正$n$角形の頂点から同時に$3$点を選び，それらを頂点とする三角形を作る．ただし，どの$3$点が選ばれるかは同様に確からしいとする．

(1)$n=6$のとき，三角形が直角三角形となる確率は$\displaystyle \frac{[マ]}{[ミ]}$である．
(2)$n=8$のとき，三角形が鈍角三角形となる確率は$\displaystyle \frac{[ム]}{[メ]}$である．
(3)$n$が偶数のとき，三角形が直角三角形となる確率は
\[ \frac{[モ]}{n+[ヤ]} \]
であり，三角形が鈍角三角形となる確率は
\[ \frac{[ユ]}{[ヨ]} \left( \frac{n+[ラ]}{n+[リ]} \right) \]
である．
(4)$n$が$6$の倍数のとき，三角形が正三角形以外の二等辺三角形となる確率は
\[ \frac{[ル](n+[レ])}{(n+[ロ])(n+[ワ])} \]
である．ただし，$[ロ]>[ワ]$とする．

次の$3$つの条件をすべて満たす$3$角形の$3$辺の長さを求めよ．

$(ⅰ)$ 最大角と最小角の差は$90^\circ$である．
$(ⅱ)$ $3$辺の長さを大きさの順に並べたものは等差数列である．
$(ⅲ)$ $3$辺の長さの和は$3$である．

$r$を正の定数とし，$n$を$3$以上の自然数とする．$C$が半径が$r$の円とする．円$C$に内接する正$n$角形の$1$辺の長さを$s_n$，円$C$に外接する正$n$角形の$1$辺の長さを$t_n$とする．ただし，正$n$角形が円$C$に外接するとは，円$C$が正$n$角形のすべての辺に接することである．

(1)$s_n$を$r$と$n$を用いて表せ．
(2)$\displaystyle \frac{s_n}{t_n}$を$n$を用いて表せ．
(3)$s_5=2$であるとき，円$C$に内接する正$5$角形の面積を，小数第$3$位を四捨五入して小数第$2$位まで求めよ．ただし，$\tan 36^\circ=0.727$としてよい．

正$n$角形（$n$は$3$以上の整数）の頂点から重複を許して$3$点$\mathrm{A}_1$，$\mathrm{A}_2$，$\mathrm{A}_3$を選ぶとき，次の問いに答えよ．

(1)$n=6$とする．$3$点$\mathrm{A}_1$，$\mathrm{A}_2$，$\mathrm{A}_3$で，

(i) 三角形ができる確率を求めよ．
(ii) 直角三角形，鈍角三角形，鋭角三角形ができる確率をそれぞれ求めよ．

(2)$n=2k$（$k$は$3$以上の整数）とする．$3$点$\mathrm{A}_1$，$\mathrm{A}_2$，$\mathrm{A}_3$で，

(i) 三角形ができる確率を$k$を用いて表せ．
(ii) 直角三角形，鈍角三角形，鋭角三角形ができる確率をそれぞれ$k$を用いて表せ．
(iii) 鋭角三角形ができる確率を$P_n$とするとき，$\displaystyle \lim_{n \to \infty}P_n$を求めよ．

$xy$平面において，原点を中心としP$(1,\ 0)$を頂点の1つとする正6角形を$X$とする．$A$を2次の正方行列とし，$X$の各頂点$(x,\ y)$に対して，行列$A$の表す移動
\[ \left( \begin{array}{c}
x^\prime \\
y^\prime
\end{array} \right) =A \left( \begin{array}{c}
x \\
y
\end{array} \right) \]
で得られる点$(x^\prime,\ y^\prime)$は$X$の辺上の点(頂点を含む)であるとする．以下の問いに答えよ．

(1)点Pが行列$A$の表す移動でP自身に移るとき，$X$の各頂点は$X$のいずれかの頂点に移ることを示せ．また，そのときの行列$A$を求めよ．
(2)点Pが行列$A$の表す移動で$X$のある頂点に移るとき，$X$の各頂点は$X$のいずれかの頂点に移ることを示せ．また，そのときの行列$A$を求めよ．

$n$を$3$以上の自然数とするとき，半径$a>0$の円に内接する正$n$角形の面積を求めなさい．また，この正$n$角形の$n$個の辺の長さの総和を求めなさい．