曲線$C:(x-2)^2+y^2=1$と直線$\ell: y=(\tan \theta)x$を考える．ただし$\displaystyle 0 \leqq \theta < \frac{\pi}{2}$とする．$f(\theta)$を次の(ア)，(イ)，(ウ)のように定める．

\mon[(ア)] $C$と$\ell$の共有点の個数が1のとき，$f(\theta)$は共有点と原点の距離とする．
\mon[(イ)] $C$と$\ell$の共有点の個数が2以上のとき，$f(\theta)$は共有点と原点の距離のうち最も小さいものとする．
\mon[(ウ)] $C$と$\ell$が共有点を持たないとき，$f(\theta)=0$とする．

さらに，$C$と$\ell$が共有点を持つ$\theta$の最大値を$\alpha$とする．次の問いに答えよ．

(1)$\alpha$を求めよ．
(2)$C$と$\ell$が共有点を持つとき，$f(\theta)$を求めよ．
(3)次の積分を計算せよ．
\[ \int_0^\alpha \{f(\theta)\}^2 \, d\theta \]

$x>0$において関数
\[ f(x)=\sin (\log x) \]
を考える．\\
方程式$f(x)=0$の$0<x \leqq 1$における解を大きいほうから順にならべて，
\[ 1=\alpha_1>\alpha_2>\alpha_3>\cdots > \alpha_n>\alpha_{n+1} > \cdots \]
とする．以下の問いに答えよ．ただし，$\log x$は$e$を底とする自然対数とする．なお，不定積分の計算においては積分定数を省略してもよい．

(1)不定積分$I(x),\ J(x)$をそれぞれ
\[ I(x)=\int e^x \sin x \, dx,\quad J(x)=\int e^x \cos x \, dx \]
とおくとき，$I(x)+J(x),\ I(x)-J(x)$を求めよ．
(2)不定積分$\displaystyle \int f(x) \, dx$を求めよ．
(3)$\alpha_n \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を求めよ．
(4)区間$\alpha_{n+1} \leqq x \leqq \alpha_n$において，曲線$y=f(x)$と$x$軸とで囲まれる部分の面積を$S_n \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とする．$S_n$を求めよ．
(5)無限級数$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty S_n$の和$S$を求めよ．

次の行列$A$を考える．
\[ A=\left( \begin{array}{cc}
-2 & 2 \\
-2 & 0
\end{array} \right) \]
次の各問いに答えよ．

(1)$2 \times 2$行列$X$に対して，$E-X$が逆行列を持つとき
\[ E+X+X^2+\cdots +X^n=(E-X^{n+1})(E-X)^{-1} \]
が成立することを示せ．ただし，$E$は$2 \times 2$の単位行列である．
(2)$A^2$と$A^3$を計算せよ．さらに$A^{100}$と$A^{101}$を計算せよ．
(3)$E+A+A^2+\cdots +A^{100}$を計算せよ．

次の計算をせよ．ただし，$i$は虚数単位とする．

(1)$(\sqrt{3}+i)^3$
(2)$(\sqrt{3}+i)^{12}$

以下の計算をせよ．

(1)$\log_{10}50^{6-\log_2 1024}=[マ] \log_{10}2-[ミ]$
(2)$\sqrt[3]{54}+\sqrt[3]{-250}-\sqrt[3]{-16}=[ム]$
(3)$a$は正の実数とする．$\displaystyle a^x-\frac{1}{a^x}=\sqrt{5}$のとき$\displaystyle a^x+\frac{1}{a^x}=[メ]$である．

以下の問に答えよ．

(1)$25^3$を計算して，その答えを$A \times 10^3+625$の形に表したとき，$A$の値を求めよ．ただし，$A$は$0$以上の整数とする．
(2)$2$以上の自然数$n$に対して，$25^n$の下$3$桁は$625$になることを，数学的帰納法を用いて証明せよ．
(3)$25^{25}$の下$4$桁の数値を求めよ．

年利率$0.05$，$1$年ごとの複利で借金をする．今年の年度初めに$1000$万円を借りた．$1$年後（今年の年度末）から返済を開始し，毎年，年度末に同じ金額を返済するものとする．このとき，以下の問に答えよ．ただし，$1.05^7=1.407$，$1.05^8=1.477$，$1.05^9=1.551$，$1.05^{10}=1.629$として計算せよ．

（注）複利での借金とは次のようなものである．ある年の年度初めに年利率$r$で$A$円を借りると，$1$年後の借金は$A(1+r)$円になる．ここで$B$円を返すと，$1$年目の年度末の借金残額は$\{A(1+r)-B\}$円になるから，$2$年後の借金は$\{A(1+r)-B\}(1+r)$円になる．

(1)毎年，年度末に$100$万円を返済するとき，$1$年目の年度末の借金残額はいくらになるか．
(2)$10$年目の年度末に返済を完了するためには，毎年，いくらずつ返済すればよいか．ただし，最後の答は，一万円未満を切り捨てて，一万円までの概数で答えよ．
(3)毎年，年度末に$100$万円を返済するとき，借金残額が初めて$500$万円以下となるのは何年目の年度末か．

次の空欄を適当に補え．

(1)円$x^2+2x+y^2-6y-6=0$の半径は$[ア]$であり，中心の座標は$[イ]$である．

(2)$\displaystyle 2 \log_84+\log_3 \sqrt{15}-\frac{1}{\log_59}$を計算すると$[ウ]$である．

(3)$0 \leqq x<2\pi$とする．方程式$\cos 2x-5 \cos x+3=0$を解くと，$x=[エ],\ [オ]$である．
(4)$0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4$の$5$つの数字から同じ数字を繰り返し使わずに作れる$3$桁の偶数は全部で$[カ]$個ある．

以下の文中の$[　]$の中にいれるべき数または式を求めて記入せよ．

(1)$(x+1)(y+1)(xy+1)+xy$を因数分解すると$[　]$である．
(2)$0 \leqq x \leqq \pi$のとき，$2 \sin x=1$を満たす$x$は$x=[　]$である．
(3)$L=\log_a b \times \log_b c \times \log_c a$の値を計算すると$L=[　]$である．
(4)$|m^2-30|<20$を満たす整数$m$は全部で$[　]$個ある．
(5)$4$次方程式$x^4+ax^3+(a+3)x^2+16x+b=0$の解のうち$2$つは$1$と$2$である．このとき，$a=[　]$，$b=[　]$であり，残りの解は$[　]$と$[　]$である．

以下の文中の$[　]$の中にいれるべき数または式を求めて記入せよ．

(1)$\displaystyle S=\sum_{n=1}^{18} (-1)^n \log_{10}(n+1)(n+2)$の値を計算すると$S=[　]$である．
(2)$a>0,\ b>0,\ a+b=1$のとき，$\displaystyle \left( 2+\frac{1}{a} \right) \left( 2+\frac{1}{b} \right)$の最小値は$[　]$である．
(3)$2$次方程式$x^2+ax+a^2-4=0$が正の解と負の解を$1$つずつ持つときの定数$a$の値の範囲は，$[　]<a<[　]$である．
(4)数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和$S_n$が$S_n=2a_n+2n-5$で与えられている．このとき，$a_1=[　]$である．また，$a_{n+1}$を$a_n$を用いて表すと$a_{n+1}=[　]$である．