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私立 沖縄国際大学 2013年 第3問以下の各問いに答えなさい．
(1)次の命題$(ⅰ)$～$\tokeijyu$の真偽を書きなさい．
(i) 自然数ならば偶数である．
(ii) 食べ物ならば果物である．
(iii) 人間でないならば動物ではない．
\mon[$\tokeishi$] 整数ならば実数である．
\mon[$\tokeigo$] $|2x^2-5x-3|>0$ならば$x \neq 3$である．
\mon[$\tokeiroku$] $x^2=9$ならば$x=3$である．
\mon[$\tokeishichi$] $2$の倍数ならば$4$の倍数である．
\mon[$\tokeihachi$] $x+y>0$ならば$x>0$かつ$y>0$である．
\mon[$\tokeikyu$] $A \cap B=\phi$ならば$A \neq B$である．
\mon[$\tokeijyu$] $A=\{2x \;|\; 1 \leqq x \leqq 10,\ x \text{は自然数} \}$，$B=\{2y+2 \;|\; 1 \leqq y \leqq 10,\ y \text{は自然数} \}$ならば$A \subset B$である．
(2)以下の図において$A \cup B$の部分を塗りつぶしなさい．
（図は省略）
(3)$2x^2-x-1=0$の必要条件を次の$(ⅰ)$～$\tokeishi$からすべて選び，解答欄に記号で答えなさい．
(i) $x<0$
(ii) $x$は素数である．
(iii) $|x| \leqq 1$
\mon[$\tokeishi$] $x$は実数である．
(4)命題「$(x-1)^2=0$ならば$x=-1$または$x=1$」の逆，裏，対偶を解答欄に書きなさい．またこの命題の真偽を書き，偽のときは反例を挙げなさい．
(1)次の命題$(ⅰ)$～$\tokeijyu$の真偽を書きなさい．
(i) 自然数ならば偶数である．
(ii) 食べ物ならば果物である．
(iii) 人間でないならば動物ではない．
\mon[$\tokeishi$] 整数ならば実数である．
\mon[$\tokeigo$] $|2x^2-5x-3|>0$ならば$x \neq 3$である．
\mon[$\tokeiroku$] $x^2=9$ならば$x=3$である．
\mon[$\tokeishichi$] $2$の倍数ならば$4$の倍数である．
\mon[$\tokeihachi$] $x+y>0$ならば$x>0$かつ$y>0$である．
\mon[$\tokeikyu$] $A \cap B=\phi$ならば$A \neq B$である．
\mon[$\tokeijyu$] $A=\{2x \;|\; 1 \leqq x \leqq 10,\ x \text{は自然数} \}$，$B=\{2y+2 \;|\; 1 \leqq y \leqq 10,\ y \text{は自然数} \}$ならば$A \subset B$である．
(2)以下の図において$A \cup B$の部分を塗りつぶしなさい．
（図は省略）
(3)$2x^2-x-1=0$の必要条件を次の$(ⅰ)$～$\tokeishi$からすべて選び，解答欄に記号で答えなさい．
(i) $x<0$
(ii) $x$は素数である．
(iii) $|x| \leqq 1$
\mon[$\tokeishi$] $x$は実数である．
(4)命題「$(x-1)^2=0$ならば$x=-1$または$x=1$」の逆，裏，対偶を解答欄に書きなさい．またこの命題の真偽を書き，偽のときは反例を挙げなさい．
私立 聖マリアンナ医科大学 2013年 第2問負の実数$a,\ b$は，$u$についての$2$次方程式$u^2-su+t=0$の解で，$a^3+b^3-2ab=-4$を満たしている．このとき，設問に答えなさい．
(1)$a+b,\ ab$および$a^3+b^3-2ab$を$s,\ t$を用いて表すと，
\[ a+b=[$1$],\quad ab=[$2$],\quad a^3+b^3-2ab=[$3$] \]
となる．
(2)以下の$s,\ t$に対する記述（イ），（ロ），（ハ）のうち正しいものを選び，その記号を解答欄に記入しなさい．
\mon[（イ）] $s,\ t$は$s>0$，$t>0$，$s^2-4t \geqq 0$を満たしている．
\mon[（ロ）] $s,\ t$は$s<0$，$t>0$，$s^2 \geqq 4t$を満たしている．
\mon[（ハ）] $s,\ t$は$s<0$，$t>0$，$s^2<4t$を満たしている．
(3)$a+b$のとりうる値の範囲を求めなさい．
(1)$a+b,\ ab$および$a^3+b^3-2ab$を$s,\ t$を用いて表すと，
\[ a+b=[$1$],\quad ab=[$2$],\quad a^3+b^3-2ab=[$3$] \]
となる．
