$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$の座標が，それぞれ$(4,\ 0,\ 0)$，$(0,\ 3,\ 0)$，$(0,\ 0,\ 8)$のとき，次の問いに答えなさい．

(1)三角形$\mathrm{ABC}$および原点によって囲まれた三角すい$\mathrm{OABC}$を図示し，体積を計算しなさい．
(2)三角形$\mathrm{ABC}$の面積を計算しなさい．

$a>0$のとき，曲線$y=|x^2-3x|$と直線$y=x+a$について，次の問いに答えなさい．

(1)曲線と直線を図示し，曲線と直線の共有点が$2$点となるように$a$の条件を求めなさい．
(2)$a=2$のとき，曲線と直線によって囲まれた面積を計算しなさい．

次の$(1)$から$(6)$の$[　]$に適する答えを書きなさい．

(1)$\overrightarrow{a}=(4,\ 3)$に垂直な単位ベクトルは$2$つあり，$[　]$と$[　]$である．
(2)$0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4$の$5$つの数字から$4$つの数字を選んで$4$桁の整数をつくるとき，その個数は全部で$[　]$個である．ただし，各数字は$1$回しか使えないこととする．
(3)$2x^2-5xy-3y^2+3x+5y-2$を因数分解すると$[　]$となる．
(4)三角形$\mathrm{ABC}$の内心を$\mathrm{I}$，$\angle \mathrm{BAC}=50^\circ$，$\angle \mathrm{ICA}=25^\circ$のとき，$\angle \mathrm{BIC}$は$[　]^\circ$となる．
(5)$1^2,\ 3^2,\ 5^2,\ 7^2,\ \cdots$の第$n$項までの和は$[　]$である．
(6)$\sin 75^\circ$，$\sin 22.5^\circ$を計算すると，それぞれ$[　]$，$[　]$となる．

次のようなゲームについて以下の問に答えよ．

カードが$5$枚伏せてある．$1$回の試行ではカードをかき混ぜて$1$枚をでたらめに選んでめくり，出たカードの番号に対応する賞品がもらえる．$5$種類の賞品をすべてあつめるのが目的である．ただし，めくったカードはその都度戻すものとする．
ここで，すでに$k$種類の賞品を持っている状況で試行を$1$回行ってまだ持っていない賞品がもらえる確率を$P_k$で表すとする（$0 \leqq k \leqq 4$）．$P_0=1$である．

(1)$P_1$の値を求めよ．
(2)$P_k$を$k$を用いた式で表せ．
(3)$5$回の試行で賞品が全種類そろう確率を求めよ．その際，考え方を説明し，確率を求める式も示せ．
(4)試行を$5$回行った時点で得られている賞品が$4$種類だけである確率を求めよ．その際，考え方を説明し，確率を求める式も示せ．
(5)ある事象が起きる確率が$x$であるとき，その事象が起きるまで繰り返し試行を行うならば，必要な試行回数の期待値は$\displaystyle \frac{1}{x}$だと知られている．ここで，賞品を$k$種類（$0 \leqq k \leqq 4$）持っている状況から始めてまだ持っていない賞品のいずれか$1$つが得られるまでの試行回数の期待値を$Q_k$で表すとする（$0 \leqq k \leqq 4$）．$Q_k$を$P_k$を用いた式で表せ．さらに$k$を用いた（$P_k$を使わない）形で式を表せ．
(6)賞品を$n$種類持っている状況から始めて賞品が$m$種類そろうまでの試行回数の期待値は$\displaystyle \sum_{k=n}^{m-1} Q_k$となる．ただし，$0 \leqq n<m \leqq 4$である．賞品を$1$つも持っていない状況から$4$種類そろうまでと，$4$種類そろった状況から最後の$1$種類が出るまでと，試行回数の期待値はどちらが大きいか．計算して求めよ．

$n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$に対し，
\[ I_n = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \tan^{2n} x\, dx \]
とおく．

