cos \theta \leqq 0$を満たすことを示せ．
\[ \begin{array}{l}
\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}+\overrightarrow{d}=\overrightarrow{\mathrm{0}} \\
|\overrightarrow{a}|=|\overrightarrow{b}|=|\overrightarrow{c}|=|\overrightarrow{d}|=1
\end{array} \]
以下の問に答えよ．ここで$2$つのベクトルのなす角$\theta$は$0^\circ \leqq \theta \leqq 180^\circ$である．
(1)$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$のなす角と$\overrightarrow{c}$と$\overrightarrow{d}$のなす角が等しいことを示せ．
(2)内積$(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}) \cdot (\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})$が$0$であることを示せ．
(3)$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$のなす角と$\overrightarrow{b}$と$\overrightarrow{c}$のなす角が等しいとする．このとき，$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$のなす角$\theta$は，$\cos \theta \leqq 0$を満たすことを示せ．
国立 鳴門教育大学 2013年 第3問$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$を円周上の相異なる$3$点とし，$\mathrm{AB}=\mathrm{AC}$とする．点$\mathrm{A}$を含まない弧$\mathrm{BC}$上に点$\mathrm{P}$をとる．$\angle \mathrm{BPA}$を$\theta$と書く．次の問いに答えよ．
(1)$\mathrm{AB}$を$\mathrm{AP}$，$\mathrm{BP}$，$\theta$を用いて表せ．
(2)$\displaystyle \frac{\mathrm{BP}+\mathrm{PC}}{\mathrm{AP}}$の値は，点$\mathrm{P}$の取り方によらず一定であることを証明せよ．
(3)$\mathrm{BP}+\mathrm{PC}$の値が最大となる点$\mathrm{P}$を求めよ．
(1)$\mathrm{AB}$を$\mathrm{AP}$，$\mathrm{BP}$，$\theta$を用いて表せ．
(2)$\displaystyle \frac{\mathrm{BP}+\mathrm{PC}}{\mathrm{AP}}$の値は，点$\mathrm{P}$の取り方によらず一定であることを証明せよ．
(3)$\mathrm{BP}+\mathrm{PC}$の値が最大となる点$\mathrm{P}$を求めよ．
国立 東京海洋大学 2013年 第1問$S=\left( \begin{array}{cc}
2+3 \cos 2\theta & 3 \sin 2\theta \\
3 \sin 2\theta & 2-3 \cos 2\theta
\end{array} \right)$とする．以下，$\left( \begin{array}{cc}
\alpha & 0 \\
0 & \beta
\end{array} \right)$の形の行列を対角行列と呼ぶ．
(1)$Q=\left( \begin{array}{cc}
\cos \theta & -\sin \theta \\
\sin \theta & \cos \theta
\end{array} \right)$とするとき，$D=Q^{-1}SQ$が対角行列になることを示せ．
(2)$2 \times 2$行列$X$が$XD=DX$を満たすとき，$X$は対角行列になることを示せ．
(3)$2 \times 2$行列$T$が$TS=ST$を満たすとき，$Q^{-1}TQ$は対角行列になることを示せ．
2+3 \cos 2\theta & 3 \sin 2\theta \\
3 \sin 2\theta & 2-3 \cos 2\theta
\end{array} \right)$とする．以下，$\left( \begin{array}{cc}
\alpha & 0 \\
0 & \beta
\end{array} \right)$の形の行列を対角行列と呼ぶ．
(1)$Q=\left( \begin{array}{cc}
\cos \theta & -\sin \theta \\
\sin \theta & \cos \theta
\end{array} \right)$とするとき，$D=Q^{-1}SQ$が対角行列になることを示せ．
(2)$2 \times 2$行列$X$が$XD=DX$を満たすとき，$X$は対角行列になることを示せ．
(3)$2 \times 2$行列$T$が$TS=ST$を満たすとき，$Q^{-1}TQ$は対角行列になることを示せ．
国立 東京海洋大学 2013年 第5問座標空間における$5$点$\mathrm{O}(0,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{A}(3,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{B}(1,\ \sqrt{2},\ 1)$，$\displaystyle \mathrm{C} \left( \frac{\sqrt{3}}{2},\ \frac{\sqrt{6}}{6},\ \frac{\sqrt{3}}{6} \right)$，$\mathrm{R}(0,\ -1,\ \sqrt{2})$について次の問に答えよ．
(1)$\angle \mathrm{AOC}$，$\angle \mathrm{BOC}$，$\angle \mathrm{AOR}$，$\angle \mathrm{BOR}$を求めよ．
(2)$4$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$は同一平面上にあることを示せ．
(3)$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$は正の実数$s,\ t$について$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=s \overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=t \overrightarrow{\mathrm{OB}}$をみたすものとする．$3$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{Q}$が$1$直線上にあるとき，四面体$\mathrm{OPQR}$の体積の最小値とそのときの$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．
(1)$\angle \mathrm{AOC}$，$\angle \mathrm{BOC}$，$\angle \mathrm{AOR}$，$\angle \mathrm{BOR}$を求めよ．
(2)$4$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$は同一平面上にあることを示せ．
(3)$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$は正の実数$s,\ t$について$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=s \overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=t \overrightarrow{\mathrm{OB}}$をみたすものとする．$3$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{Q}$が$1$直線上にあるとき，四面体$\mathrm{OPQR}$の体積の最小値とそのときの$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．