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国立 琉球大学 2016年 第4問$N$を$3$以上の自然数とする．
$1$から$N$までの数字が$1$つずつ書かれた$N$枚のカードを袋に入れ，「無作為に$1$枚のカードを取り出し，そのカードを袋に戻さず次のカードを取り出す」という作業を$3$枚のカードを取り出すまで繰り返す．取り出された$3$枚のカードに書かれた数の最大値を$X$とする．
また，$1$から$N$までの数字が$1$つずつ書かれた$N$枚のカードを袋に入れ，「無作為に$1$枚のカードを取り出してはそれに書かれた数を記録し，袋に戻す」という作業を$3$回行い，記録された数の最大値を$Y$とする．
$n$を$N$以下の自然数とする．$X=n$となる確率を$p_n$とし，$Y=n$となる確率を$q_n$とする．
次の問いに答えよ．
(1)$p_3,\ q_1,\ q_2,\ q_3$を求めよ．
(2)$p_n$と$q_n$を求めよ．
$1$から$N$までの数字が$1$つずつ書かれた$N$枚のカードを袋に入れ，「無作為に$1$枚のカードを取り出し，そのカードを袋に戻さず次のカードを取り出す」という作業を$3$枚のカードを取り出すまで繰り返す．取り出された$3$枚のカードに書かれた数の最大値を$X$とする．
また，$1$から$N$までの数字が$1$つずつ書かれた$N$枚のカードを袋に入れ，「無作為に$1$枚のカードを取り出してはそれに書かれた数を記録し，袋に戻す」という作業を$3$回行い，記録された数の最大値を$Y$とする．
$n$を$N$以下の自然数とする．$X=n$となる確率を$p_n$とし，$Y=n$となる確率を$q_n$とする．
次の問いに答えよ．
(1)$p_3,\ q_1,\ q_2,\ q_3$を求めよ．
(2)$p_n$と$q_n$を求めよ．
国立 愛媛大学 2016年 第1問次の問いに答えよ．
(1)$2m^2-n^2-mn-m+n=18$を満たす自然数$m,\ n$を求めよ．
(2)$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$のとき$\displaystyle \log_{\cos \theta} \left( \tan^2 \theta+\frac{\tan \theta}{\cos \theta}+\frac{1}{3} \right)=-2$を満たす$\theta$を求めよ．
(3)袋の中に$1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5$の数字が$1$つずつ書かれた$5$個の玉が入っている．$5$人が順にこの袋の中から玉を$1$個ずつ取り出し，玉に書かれた数字を記録する．この操作が終了したら，すべての玉を袋の中に戻し，同じ操作をもう一度行う．このとき，$1$回目と$2$回目に取り出した玉に書かれた数字が同じであるという人がちょうど$3$人になる確率を求めよ．
(4)$1 \leqq x \leqq 2$とする．関数$\displaystyle f(x)=\int_1^2 |t-x| \, dt$を最小にする$x$の値を求めよ．
(1)$2m^2-n^2-mn-m+n=18$を満たす自然数$m,\ n$を求めよ．
(2)$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$のとき$\displaystyle \log_{\cos \theta} \left( \tan^2 \theta+\frac{\tan \theta}{\cos \theta}+\frac{1}{3} \right)=-2$を満たす$\theta$を求めよ．
(3)袋の中に$1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5$の数字が$1$つずつ書かれた$5$個の玉が入っている．$5$人が順にこの袋の中から玉を$1$個ずつ取り出し，玉に書かれた数字を記録する．この操作が終了したら，すべての玉を袋の中に戻し，同じ操作をもう一度行う．このとき，$1$回目と$2$回目に取り出した玉に書かれた数字が同じであるという人がちょうど$3$人になる確率を求めよ．
(4)$1 \leqq x \leqq 2$とする．関数$\displaystyle f(x)=\int_1^2 |t-x| \, dt$を最小にする$x$の値を求めよ．
国立 愛媛大学 2016年 第1問次の問いに答えよ．
(1)$2m^2-n^2-mn-m+n=18$を満たす自然数$m,\ n$を求めよ．
(2)$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$のとき$\displaystyle \log_{\cos \theta} \left( \tan^2 \theta+\frac{\tan \theta}{\cos \theta}+\frac{1}{3} \right)=-2$を満たす$\theta$を求めよ．
