整数ではない実数$x$に対して$\displaystyle f(x)=\frac{1}{x-[x]}$と定める．ただし，$[x]$は$l<x<l+1$を満たす整数$l$を表す．以下の問いに答えよ．

(1)$f(\sqrt{2}),\ f(f(\sqrt{2}))$を計算し，簡潔な形で答えよ．
(2)$f(\sqrt{3}),\ f(f(\sqrt{3})),\ f(f(f(\sqrt{3})))$を計算し，簡潔な形で答えよ．
(3)自然数$n$に対して，$n<x<n+1$かつ$f(x)=x$を満たす$x$を求めよ．
(4)自然数$n$を$1$つ固定する．$n<x<n+1$の範囲の$x$で，$f(x)$が整数ではなく，さらに$f(f(x))=x$を満たす$x$を大きい順に並べる．その中の$x$で$f(x)=x$を満たすものは何番目に現れるかを答えよ．

袋に赤玉が$2$個と白玉が$1$個入っている．袋から玉を$1$個取り出し玉の色を見て袋に戻す．このとき取り出した玉と同色の玉をもう$1$つ袋に加える．この操作を繰り返して行う．

(1)$n$回目の操作を終えたとき，それまでに赤玉を取り出した回数が$k$回（$0 \leqq k \leqq n$）であったとする．このとき，$n+1$回目の操作で赤玉を取り出す確率を$p_n(k)$とおくと，$p_n(k)=[ナ]$となる．
(2)$n$回目の操作を終えるまでに赤玉を取り出す回数が$k$回（$0 \leqq k \leqq n$）である確率を$q_n(k)$とおく．たとえば，$\displaystyle q_1(1)=\frac{2}{3}$，$q_4(2)=[ニ]$となる．$n$回の操作中$j$回目（$1 \leqq j \leqq n$）だけ赤玉を取り出し，その他の操作では白玉を取り出す確率は$[ヌ]$であり，$q_n(1)=n \times [ヌ]$となる．$q_n(k)$を$n$と$k$を用いて表すと，$q_n(k)=[ネ]$となる．
(3)$n$回目の操作を終えるまでに赤玉を取り出す回数が$k$回（$0 \leqq k \leqq n$）であり，$n+1$回目の操作で赤玉を取り出す確率は，$(1)$と$(2)$で定めた$p_n(k)$と$q_n(k)$を用いて$q_n(k)p_n(k)$となる．このことから，$n+1$回目に赤玉を取り出す確率を計算すると$[ノ]$となる．
(4)$f(x)=e^{-x^2}$とする．$S_n$を$(1)$と$(2)$で定めた$p_n(k)$と$q_n(k)$を用いて
\[ S_n=\sum_{k=0}^n f(p_n(k))q_n(k) \]
とおくと，$\displaystyle \lim_{n \to \infty}S_n=[ハ]$となる．

各自然数$n$に対し，$X_n,\ Y_n,\ V_n,\ W_n$を
\[ X_n+Y_n \sqrt{5}=(2+\sqrt{5})^{2n-1},\quad V_n-W_n \sqrt{5}=(2-\sqrt{5})^{2n-1} \]
が成り立つような整数とする．次の問いに答えよ．$\sqrt{5}$が無理数であることを証明なしで使ってもよい．

(1)$X_2,\ Y_2,\ V_2,\ W_2$の値を求めよ．
(2)$X_{n+1},\ Y_{n+1}$をそれぞれ$X_n$と$Y_n$の式で表せ．
(3)$V_{n+1},\ W_{n+1}$をそれぞれ$V_n$と$W_n$の式で表せ．
(4)$X_n^2-5Y_n^2$を計算せよ．
(5)$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{X_n}{Y_n}$を計算せよ．

$a>0$とする．$xy$平面上に点$\mathrm{A}(-\sqrt{2}a,\ 0)$，$\mathrm{B}(\sqrt{2}a,\ 0)$を固定する．動点$\mathrm{P}(x,\ y)$は条件$\mathrm{AP}+\mathrm{BP}=4a$をみたすものとする．次の問に答えよ．

(1)点$\mathrm{P}$の軌跡として得られる曲線の方程式を求めよ．ただし，答のみでよい．
(2)$(1)$の曲線の$-\sqrt{2}a \leqq x \leqq \sqrt{2}a$の部分と，直線$x=-\sqrt{2}a$，直線$x=\sqrt{2}a$で囲まれる図形を$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体を考える．この立体の体積$V$を求めよ．
(3)$(2)$の立体の表面積$S$を求めよ．ここで，$y=f(x)$のグラフの$p \leqq x \leqq q$の部分を$x$軸のまわりに$1$回転してできる曲面の面積は
\[ 2\pi \int_p^q \sqrt{\{f(x)\}^2+\{f(x)f^\prime(x)\}^2} \, dx \]
として計算してよい．