(2)以下の$s,\ t$に対する記述（イ），（ロ），（ハ）のうち正しいものを選び，その記号を解答欄に記入しなさい．
\mon[（イ）] $s,\ t$は$s>0$，$t>0$，$s^2-4t \geqq 0$を満たしている．
\mon[（ロ）] $s,\ t$は$s<0$，$t>0$，$s^2 \geqq 4t$を満たしている．
\mon[（ハ）] $s,\ t$は$s<0$，$t>0$，$s^2<4t$を満たしている．
(3)$a+b$のとりうる値の範囲を求めなさい．
私立 沖縄国際大学 2013年 第3問以下の各問いに答えなさい．
(1)以下の図において$\overline{A \cap B}$の部分を塗りつぶしなさい．
（図は省略）
(2)$A=\{2x \;|\; 1 \leqq x \leqq 10,\ x \text{は自然数} \}$，$B=\{3y \;|\; 1 \leqq y \leqq 10,\ y \text{は自然数} \}$のとき，$A \cap B$の要素をすべて答えなさい．
(3)命題「$x^2-1=0 \Longrightarrow x=1$または$x=-1$」の対偶を答えなさい．
(4)次の表中$①$～$⑤$（ \quad ）内に，命題「$p \Longrightarrow q$」が成立するように，次の（ア）～（ケ）から適切なものを \underline{すべて} 選び記号で答えなさい．
\begin{tabular}{|c|c|}
\hline
$p$ & $q$ \\ \hline
犬である． & $①$（ \qquad ） \\ \hline
宜野湾市である． & $②$（ \qquad ） \\ \hline
$x=5$ & $③$（ \qquad ） \\ \hline
$④$ （ \qquad ） & ほ乳類である． \\ \hline
$⑤$ （ \qquad ） & $x=-2$または$x=3$ \\ \hline
\end{tabular}
\begin{screen}
（ア） $x$は偶数である． \quad （イ） $x$は$2$の倍数である． \quad （ウ） $0<x<10$ \\
（エ） 動物である． \quad （オ） 沖縄県である． \quad （カ） 人間である． \\
（キ） $|x| \geqq 5$ \quad （ク） $x^2-x-6=0$ \quad （ケ） $x^2-x+6=0$
\end{screen}
(5)$x+y=2$ならば$x \leqq 1$または$y \leqq 1$であることを背理法によって証明しなさい．
(1)以下の図において$\overline{A \cap B}$の部分を塗りつぶしなさい．
（図は省略）
(2)$A=\{2x \;|\; 1 \leqq x \leqq 10,\ x \text{は自然数} \}$，$B=\{3y \;|\; 1 \leqq y \leqq 10,\ y \text{は自然数} \}$のとき，$A \cap B$の要素をすべて答えなさい．
(3)命題「$x^2-1=0 \Longrightarrow x=1$または$x=-1$」の対偶を答えなさい．
(4)次の表中$①$～$⑤$（ \quad ）内に，命題「$p \Longrightarrow q$」が成立するように，次の（ア）～（ケ）から適切なものを \underline{すべて} 選び記号で答えなさい．
\begin{tabular}{|c|c|}
\hline
$p$ & $q$ \\ \hline
犬である． & $①$（ \qquad ） \\ \hline
宜野湾市である． & $②$（ \qquad ） \\ \hline
$x=5$ & $③$（ \qquad ） \\ \hline
$④$ （ \qquad ） & ほ乳類である． \\ \hline
$⑤$ （ \qquad ） & $x=-2$または$x=3$ \\ \hline
\end{tabular}
\begin{screen}
（ア） $x$は偶数である． \quad （イ） $x$は$2$の倍数である． \quad （ウ） $0<x<10$ \\
（エ） 動物である． \quad （オ） 沖縄県である． \quad （カ） 人間である． \\
（キ） $|x| \geqq 5$ \quad （ク） $x^2-x-6=0$ \quad （ケ） $x^2-x+6=0$
\end{screen}
(5)$x+y=2$ならば$x \leqq 1$または$y \leqq 1$であることを背理法によって証明しなさい．
私立 産業医科大学 2013年 第1問空欄にあてはまる適切な数，式，記号などを記入しなさい．
(1)$100$円，$50$円，$10$円の硬貨がそれぞれたくさんあるとする．ある品物を買うのに$2300$円かかるとき，このお金による支払い方の総数は$[ ]$である．
(2)整式$P(x)$を$x^2-4x+3$で割ったときの余りは$x+1$であり，$x^2-3x+2$で割ったときの余りは$3x-1$である．$P(x)$を$x^3-6x^2+11x-6$で割ったときの余りは$[ ]$である．
