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私立 久留米大学 2014年 第7問次の計算をしなさい．
\[ \int_0^1 \log (\sqrt{x}+1) \, dx=[$19$],\quad \int_0^1 \left\{ \sqrt{2x-x^2}+\sin \left( x-\frac{1}{2} \right) \right\} \, dx=[$20$] \]
\[ \int_0^1 \log (\sqrt{x}+1) \, dx=[$19$],\quad \int_0^1 \left\{ \sqrt{2x-x^2}+\sin \left( x-\frac{1}{2} \right) \right\} \, dx=[$20$] \]
私立 安田女子大学 2014年 第1問次の問いに答えよ．
(1)$3x(3x+1)=6 \times 7$であるとき，$x$の値を求めよ．
(2)$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}-2}-\frac{2}{\sqrt{3}+2}$を計算せよ．
(3)$3 \, \%$の食塩水$100 \, \mathrm{g}$を$2 \, \%$の食塩水にするには，水を何$\mathrm{g}$加えれば良いか答えよ．
(4)次の連立方程式を解け．
\[ \left\{ \begin{array}{l}
x+2y=4 \\
x^2+xy+y^2=7
\end{array} \right. \]
(1)$3x(3x+1)=6 \times 7$であるとき，$x$の値を求めよ．
(2)$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}-2}-\frac{2}{\sqrt{3}+2}$を計算せよ．
(3)$3 \, \%$の食塩水$100 \, \mathrm{g}$を$2 \, \%$の食塩水にするには，水を何$\mathrm{g}$加えれば良いか答えよ．
(4)次の連立方程式を解け．
\[ \left\{ \begin{array}{l}
x+2y=4 \\
x^2+xy+y^2=7
\end{array} \right. \]
私立 安田女子大学 2014年 第1問次の問いに答えよ．
(1)$3x(3x+1)=6 \times 7$であるとき，$x$の値を求めよ．
(2)$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}-2}-\frac{2}{\sqrt{3}+2}$を計算せよ．
(3)$3 \, \%$の食塩水$100 \, \mathrm{g}$を$2 \, \%$の食塩水にするには，水を何$\mathrm{g}$加えれば良いか答えよ．
(4)方程式$4 \cos^2 \theta+4 \sin \theta-5=0$を解け．ただし，$0^\circ \leqq \theta \leqq {90}^\circ$とする．
(5)方程式$(\log_2 x)^2-2 \log_4 x^5+6=0$を解け．
(1)$3x(3x+1)=6 \times 7$であるとき，$x$の値を求めよ．
(2)$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}-2}-\frac{2}{\sqrt{3}+2}$を計算せよ．
(3)$3 \, \%$の食塩水$100 \, \mathrm{g}$を$2 \, \%$の食塩水にするには，水を何$\mathrm{g}$加えれば良いか答えよ．
(4)方程式$4 \cos^2 \theta+4 \sin \theta-5=0$を解け．ただし，$0^\circ \leqq \theta \leqq {90}^\circ$とする．
(5)方程式$(\log_2 x)^2-2 \log_4 x^5+6=0$を解け．
私立 安田女子大学 2014年 第1問次の問いに答えよ．
(1)$\displaystyle \left( \frac{1}{2}-\frac{1}{8} \right) \div 0.25$を計算せよ．
(2)$200$以下の自然数のうち，$3$の倍数でも$7$の倍数でもないものはいくつあるか答えよ．
(3)ある縮尺の地図上で，たて$x \, \mathrm{cm}$，よこ$y \, \mathrm{cm}$で表される長方形の土地がある．この土地の実際の面積が$z \, \mathrm{m}^2$のとき，この地図の縮尺を求めよ．
(4)$x$に関する方程式$kx^2+kx+1=0$が実数解を持たない場合の，$k$の最大値を求めよ．ただし，$k$は整数とする．
(1)$\displaystyle \left( \frac{1}{2}-\frac{1}{8} \right) \div 0.25$を計算せよ．
(2)$200$以下の自然数のうち，$3$の倍数でも$7$の倍数でもないものはいくつあるか答えよ．
(3)ある縮尺の地図上で，たて$x \, \mathrm{cm}$，よこ$y \, \mathrm{cm}$で表される長方形の土地がある．この土地の実際の面積が$z \, \mathrm{m}^2$のとき，この地図の縮尺を求めよ．
