次の各問に答えよ．

(1)$x>0$のとき，不等式$\displaystyle e^x>1+x+\frac{x^2}{2}$が成り立つことを証明せよ．
(2)$\displaystyle \lim_{x \to \infty} xe^{-x}=0$を証明せよ．
(3)関数$y=xe^{-x}$の増減・凹凸を調べ，そのグラフを描け．
(4)$n$を自然数とする．$\displaystyle I_n=\int_0^n xe^{-x}\, dx$を計算し，$\displaystyle \lim_{n \to \infty}I_n$を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$A=\biggl( \begin{array}{cc}
7 & -3 \\
-3 & 1
\end{array} \biggr), B=\biggl( \begin{array}{c}
2 \\
-4
\end{array} \biggr)$とするとき，$A$の逆行列$A^{-1}$と$B$の積$A^{-1}B$を計算せよ．
(2)次の関数の導関数を求めよ．
\[ y=x^{1+\frac{1}{x}} \quad (x>0) \]
(3)次の積分を求めよ．

\mon[(i)] $\displaystyle \int \frac{x^2+1}{x+1} \, dx$
\mon[(ii)] $\displaystyle \int_0^1 \frac{dx}{(x^2+1)^2}$

実数を成分に持つ行列$A=\biggl( \begin{array}{cc}
a & b \\
b & a
\end{array} \biggr)$とベクトル$P=\biggl( \begin{array}{c}
x \\
y
\end{array} \biggr),\ Q=\biggl( \begin{array}{c}
z \\
w
\end{array} \biggr)$について，以下の問いに答えよ．ただし，$b \neq 0$とする．

(1)$\displaystyle x=\frac{\sqrt{2}}{2}$のとき，$AP=\alpha P$と$y>0$を満たす$\alpha$と$y$を求めよ．
(2)次の3条件を満たす$\beta,\ z,\ w$を求めよ．
\[ AQ=\beta Q,\quad z^2+w^2=1,\quad z<w \]
(3)(1)と(2)で定められた$\alpha,\ \beta,\ x,\ y,\ z,\ w$を用いて，次式を計算せよ．
\[ \alpha \biggl( \begin{array}{c}
x \\
y
\end{array} \biggr) ( \begin{array}{cc}
x & y
\end{array} ) +\beta \biggl( \begin{array}{c}
z \\
w
\end{array} \biggr) ( \begin{array}{cc}
z & w
\end{array} ) \]
(4)(3)の結果を用いて，$A^n$を求めよ．ただし，$n$は1以上の自然数とする．

関数$f(x)=e^{\sqrt{3}x} \sin x$について，次の問に答えなさい．

(1)導関数$f^\prime(x)$を求めなさい．
(2)$x$が$0<x<\pi$の範囲にあるとき，関数$f(x)$の極値を与える$x$の値を求めなさい．
(3)定積分$\displaystyle \int_0^\pi e^{\sqrt{3}x} \sin x \, dx$を計算しなさい．

$A=\left( \begin{array}{cc}
a & 1 \\
1 & a
\end{array} \right),\ B=\left( \begin{array}{cc}
1 & a \\
a & 1
\end{array} \right)$について$C=AB$と定め，行列$C$の表す$1$次変換（移動）を$f$とする．ただし，$B \neq E$（単位行列），$a$は実数とする．

(1)行列の積$C=AB$を計算せよ．
(2)$1$次変換$f$によって，点$(0,\ 1)$を通る直線$\ell$上のすべての点がすべてその直線$\ell$上に移るとき，$a$の値と直線$\ell$の方程式を求めよ．