(3)数列の極限$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{\sum_{k=1}^{2n} (k+n)^2}{\sum_{k=1}^{2n} k^2}$の値は$[ ]$である．
(4)$\sqrt{x}+\sqrt{y}=1$で表される座標平面上の曲線を$C$とする．曲線$C$上の$x$座標が$s (0<s<1)$である点における接線を$\ell$とする．接線$\ell$と曲線$C$および$x$軸，$y$軸とで囲まれた部分を，$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積の最小値は$[ ]$である．また，そのときの$s$の値は$[ ]$である．
(5)原点を$\mathrm{O}$とする座標平面上の$2$点$\mathrm{A}(1,\ 0)$，$\mathrm{B}(0,\ 1)$を結ぶ線分上に点$\mathrm{P}$がある．$\theta=\angle \mathrm{AOP}$とし，線分$\mathrm{OP}$の長さを$r$とするとき，$r$は$\theta$の関数として$r=f(\theta)$と表せる．このとき定積分$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} f(\theta) \, d\theta$の値は$[ ]$であり，$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} f(\theta)^2 \cos \theta \, d\theta$の値は$[ ]$である．
(6)$\mathrm{A}$が$1$枚のカードを，$\mathrm{B}$が$4$枚のカードを持っている．表が出る確率と裏が出る確率がそれぞれ$\displaystyle \frac{1}{2}$の偏りのないコインを投げて，表が出れば$\mathrm{A}$は$\mathrm{B}$からカードを$1$枚もらう．裏が出れば$\mathrm{A}$は$\mathrm{B}$にカードを$1$枚わたす．ただし，手もとにカードがなければわたさなくてよい．この試行を$4$回くり返した後，$\mathrm{A}$の手もとに残るカードの枚数の期待値は$[ ]$である．
(1)$100$円，$50$円，$10$円の硬貨がそれぞれたくさんあるとする．ある品物を買うのに$2300$円かかるとき，このお金による支払い方の総数は$[ ]$である．
(2)整式$P(x)$を$x^2-4x+3$で割ったときの余りは$x+1$であり，$x^2-3x+2$で割ったときの余りは$3x-1$である．$P(x)$を$x^3-6x^2+11x-6$で割ったときの余りは$[ ]$である．
(3)数列の極限$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{\sum_{k=1}^{2n} (k+n)^2}{\sum_{k=1}^{2n} k^2}$の値は$[ ]$である．
(4)$\sqrt{x}+\sqrt{y}=1$で表される座標平面上の曲線を$C$とする．曲線$C$上の$x$座標が$s (0<s<1)$である点における接線を$\ell$とする．接線$\ell$と曲線$C$および$x$軸，$y$軸とで囲まれた部分を，$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積の最小値は$[ ]$である．また，そのときの$s$の値は$[ ]$である．
(5)原点を$\mathrm{O}$とする座標平面上の$2$点$\mathrm{A}(1,\ 0)$，$\mathrm{B}(0,\ 1)$を結ぶ線分上に点$\mathrm{P}$がある．$\theta=\angle \mathrm{AOP}$とし，線分$\mathrm{OP}$の長さを$r$とするとき，$r$は$\theta$の関数として$r=f(\theta)$と表せる．このとき定積分$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} f(\theta) \, d\theta$の値は$[ ]$であり，$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} f(\theta)^2 \cos \theta \, d\theta$の値は$[ ]$である．
(6)$\mathrm{A}$が$1$枚のカードを，$\mathrm{B}$が$4$枚のカードを持っている．表が出る確率と裏が出る確率がそれぞれ$\displaystyle \frac{1}{2}$の偏りのないコインを投げて，表が出れば$\mathrm{A}$は$\mathrm{B}$からカードを$1$枚もらう．裏が出れば$\mathrm{A}$は$\mathrm{B}$にカードを$1$枚わたす．ただし，手もとにカードがなければわたさなくてよい．この試行を$4$回くり返した後，$\mathrm{A}$の手もとに残るカードの枚数の期待値は$[ ]$である．