企業$\mathrm{X}$が$n$個の新製品を同時に開発しており，各新製品の開発に成功する確率は$\displaystyle \frac{1}{9}$である．すべての開発の結果が出た後に企業$\mathrm{X}$が存続できるための必要十分条件は，$n$個のうち$1$個以上の新製品の開発に成功していることである．ただし，各新製品の開発は独立な試行であるとする．企業$\mathrm{X}$が$n$個の新製品すべての開発に失敗する確率を$p_n$，また企業$\mathrm{X}$が存続できる確率を$q_n$とする．以下では，$\log_{10}2=0.3010$，$\log_{10}3=0.4771$として計算せよ．

(1)$p_n,\ q_n$をそれぞれ$n$を用いて表せ．
(2)$q_n \geqq 0.9$を満たす最小の自然数$n$を求めよ．
(3)$\displaystyle \frac{k}{1000}<q_{50}<\frac{k+1}{1000}$を満たす自然数$k$を求めよ．

ある鉄道会社では平成$26$年$3$月まで，最低運賃$130$円から$1000$円まで$10$円きざみで運賃が設定されていた．この年$4$月からの消費税率の引き上げに伴い，次のように運賃を改定することにした．

\mon[$①$] $\mathrm{IC}$カードを利用する場合
改定前の運賃に$108/105$を乗じ，$1$円未満の端数を切り捨て，$1$円単位にした額を新運賃とする．
\mon[$②$] 券売機等で発売する切符を利用する場合
改定前の運賃に$108/105$を乗じ，$10$円未満の端数を切り上げ，$10$円単位とした額を新運賃とする．

以下の問いに答えよ．

(1)切符を利用する場合，$20$円の値上げとなるような改定前運賃の範囲を求めよ．
(2)運賃改定後，$\mathrm{IC}$カードを利用した場合と，切符を利用した場合で運賃の差が最大となるような改定前運賃をすべて求めよ．
(3)切符を利用する場合の規則を，$10$円未満の端数を切り上げるのではなく，四捨五入する計算方法に変えたとする．このとき，値上げにならない運賃の範囲を求めよ．

$\displaystyle x=\frac{\sqrt{8}+\sqrt{6}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}},\ y=\frac{\sqrt{8}-\sqrt{6}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$とする．このとき，次の設問に答えよ．

(1)$x+y$を計算せよ．
(2)$xy$を計算せよ．

(3)$\displaystyle \frac{1}{x}+\frac{1}{y}$を計算せよ．

(4)$x^2+y^2$を計算せよ．

次の問いに答えよ．

(1)計算せよ．
\[ \sum_{k=1}^{10} (2k-1)^2=\kakkofour{$101$}{$102$}{$103$}{$104$} \]
(2)計算せよ．
\[ \sum_{k=1}^{20} (-1)^{k-1}k^2=\kakkofour{$105$}{$106$}{$107$}{$108$} \]
(3)$1$から$20$までの数を$2$つの数列$a_1,\ a_2,\ \cdots,\ a_{10}$と$b_1,\ b_2,\ \cdots,\ b_{10}$に分ける．
\[ S=\sum_{k=1}^{10} a_kb_k \]
と定義し，分け方を種々考え，$S$の最小値と最大値を求めると，それぞれ
\[ [$109$][$110$][$111$],\quad \kakkofour{$112$}{$113$}{$114$}{$115$} \]
となる．（ヒント：増加数列や減少数列を考える．）

次の各問の空欄に当てはまる最も適切な数値を記入せよ．

(1)$18(2n-4) \leqq 48n-400$を満たす最小の自然数$n$は$n=[$1$]$である．
(2)$\sqrt{10}$の整数部分を$a$，小数部分を$b$とする．このとき，


$a=[$2$]$，$b=\sqrt{[$3$]}-[$4$]$であり

$\displaystyle \frac{a}{b}=[$5$] \sqrt{[$6$]}+[$7$]$である．


(3)次の式を計算せよ．
\[ \frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{\sqrt{15}-\sqrt{3}}-\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{15}+\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{[$8$]}+[$9$] \sqrt{[$10$]}}{[$11$]} \]
(4)$720$の正の約数の個数は$[$12$]$個である．

次の各設問に答えなさい．

(1)$\displaystyle \frac{1}{1-a}+\frac{1}{1+a}+\frac{2}{1+a^2}+\frac{4}{1+a^4}+\frac{8}{1+a^8}$を計算しなさい．

(2)$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{5}-2}$の整数部分を$a$，小数部分を$b$とするとき，$a$と$b$の値を求めよ．

(3)$k$を正の定数とし，$2$つの放物線$y=-x^2+4x-2k$，$y=x^2+2kx+3k$をそれぞれ$C_1$，$C_2$とする．以下の問いに答えなさい．

(i) $C_1$の頂点の$y$座標が$1$であるとき，$k$の値を求めよ．
(ii) $C_2$が$x$軸と接するとき，$k$の値を求めよ．

(4)$\mathrm{AB}=5$，$\mathrm{AC}=4$，$\angle \mathrm{BAC}={60}^\circ$である$\triangle \mathrm{ABC}$がある．$\angle \mathrm{BAC}$の二等分線と辺$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{D}$とするとき，$\mathrm{AD}$の長さを求めよ．
(5)男子$4$人，女子$3$人が一列に並ぶとき，女子$3$人が続く並び方は，$[ア]$通りであり，両端に男子が並ぶのは$[イ]$通りである．