空間内の四面体$\mathrm{OABC}$について，$|\overrightarrow{\mathrm{OA}}|=3 \sqrt{2}$，$|\overrightarrow{\mathrm{OB}}|=4$，$|\overrightarrow{\mathrm{OC}}|=3$，$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}=\frac{9}{2}$，$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}=\frac{11}{2}$，$\angle \mathrm{BAC}={60}^\circ$とする．このとき以下の$[$1$]$から$[$9$]$に該当する数値を答えなさい．

$|\overrightarrow{\mathrm{AB}}|=[$1$]$，$|\overrightarrow{\mathrm{AC}}|=[$2$]$であり，また，$\overrightarrow{\mathrm{OB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}=[$3$]$である．
$\angle \mathrm{BAC}$の二等分線と辺$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{D}$とするとき，
$\overrightarrow{\mathrm{OD}}=[$4$] \overrightarrow{\mathrm{OA}}+[$5$] \overrightarrow{\mathrm{OB}}+[$6$] \overrightarrow{\mathrm{OC}}$である．
$\triangle \mathrm{OAC}$の重心$\mathrm{G}$と点$\mathrm{B}$を結ぶ線分が$\triangle \mathrm{OAD}$と交わる点を$\mathrm{E}$とするとき，
$\overrightarrow{\mathrm{OE}}=[$7$] \overrightarrow{\mathrm{OA}}+[$8$] \overrightarrow{\mathrm{OB}}+[$9$] \overrightarrow{\mathrm{OC}}$である．
なお，この空間の任意のベクトル$\overrightarrow{p}$は，実数$s,\ t,\ u$を用いて，
$\overrightarrow{p}=s \overrightarrow{\mathrm{OA}}+t \overrightarrow{\mathrm{OB}}+u \overrightarrow{\mathrm{OC}}$
の形に表すことができ，しかも，表し方はただ$1$通りである．

$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\angle \mathrm{A}$の$2$等分線と辺$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{D}$とおく．このとき，$\mathrm{AB}=4$，$\mathrm{AC}=2$，$\mathrm{AD}=\mathrm{BD}$とする．

(1)辺$\mathrm{BC}$の長さを求めよ．
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$の面積を求めよ．

次の$[　]$を埋めよ．

(1)曲線$y=x^2+2x$と$x$軸とで囲まれる部分の面積は$\displaystyle \frac{[　]}{[　]}$である．

(2)直角三角形$\mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=5$，$\mathrm{BC}=3$，$\mathrm{CA}=4$，$\angle \mathrm{BAC}=\theta$とするとき，$\displaystyle \cos \theta=\frac{[　]}{[　]}$，$\displaystyle \sin \theta=\frac{[　]}{[　]}$，$\displaystyle \tan \theta=\frac{[　]}{[　]}$である．

(3)次の計算をせよ．


(i) $\displaystyle \frac{1-\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}}{\sqrt{2}-\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}}=\sqrt{[　]}-[　]$

(ii) $\displaystyle \frac{1-\displaystyle\frac{1}{\sqrt{5}}}{\sqrt{5}-\displaystyle\frac{1}{\sqrt{5}}}=\frac{\sqrt{[　]}-[　]}{[　]}$

(iii) $\displaystyle \frac{1}{1-\displaystyle\frac{1}{1+\sqrt{2}+\sqrt{3}}}=[　]-\sqrt{[　]}+\sqrt{[　]}$


(4)$x \neq 0$とするとき，$\displaystyle k=x+\frac{1}{x}$のとり得る値の範囲は，$k \leqq [　]$，または$k \geqq [　]$である．

平行四辺形$\mathrm{OABC}$において，$\mathrm{OA}=2$，$\mathrm{OC}=1$とし，$\angle \mathrm{AOC}$は鋭角とする．また，辺$\mathrm{OA}$上に点$\mathrm{P}$をとり，$\displaystyle \frac{\mathrm{OP}}{\mathrm{OA}}=t$とする．

(1)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$をそれぞれ$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{c}$とする．このとき，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{CP}}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{c}$および実数$t$を用いて表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{CP}}$が垂直となるとき，$\cos \theta$を$t$を用いて表せ．ただし，$\angle \mathrm{AOC}=\theta$とする．
(3)三角形$\mathrm{OCP}$の面積が平行四辺形$\mathrm{OABC}$の面積の$\displaystyle \frac{1}{5}$であるとき，$t$の値を求めよ．さらに，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{CP}}$が垂直となるとき，$(2)$で定めた角$\theta$の大きさを求めよ．