(3)袋の中に$1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5$の数字が$1$つずつ書かれた$5$個の玉が入っている．$5$人が順にこの袋の中から玉を$1$個ずつ取り出し，玉に書かれた数字を記録する．この操作が終了したら，すべての玉を袋の中に戻し，同じ操作をもう一度行う．このとき，$1$回目と$2$回目に取り出した玉に書かれた数字が同じであるという人がちょうど$3$人になる確率を求めよ．
(4)$1 \leqq x \leqq 2$とする．関数$\displaystyle f(x)=\int_1^2 |t-x| \, dt$を最小にする$x$の値を求めよ．
(1)$2m^2-n^2-mn-m+n=18$を満たす自然数$m,\ n$を求めよ．
(2)$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$のとき$\displaystyle \log_{\cos \theta} \left( \tan^2 \theta+\frac{\tan \theta}{\cos \theta}+\frac{1}{3} \right)=-2$を満たす$\theta$を求めよ．
(3)袋の中に$1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5$の数字が$1$つずつ書かれた$5$個の玉が入っている．$5$人が順にこの袋の中から玉を$1$個ずつ取り出し，玉に書かれた数字を記録する．この操作が終了したら，すべての玉を袋の中に戻し，同じ操作をもう一度行う．このとき，$1$回目と$2$回目に取り出した玉に書かれた数字が同じであるという人がちょうど$3$人になる確率を求めよ．
(4)$1 \leqq x \leqq 2$とする．関数$\displaystyle f(x)=\int_1^2 |t-x| \, dt$を最小にする$x$の値を求めよ．
私立 慶應義塾大学 2016年 第3問ある野生動物を$10$匹捕獲し，$0$から$9$の番号で区別して体長と体重を記録したところ以下の表のようになった．体長と体重の単位は省略する．
\begin{tabular}{|c||c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
番号 & $0$ & $1$ & $2$ & $3$ & $4$ & $5$ & $6$ & $7$ & $8$ & $9$ \\ \hline
体長 & $60$ & $66$ & $52$ & $69$ & $54$ & $72$ & $74$ & $60$ & $58$ & $61$ \\ \hline
体重 & $5.5$ & $5.7$ & $5.9$ & $5.9$ & $6.0$ & $6.2$ & $6.2$ & $6.4$ & $6.5$ & $6.7$ \\ \hline
\end{tabular}
(1)この$10$匹の体長の最小値は$[$34$][$35$]$，最大値は$[$36$][$37$]$である．
(2)この$10$匹は$5$匹ずつ$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$の$2$種類に分類できる．$1$つの種類の中では体長と体重は正の相関を持つ．$10$匹の体長と体重の相関係数は$0.05$以下だが，種類$\mathrm{A}$の$5$匹に限れば$0.95$以上であり，種類$\mathrm{B}$の$5$匹も$0.95$以上である．また，番号$2$の個体は種類$\mathrm{B}$である．このとき，種類$\mathrm{A}$の$5$匹の番号は小さいほうから順に$[$38$]$，$[$39$]$，$[$40$]$，$[$41$]$，$[$42$]$であり，その$5$匹の体長の平均値は$[$43$][$44$].[$45$]$となる．
(3)$10$匹のうち体長の大きいほうから$5$匹の体長の平均値は$[$46$][$47$].[$48$]$である．$(2)$で求めた平均値と異なるのは，体長の大きい$5$匹のうち番号$[$49$]$の個体が種類$\mathrm{B}$だからである．
(4)$(2)$で求めた種類$\mathrm{A}$の$5$匹の体重の偏差と体長の偏差の積の和は$6.6$，体重の偏差の$2$乗の和の平方根は小数第$3$位を四捨五入すると$0.62$，体長の偏差の$2$乗の和の平方根は小数第$1$位を四捨五入すると$[$50$][$51$]$である．
\begin{tabular}{|c||c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
番号 & $0$ & $1$ & $2$ & $3$ & $4$ & $5$ & $6$ & $7$ & $8$ & $9$ \\ \hline