私立 中京大学 2013年 第1問以下の各問で，$[ ]$にあてはまる数値または記号を求めよ．
(1)放物線$y=ax^2+bx+c$が$3$点$(-3,\ -15)$，$(0,\ -24)$，$(3,\ 21)$を通るとき，
\[ a=[ア],\quad b=[イ],\quad c=-[ウ][エ] \]
であり，この放物線と$x$軸との交点は$(-[オ],\ 0)$，$([カ],\ 0)$である．
(2)点$\mathrm{O}$を$\triangle \mathrm{ABC}$の内心とする．$\angle \mathrm{BAC}={60}^\circ$，$\angle \mathrm{ABO}={35}^\circ$のとき，
\[ \angle \mathrm{ACO}={[キ][ク]}^\circ,\quad \angle \mathrm{BOC}={[ケ][コ][サ]}^\circ \]
である．
(3)関数$\displaystyle y=\frac{1}{3} {\left( \frac{1}{8} \right)}^x-2 {\left( \frac{1}{4} \right)}^x+3 {\left( \frac{1}{2} \right)}^x+1 (x>-2)$は
$x=[シ]$で最大値$\displaystyle \frac{[ス]}{[セ]}$
をとり，
$x=-\log_2 [ソ]$で最小値$[タ]$
をとる．
(4)条件$a_1=0$，$\displaystyle a_n=a_{n-1}+\frac{n-1}{2013} (n=2,\ 3,\ 4,\ \cdots)$によって定められる数列$\{a_n\}$において，$a_n \geqq 1$を満たす最小の$n$は$[チ][ツ]$であり，
\[ a_{[チ][ツ]}=\frac{[テ][ト][ナ]}{[ニ][ヌ][ネ]} \]
である．
(1)放物線$y=ax^2+bx+c$が$3$点$(-3,\ -15)$，$(0,\ -24)$，$(3,\ 21)$を通るとき，
\[ a=[ア],\quad b=[イ],\quad c=-[ウ][エ] \]
であり，この放物線と$x$軸との交点は$(-[オ],\ 0)$，$([カ],\ 0)$である．
(2)点$\mathrm{O}$を$\triangle \mathrm{ABC}$の内心とする．$\angle \mathrm{BAC}={60}^\circ$，$\angle \mathrm{ABO}={35}^\circ$のとき，
\[ \angle \mathrm{ACO}={[キ][ク]}^\circ,\quad \angle \mathrm{BOC}={[ケ][コ][サ]}^\circ \]
である．
(3)関数$\displaystyle y=\frac{1}{3} {\left( \frac{1}{8} \right)}^x-2 {\left( \frac{1}{4} \right)}^x+3 {\left( \frac{1}{2} \right)}^x+1 (x>-2)$は
$x=[シ]$で最大値$\displaystyle \frac{[ス]}{[セ]}$
をとり，
$x=-\log_2 [ソ]$で最小値$[タ]$
をとる．
(4)条件$a_1=0$，$\displaystyle a_n=a_{n-1}+\frac{n-1}{2013} (n=2,\ 3,\ 4,\ \cdots)$によって定められる数列$\{a_n\}$において，$a_n \geqq 1$を満たす最小の$n$は$[チ][ツ]$であり，
\[ a_{[チ][ツ]}=\frac{[テ][ト][ナ]}{[ニ][ヌ][ネ]} \]
である．
公立 県立広島大学 2013年 第1問実数$a$に対して$n \leqq a<n+1$を満たす整数$n$を記号$[a]$で表す．次の問いに答えよ．
(1)$[-3.1]$を求めよ．
(2)$[\sqrt{800}]=10x$となる$x$を求めよ．
(3)$[19x-1]=10x$となる$x$を求めよ．
(4)$[x^2+6x-4]=10x$となるすべての$x$を求めよ．
(1)$[-3.1]$を求めよ．
(2)$[\sqrt{800}]=10x$となる$x$を求めよ．
(3)$[19x-1]=10x$となる$x$を求めよ．
(4)$[x^2+6x-4]=10x$となるすべての$x$を求めよ．
国立 東北大学 2012年 第4問平面上のベクトル$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$が
\[ |\overrightarrow{a}| = |\overrightarrow{b}| =1,\quad \overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=-\frac{1}{2} \]