(4)$x$に関する方程式$kx^2+kx+1=0$が実数解を持たない場合の，$k$の最大値を求めよ．ただし，$k$は整数とする．
私立 東京薬科大学 2014年 第3問実数$\alpha,\ \beta$に対し，$\alpha,\ \beta$の大きいか等しい方を$\max \{\alpha,\ \beta\}$で表す．例えば，$\max \{1,\ 2\}=2$，$\max \{3,\ 3\}=3$である．$*$については$+,\ -$の$1$つが入る．
(1)$0 \leqq x \leqq 1$で$\displaystyle f(x)=\max \left\{ x,\ \frac{1}{2}(1-x) \right\}$とすると，
$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{[フ]}{[ヘ]}$のとき \quad $\displaystyle f(x)=\frac{1}{2}(1-x)$，
$\displaystyle \frac{[フ]}{[ヘ]}<x \leqq 1$のとき \quad $f(x)=x$
である．
(2)$0 \leqq x \leqq 2\pi$で$f(x)=\max \{\sin x,\ \cos x\}$とすると，
$\displaystyle \frac{[ホ]}{[マ]} \pi \leqq x \leqq \frac{[ミ]}{[ム]} \pi$のとき \quad $\displaystyle f(x)=\sin x$，
それ以外の$x$では \quad $f(x)=\cos x$
である．
(3)$f(x)=\max \{2x^2-3x+a,\ -x^2+5x\}$とする．
$0 \leqq x \leqq 1$で$f(x)=2x^2-3x+a$となるのは，$a \geqq [$*$ メ]$のときである．
(4)$a>0$とする．$0 \leqq x \leqq 1$で$\displaystyle f(x)=\max \left\{ ax,\ \frac{1}{2}(1-ax) \right\}$を考える．このとき，
$\displaystyle I(a)=\int_0^1 f(x) \, dx$を計算すると，
$\displaystyle 0<a \leqq \frac{[モ]}{[ヤ]}$のとき \quad $\displaystyle I(a)=\frac{[ユ]}{[ヨ]} \left( 1+\frac{[$*$ ラ]}{[リ]}a \right)$，
$\displaystyle \frac{[モ]}{[ヤ]}<a$のとき \quad $\displaystyle I(a)=\frac{[ル]}{[レ]}a+\frac{[$*$ ロ]}{[ワヲ]a}$
である．
(1)$0 \leqq x \leqq 1$で$\displaystyle f(x)=\max \left\{ x,\ \frac{1}{2}(1-x) \right\}$とすると，
$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{[フ]}{[ヘ]}$のとき \quad $\displaystyle f(x)=\frac{1}{2}(1-x)$，
$\displaystyle \frac{[フ]}{[ヘ]}<x \leqq 1$のとき \quad $f(x)=x$
である．
(2)$0 \leqq x \leqq 2\pi$で$f(x)=\max \{\sin x,\ \cos x\}$とすると，
$\displaystyle \frac{[ホ]}{[マ]} \pi \leqq x \leqq \frac{[ミ]}{[ム]} \pi$のとき \quad $\displaystyle f(x)=\sin x$，
それ以外の$x$では \quad $f(x)=\cos x$
である．
(3)$f(x)=\max \{2x^2-3x+a,\ -x^2+5x\}$とする．
$0 \leqq x \leqq 1$で$f(x)=2x^2-3x+a$となるのは，$a \geqq [$*$ メ]$のときである．
(4)$a>0$とする．$0 \leqq x \leqq 1$で$\displaystyle f(x)=\max \left\{ ax,\ \frac{1}{2}(1-ax) \right\}$を考える．このとき，
$\displaystyle I(a)=\int_0^1 f(x) \, dx$を計算すると，
$\displaystyle 0<a \leqq \frac{[モ]}{[ヤ]}$のとき \quad $\displaystyle I(a)=\frac{[ユ]}{[ヨ]} \left( 1+\frac{[$*$ ラ]}{[リ]}a \right)$，
$\displaystyle \frac{[モ]}{[ヤ]}<a$のとき \quad $\displaystyle I(a)=\frac{[ル]}{[レ]}a+\frac{[$*$ ロ]}{[ワヲ]a}$
である．
私立 玉川大学 2014年 第1問$[ア]$～$[ツ]$を埋めよ．
(1)次を計算せよ．
\[ 3+\frac{1}{3+\displaystyle\frac{1}{3+\displaystyle\frac{1}{3}}}=\frac{[アイウ]}{[エオ]},\quad 3 \times 2 \div 3^{-1}=[カキ] \]