体長 & $60$ & $66$ & $52$ & $69$ & $54$ & $72$ & $74$ & $60$ & $58$ & $61$ \\ \hline
体重 & $5.5$ & $5.7$ & $5.9$ & $5.9$ & $6.0$ & $6.2$ & $6.2$ & $6.4$ & $6.5$ & $6.7$ \\ \hline
\end{tabular}
(1)この$10$匹の体長の最小値は$[$34$][$35$]$，最大値は$[$36$][$37$]$である．
(2)この$10$匹は$5$匹ずつ$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$の$2$種類に分類できる．$1$つの種類の中では体長と体重は正の相関を持つ．$10$匹の体長と体重の相関係数は$0.05$以下だが，種類$\mathrm{A}$の$5$匹に限れば$0.95$以上であり，種類$\mathrm{B}$の$5$匹も$0.95$以上である．また，番号$2$の個体は種類$\mathrm{B}$である．このとき，種類$\mathrm{A}$の$5$匹の番号は小さいほうから順に$[$38$]$，$[$39$]$，$[$40$]$，$[$41$]$，$[$42$]$であり，その$5$匹の体長の平均値は$[$43$][$44$].[$45$]$となる．
(3)$10$匹のうち体長の大きいほうから$5$匹の体長の平均値は$[$46$][$47$].[$48$]$である．$(2)$で求めた平均値と異なるのは，体長の大きい$5$匹のうち番号$[$49$]$の個体が種類$\mathrm{B}$だからである．
(4)$(2)$で求めた種類$\mathrm{A}$の$5$匹の体重の偏差と体長の偏差の積の和は$6.6$，体重の偏差の$2$乗の和の平方根は小数第$3$位を四捨五入すると$0.62$，体長の偏差の$2$乗の和の平方根は小数第$1$位を四捨五入すると$[$50$][$51$]$である．
国立 和歌山大学 2015年 第1問$n$を$1$以上の整数とする．袋の中に，$1$の数字を書いたカードが$1$枚，$2$の数字を書いたカードが$2$枚，$3$の数字を書いたカードが$3$枚入っている．この袋の中から，無作為にカードを$1$枚取り出して数字を記録し，もとに戻すという試行を繰り返す．次の問いに答えよ．
(1)この試行を$n$回繰り返したとき，記録された$n$個の数字すべての積を$R_n$とする．$R_n$が$3$で割り切れない確率と，$R_n$が$6$で割り切れる確率を$n$を用いて表せ．
(2)この試行を$n$回繰り返したとき，記録された$n$個の数字の合計を$S_n$とし，$S_n$が偶数である確率を$p_n$とする．$p_{n+1}$を$p_n$を用いて表し，数列$\{p_n\}$の一般項を求めよ．
(1)この試行を$n$回繰り返したとき，記録された$n$個の数字すべての積を$R_n$とする．$R_n$が$3$で割り切れない確率と，$R_n$が$6$で割り切れる確率を$n$を用いて表せ．
(2)この試行を$n$回繰り返したとき，記録された$n$個の数字の合計を$S_n$とし，$S_n$が偶数である確率を$p_n$とする．$p_{n+1}$を$p_n$を用いて表し，数列$\{p_n\}$の一般項を求めよ．
国立 和歌山大学 2015年 第1問$n$を$1$以上の整数とする．袋の中に，$1$の数字を書いたカードが$1$枚，$2$の数字を書いたカードが$2$枚，$3$の数字を書いたカードが$3$枚入っている．この袋の中から，無作為にカードを$1$枚取り出して数字を記録し，もとに戻すという試行を繰り返す．次の問いに答えよ．
(1)この試行を$n$回繰り返したとき，記録された$n$個の数字すべての積を$R_n$とする．$R_n$が$3$で割り切れない確率と，$R_n$が$6$で割り切れる確率を$n$を用いて表せ．
(2)この試行を$n$回繰り返したとき，記録された$n$個の数字の合計を$S_n$とし，$S_n$が偶数である確率を$p_n$とする．$p_{n+1}$を$p_n$を用いて表し，数列$\{p_n\}$の一般項を求めよ．
(1)この試行を$n$回繰り返したとき，記録された$n$個の数字すべての積を$R_n$とする．$R_n$が$3$で割り切れない確率と，$R_n$が$6$で割り切れる確率を$n$を用いて表せ．
(2)この試行を$n$回繰り返したとき，記録された$n$個の数字の合計を$S_n$とし，$S_n$が偶数である確率を$p_n$とする．$p_{n+1}$を$p_n$を用いて表し，数列$\{p_n\}$の一般項を求めよ．