を満たすとする．ただし，記号$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$はベクトル$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$の内積を表す．以下の問いに答えよ．
(1)実数$p,\ q$に対して，$\overrightarrow{c} = p\overrightarrow{a}+q\overrightarrow{b}$とおく．このとき，次の条件
\[ |\overrightarrow{c}|=1,\quad \overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{c}=0,\quad p>0 \]
を満たす実数$p,\ q$を求めよ．
(2)平面上のベクトル$\overrightarrow{x}$が
\[ -1 \leqq \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{x} \leqq 1 , \quad 1 \leqq \overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{x} \leqq 2 \]
を満たすとき，$|\overrightarrow{x}|$のとりうる値の範囲を求めよ．
\[ |\overrightarrow{a}| = |\overrightarrow{b}| =1,\quad \overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=-\frac{1}{2} \]
を満たすとする．ただし，記号$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$はベクトル$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$の内積を表す．以下の問いに答えよ．
(1)実数$p,\ q$に対して，$\overrightarrow{c} = p\overrightarrow{a}+q\overrightarrow{b}$とおく．このとき，次の条件
\[ |\overrightarrow{c}|=1,\quad \overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{c}=0,\quad p>0 \]
を満たす実数$p,\ q$を求めよ．
(2)平面上のベクトル$\overrightarrow{x}$が
\[ -1 \leqq \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{x} \leqq 1 , \quad 1 \leqq \overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{x} \leqq 2 \]
を満たすとき，$|\overrightarrow{x}|$のとりうる値の範囲を求めよ．
国立 防衛医科大学校 2012年 第4問$n,\ r$は$n \geqq r$を満たす正の整数であるとし，$x,\ y$ともに$0$以上$n$以下の整数であるような座標平面上の点$(x,\ y)$の集合を$S$とする．また，曲線$x^2+y^2=r^2 \ (x \geqq 0,\ y \geqq 0)$，$x$軸，$y$軸によって囲まれる領域(境界を含む)を$D$とする．ここで，$S$からランダムに$1$点を選ぶ試行を考える．このとき，以下の問に答えよ．
(1)$n=10,\ r=5$のとき，選ばれた点が$D$内にある確率はいくらか．
(2)$[\,x\,]$は$x$を超えない最大の整数を表す記号である．直線$x=t$上の点で$D$に含まれる$S$の要素の個数をこの記号を用いて表せ．ここで，$t$は0以上$r$以下の整数とする．
(3)$r=n$とし，選ばれた点が$D$内に含まれる確率を$P(n)$とする．このとき，極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty}P(n)$を求めよ．
(1)$n=10,\ r=5$のとき，選ばれた点が$D$内にある確率はいくらか．
(2)$[\,x\,]$は$x$を超えない最大の整数を表す記号である．直線$x=t$上の点で$D$に含まれる$S$の要素の個数をこの記号を用いて表せ．ここで，$t$は0以上$r$以下の整数とする．
(3)$r=n$とし，選ばれた点が$D$内に含まれる確率を$P(n)$とする．このとき，極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty}P(n)$を求めよ．
国立 滋賀医科大学 2012年 第3問正の整数$n$に対して，$\displaystyle f_n(x)=\sum_{k=1}^n (-1)^{k+1} \left( \frac{x^{2k-1}}{2k-1} +\frac{x^{2k}}{2k} \right)$を考える．
