数列$\{a_n\}$が次の関係式を満たしている．
\[ a_1=-1,\quad 5a_{n+1}-4a_n=1 \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
このとき，以下の問いに答えよ．ただし，$\log_{10}2=0.3010$として計算してよい．

(1)数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
(2)$\displaystyle S_n=\sum_{k=1}^n a_k$とおくとき，$S_n$を$n$の式で表せ．
(3)$n \geqq 9$のとき，$S_n>0$となることを示せ．

双曲線$\displaystyle C:\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1$上に点$\displaystyle \mathrm{A} \left( \frac{4}{\cos \theta},\ 3 \tan \theta \right)$，$\mathrm{B}(4,\ 0)$をとる．ただし，$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$とする．$\mathrm{A}$における$C$の接線と$\mathrm{B}$における$C$の接線との交点を$\mathrm{D}$とし，$C$の焦点のうち$x$座標が正であるものを$\mathrm{F}$とおく．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)$\mathrm{D}$の座標を求めよ．
(2)$\displaystyle \tan \frac{\theta}{2}=m$とおく．$\tan \angle \mathrm{DFB}$を$m$を用いて表せ．
(3)直線$\mathrm{DF}$は$\angle \mathrm{AFB}$を$2$等分することを証明せよ．

$\displaystyle f(x)=\tan x,\ g(x)=\frac{4x}{\pi (\pi-2x)}$とする．$xy$平面において，曲線$y=f(x)$ \ $\displaystyle \left( 0 \leqq x<\frac{\pi}{2} \right)$と$y=g(x)$ \ $\displaystyle \left( 0 \leqq x<\frac{\pi}{2} \right)$をそれぞれ$C_1,\ C_2$とするとき，次の問いに答えなさい．

(1)$\displaystyle 0<x<\frac{\pi}{2}$のとき，不等式$f(x)>g(x)$を証明しなさい．
(2)$\displaystyle 0<a<\frac{\pi}{2}$のとき，$2$曲線$C_1,\ C_2$と直線$x=a$で囲まれた図形の面積を$S(a)$とする．このとき，$\displaystyle \lim_{a \to \frac{\pi}{2}-0}S(a)$を求めなさい．
(3)$m$を実数とし，$2$曲線$C_1,\ C_2$と直線$y=mx+1$で囲まれた図形の面積を$T(m)$とする．このとき，$\displaystyle \lim_{m \to \infty}T(m)$を求めなさい．

自然数$n$に対し，座標平面上の点$(n,\ 1)$を$\mathrm{P}_n$とする．また，$r$を正の実数とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)$1$次変換$f$は，すべての$n$に対して$f(\mathrm{P}_n)=\mathrm{P}_{n+1}$を満たすとする．$f$を表す行列$A$を求めよ．
(2)$1$次変換$g$は，点$(1,\ 1)$を点$(-2r,\ 1)$に，点$(-2r,\ 1)$を点$(2r^2-r,\ 1)$に移すとする．$g$を表す行列$B$を求めよ．
(3)$C=ABA^{-1}$とする．行列$C^n$を推定し，それが正しいことを数学的帰納法によって示せ．
(4)行列$C^n$で表される$1$次変換による点$(1,\ r)$の像の$x$座標を$x_n$とする．$r<1$のとき，$\displaystyle \lim_{n \to \infty}x_n$を求めよ．

実数$a$に対し，行列$X(a)$を
\[ X(a)=\frac{1}{a^2+1} \left( \begin{array}{cc}
2a^2+1 & -a \\
-a & a^2+2
\end{array} \right) \]
と定める．

(1)ベクトル$\left( \begin{array}{c}
x_0 \\
y_0
\end{array} \right)$を考える．ベクトル$\left( \begin{array}{c}
x_0 \\
y_0
\end{array} \right)$，$X(a) \left( \begin{array}{c}
x_0 \\
y_0
\end{array} \right)$の大きさをそれぞれ$l_0,\ l_1$とおく．このとき
\[ l_0 \leqq l_1 \]
を示せ．ただしベクトル$\left( \begin{array}{c}
x \\
y
\end{array} \right)$の大きさとは$\sqrt{x^2+y^2}$のことである．
(2)(1)で$l_0=l_1$となるとき，$X(a) \left( \begin{array}{c}
x_0 \\
y_0
\end{array} \right)=\left( \begin{array}{c}
x_0 \\
y_0
\end{array} \right)$を示せ．
(3)$a,\ b$が異なる実数のとき，${X(a)}^m={X(b)}^n$となるような正の整数$m,\ n$は存在しないことを示せ．