私立 東京薬科大学 2015年 第5問$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$の二人がそれぞれサイコロを投げ，出た目を$1$回毎に記録する．$\mathrm{A}$はそれまでに出た目の積が$3$の倍数になった時点で，$\mathrm{B}$はそれまでに出た目の和が$3$の倍数になった時点で試行を打ち切る．$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$の試行がちょうど$n$回目で打ち切られる確率をそれぞれ$a_n$，$b_n$とする．
(1)$\displaystyle a_1=\frac{[さ]}{[し]},\ b_1=\frac{[す]}{[せ]}$である．
(2)$\displaystyle a_n=\frac{[そ]}{[た]} \left( \frac{[ち]}{[つ]} \right)^{n-1}$である．
(1)$\displaystyle a_1=\frac{[さ]}{[し]},\ b_1=\frac{[す]}{[せ]}$である．
(2)$\displaystyle a_n=\frac{[そ]}{[た]} \left( \frac{[ち]}{[つ]} \right)^{n-1}$である．
国立 福井大学 2014年 第2問$1$から$7$までの数を$1$つずつ書いた$7$個の玉が，袋の中に入っている．袋から玉を$1$個取り出し，書かれている数を記録して袋に戻す．この試行を$n$回繰り返して得られる$n$個の数の和が$4$の倍数となる確率を$p_n$とする．ただし，$n$は正の整数とする．このとき，以下の問いに答えよ．
(1)$p_1$と$p_2$を求めよ．
(2)$p_{n+1}$を$p_n$の式で表せ．
(3)$p_n$を求めよ．また極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty}p_n$を求めよ．
(1)$p_1$と$p_2$を求めよ．
(2)$p_{n+1}$を$p_n$の式で表せ．
(3)$p_n$を求めよ．また極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty}p_n$を求めよ．
国立 静岡大学 2014年 第2問$n$を$3$以上の自然数とし，$k$を$4$以上の自然数とする．$1$から$n$までの番号の札が$1$枚ずつ計$n$枚ある．この中から$1$枚の札を引き，番号を記録してからもとに戻す操作をする．この試行を$k$回くり返す．$i$回目（$1 \leqq i \leqq k$）に引いた札の番号を$X_i$とするとき，次の問いに答えよ．
(1)$X_1,\ X_2,\ \cdots,\ X_k$がすべて異なる番号である確率を求めよ．
(2)$X_1,\ X_2,\ \cdots,\ X_k$のうち，ちょうど$k-1$個が同じ番号である確率を求めよ．
(3)自然数$l$が$2 \leqq l \leqq k-2$を満たすとき，$X_1,\ X_2,\ \cdots,\ X_k$のうち，ちょうど$l$個が同じ番号で，残りの$k-l$個がすべて異なる番号である確率を求めよ．
(1)$X_1,\ X_2,\ \cdots,\ X_k$がすべて異なる番号である確率を求めよ．
(2)$X_1,\ X_2,\ \cdots,\ X_k$のうち，ちょうど$k-1$個が同じ番号である確率を求めよ．
(3)自然数$l$が$2 \leqq l \leqq k-2$を満たすとき，$X_1,\ X_2,\ \cdots,\ X_k$のうち，ちょうど$l$個が同じ番号で，残りの$k-l$個がすべて異なる番号である確率を求めよ．
私立 慶應義塾大学 2014年 第3問$n$を自然数とする．赤玉が$n$個，青玉が$2$個，白玉が$1$個入った袋がある．
(1)袋から同時に$2$個の玉を取り出す．$n=[$31$][$32$]$のとき，取り出された$2$個の玉に含まれる赤玉の個数の期待値は$\displaystyle \frac{7}{4}$である．
(2)袋から玉を$1$個取り出し，色を調べてから元に戻すことを$10$回くり返す．
(i) $n=5$のとき，青玉が$9$回以上出る確率は$\displaystyle \frac{[$33$][$34$]}{4^{10}}$である．
(ii) 調べた色を順に記録してできる色の列のうちで
「赤が$8$個以下，または$3$番目が青か白」
であるものの総数は$3^{10}-[$35$][$36$]$である．
(1)袋から同時に$2$個の玉を取り出す．$n=[$31$][$32$]$のとき，取り出された$2$個の玉に含まれる赤玉の個数の期待値は$\displaystyle \frac{7}{4}$である．
(2)袋から玉を$1$個取り出し，色を調べてから元に戻すことを$10$回くり返す．
(i) $n=5$のとき，青玉が$9$回以上出る確率は$\displaystyle \frac{[$33$][$34$]}{4^{10}}$である．
(ii) 調べた色を順に記録してできる色の列のうちで
「赤が$8$個以下，または$3$番目が青か白」
であるものの総数は$3^{10}-[$35$][$36$]$である．