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慶應義塾大学 私立 慶應義塾大学 2015年 第2問
$a$を実数とする.絶対値を含む式$|x-a|x-a |x-a|$は,以下の$(1)$と$(2)$のように$2$通りの解釈が可能である.それぞれの解釈のもとで,方程式
\[ |x-a|x-a |x-a|=x-a \]
を考える.

(1)$|x-a|x-a |x-a|$を,絶対値$|x-a|$と$x$の積から,$a$と絶対値$|x-a|$の積を引いた値と解釈する.このとき,上の方程式の実数解を$a$を用いて小さいほうから列挙すると$x=[キ]$となる.
(2)$|x-a|x-a |x-a|$を$x-a |x-a|x-a$の絶対値であると解釈する.このとき,上の方程式の実数解の個数が$1$個となるための必要十分条件は$a \geqq [ク]$である.また,この方程式の実数解が異なる$3$つの整数となるのは$a=[ケ]$のときである.
(3)$(2)$と同じ解釈のもとで,上の方程式の実数解の個数が有限であるための必要十分条件は$a \neq [コ]$である.$a \neq [コ]$が必要条件であることの証明を書きなさい.
横浜市立大学 公立 横浜市立大学 2014年 第3問
$a$を正の実数とする.放物線$y^2=4ax$上に$2$点$\mathrm{O}(0,\ 0)$と$\mathrm{A}(x_1,\ y_1)$をとる.$y_1>0$として,以下の問いに答えよ.

(1)$\alpha>0$として,関数$F(t)$を
\[ F(t)=\frac{1}{2} \{t \sqrt{t^2+\alpha}+\alpha \log (t+\sqrt{t^2+\alpha}) \} \]
とおく.導関数$F^\prime(t)$を求めよ.
(2)点$\mathrm{O}$から点$\mathrm{A}$までの曲線の長さ$L$を$x_1$の関数として表せ.ただし,$x=0$で値が発散する関数$g(x)$については
\[ \int_0^a g(x) \, dx=\lim_{s \to +0} \int_s^a g(x) \, dx \]
と解釈する($a>s>0$).
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