$\triangle \mathrm{ABC}$は，1辺の長さが1の正三角形で，$t$は正の実数とする．$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{AB}}$，$\overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{AC}}$とおく．直線$\mathrm{AB},\ \mathrm{AC}$上にそれぞれ点$\mathrm{D},\ \mathrm{E}$があり，$\overrightarrow{\mathrm{AD}}=t \overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{AE}}=t \overrightarrow{c}$をみたしている．正三角形$\triangle \mathrm{ADE}$の重心を$\mathrm{G}$，線分$\mathrm{BE}$の中点を$\mathrm{M}$とする．

(1)内積$\overrightarrow{\mathrm{MC}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{MG}}$を計算せよ．
(2)$t$が正の実数全体を動くとき，$\triangle \mathrm{CGM}$の面積を最小にする$t$の値と，そのときの面積を求めよ．

ある感染症の対策について考える．感染症の防御のためには感染拡大の試算が必要であり，感染拡大は自然にはその感染症の感染力と，致死性によって予測される．感染経路は，飛沫，接触，飲食などいろいろあり，感染力の制御，つまり感染を広げないために，ワクチン開発はもちろんであるが，外出規制（イベントの自粛や学級閉鎖など），手洗い呼びかけ，などが有効である． \\
ここでは簡単のために，$1$つの感染症のみを考え，ある一定の集団（たとえば$1000$人程度の島）を対象とし，外部との接触，出入りがないと仮定する．最初の時点での過去感染者，未感染者，現在感染者の割合をそれぞれ$x_0,\ y_0,\ z_0$とする．現在感染者は$1$か月後にはすべて過去感染者となり，一度感染した人はもう感染しない．また幸いなことにこの感染により死者は生じず，また簡単のために他要因による死者，あるいは出生，転入出もないとする． \\
$1$か月ごとの変動を見ることとし，$i$か月後の時点の上記の割合をそれぞれ$x_i,\ y_i,\ z_i$で示す．症状は丁度$1$か月続くので，一人の人が現在感染者として数えられるのは$1$回のみである． \\
過去感染者は，それまでの過去感染者に，$1$か月前の現在感染者を足したものである．また，現在感染者は，$1$か月前の未感染者と$1$か月前の現在感染者の接触頻度と，この感染症の感染力によって決まる．接触頻度の係数を$a$，感染力の係数を$b$とすると，現在感染者の割合は$1$か月前の現在感染者の割合，未感染者の割合，$a,\ b$の$4$つをかけたもので求められる． \\
$x_0=0$，$y_0=0.9$，$z_0=0.1$として，以下の問いに答えよ．計算は小数点以下第$4$位を四捨五入して求めよ．

(1)$x_i,\ y_i,\ z_i$を，$x_{i-1},\ y_{i-1},\ z_{i-1},\ a,\ b$で表せ．
(2)$a=1,\ b=1$として，$x_1,\ y_1,\ z_1,\ x_2,\ y_2,\ z_2,\ x_3,\ y_3,\ z_3$をそれぞれ求めよ．
(3)$a=1$，感染力の係数$b$を$2$とした時の$x_1,\ x_2,\ x_3$を求めよ．
(4)手洗いの徹底や外出規制が最初からなされたとして，$a=0.5$，$b=1$とした時の，$x_1,\ x_2,\ x_3$を求め，(2)，(3)の結果と共に，縦軸を過去感染者の割合，横軸を時間として，$3$つの場合の変化を同一座標上にグラフで示せ．

次の問に答えよ．

(1)次の定積分の値を計算せよ．
\[ \int_0^{\frac{1}{2}} \frac{1}{1-x^2} \, dx \]
(2)$0<x<\pi$とする．関数$\displaystyle y=\frac{1}{\sin x}$の極値を調べグラフの概形をかけ．
(3)$\displaystyle y=\frac{1}{\sin x}$が表す曲線と3直線$\displaystyle y=\frac{1}{2},\ x=\frac{\pi}{3},\ x=\frac{\pi}{2}$で囲まれた図形の面積を求めよ．

行列$X=\left( \begin{array}{cc}
\cos \theta & -\sin \theta \\
\sin \theta & \cos \theta
\end{array} \right)$について，次の問いに答えよ．ただし，$0 \leqq \theta<2\pi$とする．

(1)行列$X^2-(2 \cos \theta)X$を計算せよ．
(2)$\displaystyle \theta=\frac{\pi}{3}$のとき，行列$X^3+E$を計算せよ．ただし，$E$は$2$次の単位行列とする．
(3)$X^3-2X^2+X=O$を満たす$\theta$の値をすべて求めよ．ただし，$O$は$2$次の零行列とする．

