$N,\ a,\ b$は正の整数とする．箱の中に赤玉が$a$個，白玉が$b$個入っている．箱から無作為に1個の玉を取り出し，色を記録して箱に戻す．この操作を繰り返し，同じ色の玉が2回続けて出るか，または取り出す回数が$2N +2$になったら終了する．$n$回取り出して終わる確率を$P(n)$とし，$\displaystyle p=\frac{a}{a+b},\ q =\frac{b}{a+b},\ r = pq$とおく．次の問いに答えよ．

(1)$P(2j),\ P(2j+1) \ (j =1,\ 2,\ \cdots,\ N)$および$P(2N +2)$を$r$を用いて表せ．
(2)$\displaystyle (1-r)\sum_{j=1}^N jr^{j-1}=\frac{1-r^N}{1-r}-Nr^N$を示せ．
(3)取り出す回数の期待値$\displaystyle m = \sum_{n=2}^{2N+2} nP(n)$について，$\displaystyle m<\frac{2+r}{1-r}$となることを示せ．
(4)上の期待値$m$について，$m<3$を示せ．

10枚のカードに0から9までの数字が1つずつ記入してある．この中から1枚のカードを取り出し，その数字を記録してもとに戻す．この試行を4回繰り返すとき，記録された4つの数字について次の問いに答えよ．

(1)1種類の数字からなる確率，すなわち4つの数字がすべて同じになる確率を求めよ．
(2)2種類の数字からなる確率を求めよ．
(3)3種類の数字からなる確率を求めよ．

$1$から$n$までの数字が$1$つずつ書かれた合計$n$枚のカードからランダムに$1$枚取り出して，書かれた数字を記録し，カードを元に戻す．この操作を$k$回繰り返したとき，記録された$k$個の数字の最大値を$X$とする(例えば$k=3$の場合で，記録された数字が$(5,\ 1,\ 2)$，$(3,\ 5,\ 5)$あるいは$(5,\ 5,\ 5)$のとき，$X=5$となる)．このとき，以下の問に答えよ．

(1)$n=4,\ k=3$とすると，$P(X=2)$はいくらになるか．
(2)$n=4,\ k=3$としたときの$X$の期待値を求めよ．
(3)$k=3$としたときの$X$の期待値を，$n$を用いて表せ．
(4)$\mathrm{A}$君は$k=1$として上の試行を行い，値$X_A$を得るものとする．$\mathrm{B}$君は$k=a \ $($a$は1以上の整数)として上の試行を行い，値$X_B$を得るものとする．このとき，$\displaystyle \lim_{n \to \infty}P(X_A \geqq X_B)$を求めよ．