(1)$I_n+I_{n+1}$を計算せよ．
(2)$\displaystyle \lim_{n \to \infty} I_n = 0$を示せ．
(3)$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \frac{1}{2n+1}$を求めよ．

関数$\displaystyle f(x)=\frac{1}{x^2+1}$に対して，$xy$平面上の曲線$C:y=f(x)$を考える．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)導関数$f^\prime(x)$を求めよ．
(2)曲線$C$の第$1$象限にある変曲点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．
(3)変曲点$\mathrm{P}$における曲線$C$の接線$\ell$の方程式を求めよ．
(4)$\displaystyle x=\tan \theta \ \left( -\frac{\pi}{2}<\theta<\frac{\pi}{2} \right)$とおく．このとき，不定積分
\[ I=\int \frac{dx}{x^2+1} \]
を$\theta$を用いて表せ．なお，不定積分の計算においては積分定数を省略してもよい．
(5)曲線$C$と接線$\ell$および$y$軸とで囲まれる部分の面積$S$を求めよ．

実数$x,\ y$が連立不等式
\[ \left\{
\begin{array}{ll}
10^{10}<2^x3^y<10^{11} & \cdots\cdots (\mathrm{A}) \\
10^9<3^x2^y<10^{10} & \cdots\cdots (\mathrm{B})
\end{array}
\right. \]
を満たすとき，次の問いに答えよ．

(1)連立不等式$(\mathrm{A})$，$(\mathrm{B})$が表す$xy$平面上の領域は，どのような図形であるか答えよ．また，その理由を述べよ．
(2)連立不等式$(\mathrm{A})$，$(\mathrm{B})$を満たす実数$x,\ y$において，$x+y$がとりうる値の範囲，および$y-x$がとりうる値の範囲をそれぞれ求めよ．
(3)連立不等式$(\mathrm{A})$，$(\mathrm{B})$を満たす整数$x,\ y$を考える．このとき，$y-x$が最大となる整数$x,\ y$を求めよ．ただし，$\log_{10}2=0.3010,\ \log_{10}3=0.4771$として計算してよい．

数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和$S_n$が条件
\[ S_n=4n-3a_n \]
を満たすとする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)初項$a_1$を求めよ．
(2)一般項$a_n$を求めよ．
(3)$\displaystyle a_n>\frac{35}{9}$となる最小の自然数$n$を求めよ．ただし，必要ならば$\log_{10}2=0.301$，$\log_{10}3=0.477$として計算してよい．

行列$A=\left( \begin{array}{cc}
-2 & 2 \\
2 & 1
\end{array} \right)$に対して
\[ X=-\frac{1}{5}(A-2E),\quad Y=\frac{1}{5}(A+3E) \]
とおく．ただし，$E$は$2$次の単位行列とする．

(1)$XY,\ YX,\ X^2,\ Y^2$を計算せよ．
(2)$A=aX+bY$を満たす実数$a,\ b$を求めよ．
(3)自然数$n$に対して$A^n$を求めよ．

空間において成分表示された$3$つのベクトルを
\[ \overrightarrow{a}=\left( \frac{\sqrt{3}+1}{2},\ 1,\ \frac{\sqrt{3}-1}{2} \right),\quad \overrightarrow{b}=(1,\ 0,\ 1),\quad \overrightarrow{c}=(1,\ 0,\ -1) \]
とする．これに対して原点$\mathrm{O}$に関する位置ベクトルが
\[ \overrightarrow{a}+(\cos t) \overrightarrow{b}+(\sin t) \overrightarrow{c} \]
である点$\mathrm{P}$を考える．次の問に答えよ．

(1)内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c}$，$\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}$，$\overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{c}$をそれぞれ計算せよ．
(2)$t$が$0$から$2\pi$まで動くとき，$|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|$の最大値，最小値とそのときの$t$の値をそれぞれ求めよ．