(2)空欄を埋めよ．
\[ \frac{\sqrt{2}+2i}{1-\sqrt{2}i}=-\frac{\sqrt{[ク]}}{[ケ]}+\frac{[コ]}{[サ]}i \]
(3)$\mathrm{A}$君と，$\mathrm{A}$君の姉の年齢の和は$28$，積は$180$である．$\mathrm{A}$君の年齢は$[シス]$歳，姉の年齢は$[セソ]$歳である．
(4)$\log_8 x+\log_8 (x+2) \geqq 1$を解くと
\[ x \geqq [タ] \]
である．
(5)曲線$y=x^2$上の点$(1,\ 1)$における接線の方程式は$y=[チ]x-[ツ]$である．
(1)次を計算せよ．
\[ 3+\frac{1}{3+\displaystyle\frac{1}{3+\displaystyle\frac{1}{3}}}=\frac{[アイウ]}{[エオ]},\quad 3 \times 2 \div 3^{-1}=[カキ] \]
(2)空欄を埋めよ．
\[ \frac{\sqrt{2}+2i}{1-\sqrt{2}i}=-\frac{\sqrt{[ク]}}{[ケ]}+\frac{[コ]}{[サ]}i \]
(3)$\mathrm{A}$君と，$\mathrm{A}$君の姉の年齢の和は$28$，積は$180$である．$\mathrm{A}$君の年齢は$[シス]$歳，姉の年齢は$[セソ]$歳である．
(4)$\log_8 x+\log_8 (x+2) \geqq 1$を解くと
\[ x \geqq [タ] \]
である．
(5)曲線$y=x^2$上の点$(1,\ 1)$における接線の方程式は$y=[チ]x-[ツ]$である．
私立 南山大学 2014年 第1問$[ ]$の中に答を入れよ．
(1)$a$を実数とするとき，不等式$x^2-2ax+2a^2+a-1>0$がすべての実数$x$に対して成り立つような$a$の値の範囲を求めると$[ア]$である．
(2)$n$を整数とするとき，$\displaystyle \frac{3n-2}{5}$より大きな整数のうち最小のものが$6$となるような$n$の値をすべて求めると$n=[イ]$である．
(3)複素数$\displaystyle z=\frac{2-i}{1+i}$について，$z^2-z$を計算すると$z^2-z=[ウ]$である．さらに，$z^4-2z^3+3z^2-3z$を計算すると$z^4-2z^3+3z^2-3z=[エ]$である．
(4)$a>0$とし，$x>0$において$\displaystyle y=\left( \log_{10}ax^2 \right) \left( \log_{10} \frac{a}{x} \right)$を考える．$t=\log_{10} x$，$b=\log_{10}a$として$y$を$t$と$b$で表すと$y=[オ]$である．また，$x$の方程式$\displaystyle \left( \log_{10}ax^2 \right) \left( \log_{10} \frac{a}{x} \right)=1$が異なる$2$つの解$\alpha,\ \beta$をもつとき，$\alpha\beta$を$a$で表すと$\alpha\beta=[カ]$である．
(5)座標平面上の$3$点$\mathrm{A}(4,\ 6)$，$\mathrm{B}(1,\ 3)$，$\mathrm{C}(4,\ 2)$を考える．$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$を通る円の半径$r$を求めると$r=[キ]$である．また，点$\mathrm{A}$を通る直線が，この円と$\mathrm{A}$とは異なる点$\mathrm{P}$で交わり，$\mathrm{AP}=\sqrt{2}r$となるとき，この直線の傾き$k$を求めると$k=[ク]$である．
(1)$a$を実数とするとき，不等式$x^2-2ax+2a^2+a-1>0$がすべての実数$x$に対して成り立つような$a$の値の範囲を求めると$[ア]$である．
(2)$n$を整数とするとき，$\displaystyle \frac{3n-2}{5}$より大きな整数のうち最小のものが$6$となるような$n$の値をすべて求めると$n=[イ]$である．
(3)複素数$\displaystyle z=\frac{2-i}{1+i}$について，$z^2-z$を計算すると$z^2-z=[ウ]$である．さらに，$z^4-2z^3+3z^2-3z$を計算すると$z^4-2z^3+3z^2-3z=[エ]$である．
(4)$a>0$とし，$x>0$において$\displaystyle y=\left( \log_{10}ax^2 \right) \left( \log_{10} \frac{a}{x} \right)$を考える．$t=\log_{10} x$，$b=\log_{10}a$として$y$を$t$と$b$で表すと$y=[オ]$である．また，$x$の方程式$\displaystyle \left( \log_{10}ax^2 \right) \left( \log_{10} \frac{a}{x} \right)=1$が異なる$2$つの解$\alpha,\ \beta$をもつとき，$\alpha\beta$を$a$で表すと$\alpha\beta=[カ]$である．