$a$を正の定数とし，$m$を自然数とする．$xy$平面上の$2$曲線$C_1:y=ax^2 \ (x \geqq 0)$，$C_2:y=(\log x)^{m} \ (x \geqq 1)$および点$\mathrm{P}$は次の条件を満たしている．

$C_1$と$C_2$は$\mathrm{P}$を通り，$\mathrm{P}$における$C_1$の接線と$\mathrm{P}$における$C_2$の接線は一致する．
(1)$a$の値および$\mathrm{P}$の$x$座標を$m$を用いて表せ．
(2)関数$\displaystyle f(x)=\frac{(\log x)^m}{x^2} \ (x \geqq 1)$の最大値を求め，$x \geqq 1$において不等式$ax^2 \geqq (\log x)^m$が成り立つことを示せ．
(3)自然数$n$に対して，不定積分$\displaystyle \int (\log x)^n \, dx$を$I_n$とおく．$n \geqq 2$のとき，部分積分法により，$I_n$を$I_{n-1}$を用いて表せ．
(4)$m=2$のとき，$C_1,\ C_2$および$x$軸で囲まれた部分の面積を求めよ．

$\mathrm{O}$を原点とする$xy$平面上に$2$点$\mathrm{P}(\cos t,\ 0)$，$\mathrm{Q}(0,\ \sin t)$をとる．ここで$\displaystyle 0 \leqq t \leqq \frac{\pi}{4}$とする．直線$\mathrm{PQ}$に関して$\mathrm{O}$と対称な点を$\mathrm{R}$とするとき，以下の問いに答えよ．ただし，直線$\mathrm{PQ}$が原点$\mathrm{O}$を通るときは$\mathrm{R}$を$\mathrm{O}$と定める．

(1)点$\mathrm{R}$の座標が$(\sin 2t \sin t,\ \sin 2t \cos t)$で表されることを証明せよ．
(2)$t$が$\displaystyle 0 \leqq t \leqq \frac{\pi}{4}$の範囲を動くとき，点$\mathrm{R}$の描く曲線を$C$と表す．曲線$C$上で，$y$座標が最大となる点の座標を求めよ．
(3)曲線$C$と直線$y=x$で囲まれる図形の面積を求めよ．

関数$f(x)$を$f(x)=x \sin x$とおく．また，曲線$y=f(x)$上の点$(\alpha,\ f(\alpha))$における接線の方程式を$y=g(x)$とおく．$\alpha>0$のとき，以下の問いに答えよ．

(1)$g(x)$を$\alpha$を用いて表せ．
(2)直線$y=g(x)$が原点を通るような最小の$\alpha$を$\alpha_1$とし，$\alpha=\alpha_1$のときの$g(x)$を$h(x)$とおく．$\alpha_1$の値と$h(x)$を求めよ．
(3)$0 \leqq x \leqq \alpha_1$において$h(x) \geqq f(x)$であることを示せ．
(4)$0 \leqq x \leqq \alpha_1$において直線$y=h(x)$と曲線$y=f(x)$で囲まれてできる図形の面積を求めよ．

次の各問に答えよ．

(1)方程式$2 \cdot 8^x-3 \cdot 4^{x+1}+5 \cdot 2^{x+1}+24=0$を満たすような実数$x$をすべて求めよ．
(2)数列$\{a_n\}$が，$a_1=\sin^2 \theta,\ a_{n+1}=4a_n(1-a_n) (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$で定められているとき，次の$(ⅰ),\ (ⅱ)$に答えよ．

(i) $a_2$と$a_3$を，$\theta$を用いて表せ．
(ii) $a_n$が$\theta$と$n$を用いてどのように表されるのか予想し，それが正しいことを数学的帰納法を用いて証明せよ．

$x>0,\ x \neq 1$を定義域とする次の$5$つの関数を考える．
\[ \frac{x^2+1}{2},\quad \frac{2x^2}{x^2+1},\quad x,\quad \left( \frac{x+1}{2} \right)^2,\quad \frac{x^2-1}{2 \log x} \]
このとき，次の問いに答えなさい．

(1)上の$5$つの関数の間に$[1]<[2]<[3]<[4]<[5]$の不等式が成立するとすれば，$[1]$から$[5]$にはどの関数が入るか．$x=2$を代入することによりそれらを決定しなさい．ただし，$\log 2=0.693 \cdots$とする．
(2)$[4]<[5]$の部分の不等式を証明しなさい．
(3)$[2]<[3]$の部分の不等式を証明しなさい．