以下の問いに答えよ．

(1)関数
\[ f(x)=x \sin^2 x \quad (0 \leqq x \leqq \pi) \]
の最大値を与える$x$を$\alpha$とするとき，$f(\alpha)$を$\alpha$の分数式で表すと$[$1$]$となる．
(2)多項式
\[ a^4+b^4+c^4-2a^2b^2-2a^2c^2-2b^2c^2 \]
を因数分解すると$[$2$]$となる．
(3)$N$を与えられた自然数とし，$f(x)$および$g(x)$を区間$(-\infty,\ \infty)$で$N$回以上微分可能な関数とする．$f(x)$と$g(x)$から定まる関数を次のように定義する．$t$を与えられた実数として，
\[ \begin{array}{lll}
(f *_t g)(x) &=& \sum_{k=0}^N \displaystyle\frac{t^k}{2^k k!} f^{(k)}(x)g^{(k)}(x) \\
&=& \displaystyle f(x)g(x)+\frac{t}{2}f^\prime(x)g^\prime(x)+\cdots +\frac{t^N}{2^N N!} f^{(N)}(x)g^{(N)}(x)
\end{array} \]
とおく．ここに，$f^{(k)}(x)$は$f(x)$の第$k$次導関数である（$g^{(k)}(x)$も同様である）．$a$を実数，$n$を$N$以下の自然数とする．$f(x)=e^{2ax}$，$g(x)=x^n$にたいし，二項定理を用いて$(f *_t g)(x)$を計算すると$[$3$]$となる．
(4)関係式
\[ f(x)+\int_0^x f(t)e^{x-t} \, dt=\sin x \]
をみたす微分可能な関数$f(x)$を考える．$f(x)$の導関数$f^\prime(x)$を求めると，$f^\prime(x)=[$4$]$となる．$f(0)=[$5$]$であるから$f(x)=[$6$]$となる．

以下の問いに答えよ．

(1)次の文章の[ア]，[イ]，[ウ]を適当な整数で埋めよ．

$2^{10}=[ア]$より$10^{[イ]}<2^{10}<10^{[イ]+1}$であるから，$\displaystyle \frac{[ウ]}{10}<\log_{10}2<\frac{[ウ]+1}{10}$が成り立つ．

(2)$2^{13}$を計算し$2^{13}<10^4$であることを確かめよ．さらに$\log_{10}2<0.308$を示せ．
(3)$2^4 \times 3^8$を計算し$2^4 \times 3^8>10^5$であることを確かめよ．これと(2)を使って$\log_{10}3>0.471$を示せ．
(4)$3^9$を計算し$3^9<2 \times 10^4$であることを確かめよ．さらに，$\log_{10}3<0.479$を示せ．
(5)$3^{100}$は何桁の数であるか．

以下の問に答えよ．

(1)$0<x<1$で，$(\sqrt{2}-1)x+1<\sqrt{1+x}<\sqrt{2}$が成り立つことを示せ．
(2)$0<a<1$に対して定積分$\displaystyle \int_a^1 \sqrt{1-x} \, dx$，$\displaystyle \int_a^1 x\sqrt{1-x} \, dx$を計算せよ．
(3)極限値$\displaystyle \lim_{a \to 1-0}\frac{\displaystyle \int_a^1 \sqrt{1-x^2} \, dx}{(1-a)^{\frac{3}{2}}}$を求めよ．

数列$\{a(n)\}$を$a(1)=1$および$n \geqq 1$に対して
\[ \left\{
\begin{array}{l}
a(2n) = 3a(n) \\
a(2n+1)=2a(n)+a(n+1)
\end{array}
\right. \]
で定義する．以下の問いに答えよ．

(1)$a(2),\ a(3),\ a(4),\ a(5)$を求めよ．

次に数列$\{b(n)\}$を$b(1)=a(1)$および$n \geqq 2$に対して
\[ b(n)=a(n)-a(n-1) \]
で定義する．

\mon[(2)] $b(2),\ b(3),\ b(4),\ b(5)$を求めよ．
\mon[(3)] すべての自然数$n$に対して，
\[ \left\{
\begin{array}{l}
b(2n) = 2b(n) \\
b(2n+1)=b(n+1)
\end{array}
\right. \]
が成り立つことを証明せよ．
\mon[(4)] 自然数$k$に対して$b(2^k)$および$b(2^k+1)$を計算せよ．
\mon[(5)] 自然数$k$に対して$a(2^k-1)$を計算せよ．

次の[　]の中を適当に補いなさい．

(1)$4 \cos 15^\circ(1-\sin^2 15^\circ-\sin 15^\circ)-3(\sin 15^\circ+1) \cos 15^\circ=[　]$．
(2)100人の学生を対象に100点満点の試験を行った結果，平均点が75点，最高点が95点，最低点が25点であった．平均点以上の学生数を$M$とし，$M$の最小値を求めると[　]．ただし，点数は全て自然数とする．
(3)関数$y=x^3-3x$のグラフに，直線$y=-1$上のある点から傾きがそれぞれ$k,\ -k \ (k>0)$の2本の接線が引けるとき，その2本の接線の接点の$x$座標を$\alpha,\ \beta \ (\alpha<\beta)$とする．このとき，$A=\alpha^2+\beta^2,\ B=\alpha^3+\beta^3$の値を計算すると$(A,\ B)=[　]$．