(1)導関数$f_n^\prime(x)$を求めよ．ただし和の記号$\displaystyle \sum$を用いずに表せ．
(2)$\displaystyle \int_0^1 \frac{1+x}{1+x^2} \, dx$を求めよ．
(3)$\displaystyle \lim_{n \to \infty}f_n(1)$を求めよ．
(1)導関数$f_n^\prime(x)$を求めよ．ただし和の記号$\displaystyle \sum$を用いずに表せ．
(2)$\displaystyle \int_0^1 \frac{1+x}{1+x^2} \, dx$を求めよ．
(3)$\displaystyle \lim_{n \to \infty}f_n(1)$を求めよ．
私立 産業医科大学 2012年 第1問空欄にあてはまる適切な数，式，記号などを記入しなさい．
(1)実数$x$に対して，$x$以下の最大の整数を$[x]$で表す．例えば$[3]=3$，$[3.14]=3$，$[-3.14]=-4$である．実数$x$について，方程式$4x-3[x]=0$の解の個数は$[ ]$であり，方程式$x^2-3x+[3x]=0$の解の個数は$[ ]$である．
(2)$a,\ b,\ c$を$a+b+c=\pi$を満たす正の実数とするとき，$\sin (a) \sin (b) \sin (c)$の最大値は$[ ]$である．
(3)原点を$\mathrm{O}$とする座標空間内の$3$点$\mathrm{A}(-1,\ 1,\ 1)$，$\mathrm{B}(1,\ -1,\ 1)$，$\mathrm{C}(1,\ 1,\ -1)$について$\triangle \mathrm{ABC}$は正三角形である．$\triangle \mathrm{ABC}$を$1$つの面にもつ正四面体の他の頂点$\mathrm{D}$の座標は$[ ]$または$[ ]$である．
(4)定積分$\displaystyle \int_3^4 \frac{6x+5}{x^3-3x-2} \, dx$の値は$[ ]$である．
(5)$123$から$789$までの$3$桁の数から，$1$つを無作為に選び出すとき，同じ数字が$2$つ以上含まれている確率は$[ ]$である．
(6)数直線上の点$\mathrm{P}$は，原点$\mathrm{O}$を出発して，次のルールに従って移動するとする．
「$1$つのさいころを振り，$3$以下の目が出たときは右に$1$，$5$以上の目が出たときは左に$1$，それぞれ動く．また，$4$の目が出たときは動かない．点$\mathrm{P}$の座標が$-1$になったら，さいころを振るのを止め点$\mathrm{P}$はそこにとどまる．それ以外のときは，さいころをまた振る．」
さいころを多くとも$3$回振り移動も終えた後の，点$\mathrm{P}$の座標の期待値は$[ ]$である．
(1)実数$x$に対して，$x$以下の最大の整数を$[x]$で表す．例えば$[3]=3$，$[3.14]=3$，$[-3.14]=-4$である．実数$x$について，方程式$4x-3[x]=0$の解の個数は$[ ]$であり，方程式$x^2-3x+[3x]=0$の解の個数は$[ ]$である．
(2)$a,\ b,\ c$を$a+b+c=\pi$を満たす正の実数とするとき，$\sin (a) \sin (b) \sin (c)$の最大値は$[ ]$である．
(3)原点を$\mathrm{O}$とする座標空間内の$3$点$\mathrm{A}(-1,\ 1,\ 1)$，$\mathrm{B}(1,\ -1,\ 1)$，$\mathrm{C}(1,\ 1,\ -1)$について$\triangle \mathrm{ABC}$は正三角形である．$\triangle \mathrm{ABC}$を$1$つの面にもつ正四面体の他の頂点$\mathrm{D}$の座標は$[ ]$または$[ ]$である．
(4)定積分$\displaystyle \int_3^4 \frac{6x+5}{x^3-3x-2} \, dx$の値は$[ ]$である．
(5)$123$から$789$までの$3$桁の数から，$1$つを無作為に選び出すとき，同じ数字が$2$つ以上含まれている確率は$[ ]$である．
(6)数直線上の点$\mathrm{P}$は，原点$\mathrm{O}$を出発して，次のルールに従って移動するとする．
「$1$つのさいころを振り，$3$以下の目が出たときは右に$1$，$5$以上の目が出たときは左に$1$，それぞれ動く．また，$4$の目が出たときは動かない．点$\mathrm{P}$の座標が$-1$になったら，さいころを振るのを止め点$\mathrm{P}$はそこにとどまる．それ以外のときは，さいころをまた振る．」
さいころを多くとも$3$回振り移動も終えた後の，点$\mathrm{P}$の座標の期待値は$[ ]$である．