(5)座標平面上の$3$点$\mathrm{A}(4,\ 6)$，$\mathrm{B}(1,\ 3)$，$\mathrm{C}(4,\ 2)$を考える．$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$を通る円の半径$r$を求めると$r=[キ]$である．また，点$\mathrm{A}$を通る直線が，この円と$\mathrm{A}$とは異なる点$\mathrm{P}$で交わり，$\mathrm{AP}=\sqrt{2}r$となるとき，この直線の傾き$k$を求めると$k=[ク]$である．
私立 愛知学院大学 2014年 第1問次を計算しなさい．
(1)$\displaystyle \left( \frac{-1+\sqrt{3}i}{2}\right)^3=[ア]$である．
(2)$\displaystyle \log_3 \sqrt{6}-\frac{1}{2} \log_3 \frac{1}{5}-\frac{3}{2} \log_3 \sqrt[3]{30}=[イ]$である．
(3)$\displaystyle x=\frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{2}$，$\displaystyle y=\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{2}$のとき$x^4-y^4=[ウ]$である．
(1)$\displaystyle \left( \frac{-1+\sqrt{3}i}{2}\right)^3=[ア]$である．
(2)$\displaystyle \log_3 \sqrt{6}-\frac{1}{2} \log_3 \frac{1}{5}-\frac{3}{2} \log_3 \sqrt[3]{30}=[イ]$である．
(3)$\displaystyle x=\frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{2}$，$\displaystyle y=\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{2}$のとき$x^4-y^4=[ウ]$である．
公立 釧路公立大学 2014年 第1問次の計算をせよ．
(1)$(\sqrt{2}+\sqrt{-3})(\sqrt{-8}-\sqrt{12})$
(2)$(2-i)^3$
(1)$(\sqrt{2}+\sqrt{-3})(\sqrt{-8}-\sqrt{12})$
(2)$(2-i)^3$
公立 福岡女子大学 2014年 第1問新しく購入した機械は，購入$1$年目から$1$年間隔で$4$回の定期検査を受けることになっている．検査で異常が見つかる確率は毎回同じで$p (0<p<1)$である．定期検査で異常が見つかった場合のみ修理が行われる．検査は無料であるが，修理は有料である．$1$年目の検査で異常が見つかった場合の修理費用は$80000$円であり，$r$年目（$r=2,\ 3,\ 4$）の検査で異常が見つかった場合の修理費用は
\[ \left\{ \begin{array}{ll}
80000 \times r \text{（円）}, & \text{ただし，前回までの検査で異常なしの場合} \\
0 \text{（円）}, & \text{ただし，前回までの検査で修理を受けている場合}
\end{array} \right. \]
である．以下の問に答えなさい．
(1)$r=1,\ 2,\ 3,\ 4$とする．$r$年目の検査で初めて異常が見つかる確率$P$と$r$年目の検査が終わるまで異常が見つからない確率$Q$とをそれぞれ$r$と$p$を用いた式で表しなさい．
(2)購入してから$4$年目の検査が終わるまでの修理費用を$X$で表す．$X$のとり得る値とその確率を表にし，$X$の期待値を$p$の式で表しなさい．
(3)$p=0.1$とする．購入時に$4$年間保証として$70000$円を支払うと，修理費用は無料となる．$4$年間保証に加入することと，修理時に費用を支払うのとでは，どちらが得であるかを$X$の期待値を計算して検討しなさい．
\[ \left\{ \begin{array}{ll}
80000 \times r \text{（円）}, & \text{ただし，前回までの検査で異常なしの場合} \\
0 \text{（円）}, & \text{ただし，前回までの検査で修理を受けている場合}
\end{array} \right. \]
である．以下の問に答えなさい．
(1)$r=1,\ 2,\ 3,\ 4$とする．$r$年目の検査で初めて異常が見つかる確率$P$と$r$年目の検査が終わるまで異常が見つからない確率$Q$とをそれぞれ$r$と$p$を用いた式で表しなさい．
(2)購入してから$4$年目の検査が終わるまでの修理費用を$X$で表す．$X$のとり得る値とその確率を表にし，$X$の期待値を$p$の式で表しなさい．
(3)$p=0.1$とする．購入時に$4$年間保証として$70000$円を支払うと，修理費用は無料となる．$4$年間保証に加入することと，修理時に費用を支払うのとでは，どちらが得であるかを$X$の期待値を計算して検討しなさい．