行列$X=\left( \begin{array}{cc}
\cos \theta & -\sin \theta \\
\sin \theta & \cos \theta
\end{array} \right)$について，次の問いに答えよ．ただし，$0 \leqq \theta<2\pi$とする．

(1)行列$X^2-(2 \cos \theta)X$を計算せよ．
(2)$\displaystyle \theta=\frac{\pi}{3}$のとき，行列$X^3+E$を計算せよ．ただし，$E$は$2$次の単位行列とする．
(3)$X^3-2X^2+X=O$を満たす$\theta$の値をすべて求めよ．ただし，$O$は$2$次の零行列とする．

行列$A=\left( \begin{array}{cc}
-1 & 0 \\
0 & 1
\end{array} \right),\ B=\left( \begin{array}{cc}
0 & 1 \\
1 & 0
\end{array} \right)$を考える．

(1)$AB,\ BA,\ A^2,\ B^2$をそれぞれ計算しなさい．
(2)$A^{1639}B^{2011}$を求めなさい．
(3)$(AB)^{370}$を求めなさい．

行列
\[ A=\left( \begin{array}{cc}
-1 & 1 \\
-4 & 3
\end{array} \right) \]
について次の問いに答えよ．

(1)$A^2,\ A^3$を計算せよ．
(2)自然数$n$について$A^n$を求めよ．
(3)自然数$n$について$A^n$の逆行列を求めよ．

次の各設問に答えよ．

(1)$\displaystyle \frac{4}{3+\sqrt{5}}+\frac{1}{2+\sqrt{5}}$を計算すると$[　]$となる．

(2)$3^{2x}-2 \times 3^{x+2}=-81$を解くと，$x=[　]$となる．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=(2,\ 3)$，$\overrightarrow{\mathrm{CB}}=(-4,\ 5)$とする．このとき，$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=([　],\ [　])$であり，三角形$\mathrm{ABC}$の面積は$[　]$である．
(4)$3$つの直線$ax+y=1$，$x+2y=3$，$x-ay=-3$が一点で交わるとき，定数$a$の値は
\[ [　] \text{または} \frac{[　]}{[　]} \]
である．

次の$[　]$を埋めよ．

(1)曲線$y=x^2+2x$と$x$軸とで囲まれる部分の面積は$\displaystyle \frac{[　]}{[　]}$である．

(2)直角三角形$\mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=5$，$\mathrm{BC}=3$，$\mathrm{CA}=4$，$\angle \mathrm{BAC}=\theta$とするとき，$\displaystyle \cos \theta=\frac{[　]}{[　]}$，$\displaystyle \sin \theta=\frac{[　]}{[　]}$，$\displaystyle \tan \theta=\frac{[　]}{[　]}$である．

(3)次の計算をせよ．


(i) $\displaystyle \frac{1-\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}}{\sqrt{2}-\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}}=\sqrt{[　]}-[　]$

(ii) $\displaystyle \frac{1-\displaystyle\frac{1}{\sqrt{5}}}{\sqrt{5}-\displaystyle\frac{1}{\sqrt{5}}}=\frac{\sqrt{[　]}-[　]}{[　]}$

(iii) $\displaystyle \frac{1}{1-\displaystyle\frac{1}{1+\sqrt{2}+\sqrt{3}}}=[　]-\sqrt{[　]}+\sqrt{[　]}$


(4)$x \neq 0$とするとき，$\displaystyle k=x+\frac{1}{x}$のとり得る値の範囲は，$k \leqq [　]$，または$k \geqq [　]$である．

次の設問に答えなさい．

(1)次の計算をしなさい．
\[ (8a^3b^2)(2a^2b)^2 \left( -\frac{1}{4}ab^2 \right)^3 \]
(2)次の$(ⅰ)$～$(ⅲ)$の場合について，それぞれ$x$を求めなさい．ただし，${0}^\circ \leqq x \leqq {90}^\circ$とします．

(i) $\sin {58}^\circ=\cos x$
(ii) $\cos {169}^\circ=-\cos x$
(iii) $\displaystyle \tan {64}^\circ=\frac{1}{\tan x}$

(3)$0<x<y$のとき，次の式を簡単にしなさい．
\[ \sqrt{x^2-2xy+y^2}+\sqrt{x^2-4xy+4y^2} \]