図のような$\mathrm{OA}=m,\ \mathrm{OB}=n$である三角形$\mathrm{OAB}$が \\
ある．辺$\mathrm{AB}$を$m:n$に内分する点を$\mathrm{C}$とする． \\
$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とし，$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$の内積を \\
$(\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b})=k$とする．以下の問いに答えなさい．
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(1)$\overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ m,\ n$を用いて表しなさい．
(2)内積$(\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{c})$と$(\overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c})$を$k,\ m,\ n$を用いて表しなさい．
(3)$\angle \mathrm{AOC}=\angle \mathrm{BOC}$であることを示しなさい．

直角三角形$\mathrm{ABC}$において，$\angle \mathrm{A}=90^\circ$，$\mathrm{AB}=a$，$\mathrm{AC}=b$，$\angle \mathrm{A}$の$3$等分線が$\mathrm{BC}$と交わる点を，$\mathrm{B}$に近い方から$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$とする．$3$等分線$\mathrm{AD}$，$\mathrm{AE}$の長さ$x,\ y$を$a,\ b$を用いて表しなさい．

三角形OABにおいて，
\[ \text{AB}=4,\ \text{OA}=5,\ \text{OB}=6,\ \angle \text{AOB}=\theta,\ \overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b} \]
とする．

(1)$\cos \theta$の値を求めよ．
(2)三角形OABの面積を求めよ．
(3)内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$を求めよ．
(4)$t$を実数とするとき，$|\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}|$の最小値とそのときの$t$の値を求めよ．

$xy$平面上に点P$_0$を原点とし，点P$_1$，P$_2$，$\cdots$，P$_n$が$y$軸上の正の部分にこの順に並んでいる．$y=x^2 \ (x>0)$上に点Q$_1$，Q$_2$，$\cdots$，Q$_n$がこの順に並んでおり，$k=1$から$n$に対し，$\angle \text{Q}_k \text{P}_{k-1} \text{P}_k= \angle \text{Q}_k \text{P}_k \text{P}_{k-1} = \theta$が成り立っている．$\displaystyle \frac{1}{\tan \theta}=t$とおくとき，次の問いに答えよ．

(1)点P$_1$，P$_2$，P$_3$の座標を求めよ．
(2)P$_n(0,\ y_n)$，Q$_n(x_n,\ x_n^2)$とするとき，$y_n$を$x_{n+1}$で表せ．
(3)点P$_n$の座標を推測して，その結果を数学的帰納法で証明せよ．

辺$\mathrm{AB}$，$\mathrm{BC}$，$\mathrm{CA}$の長さを，それぞれ，$4,\ 2,\ b$とする$\triangle \mathrm{ABC}$の辺$\mathrm{AC}$と$\angle \mathrm{ABC}$の$2$等分線の交点を$\mathrm{D}$とする．$\alpha=\angle \mathrm{BAC}$，$\beta=\angle \mathrm{ABC}$，$\gamma=\angle \mathrm{ACB}$，$\displaystyle \overrightarrow{u}=t \overrightarrow{\mathrm{AB}}+(1-t) \overrightarrow{\mathrm{BC}}+\frac{3}{2} \overrightarrow{\mathrm{CD}}$とおくとき，次の問いに答えよ．ただし，$t$は定数である．

(1)$\triangle \mathrm{BCD}$の面積$S_1$と$\triangle \mathrm{ABD}$の面積$S_2$の比$\displaystyle p=\frac{S_1}{S_2}$の値を求めよ．
(2)$|\overrightarrow{\mathrm{CD}}|$と$|\overrightarrow{\mathrm{CA}}|$の比$\displaystyle r=\frac{|\overrightarrow{\mathrm{CD}}|}{|\overrightarrow{\mathrm{CA}}|}$の値を求めよ．
(3)$w=|\overrightarrow{u}|^2+4bt \cos \alpha+16t(1-t) \cos \beta+2b(1-t) \cos \gamma$を$b$と$t$を用いて表せ．
(4)$t=p$のとき，$z=3|\overrightarrow{u}|+4w-b^2$の値を求めよ．

$\angle \mathrm{C}$を直角とし斜辺の長さが$1$である直角三角形$\mathrm{ABC}$において，$\angle \mathrm{A}=\theta$とする．辺$\mathrm{AC}$の中点を$\mathrm{M}$とし，線分$\mathrm{CM}$上に点$\mathrm{Q}$をとり，$\mathrm{CQ}=x$とする．点$\mathrm{Q}$を通り辺$\mathrm{BC}$に平行な直線と辺$\mathrm{AB}$との交点を$\mathrm{P}$とし，線分$\mathrm{PQ}$を折り目として，$\triangle \mathrm{APQ}$を元の三角形に折り重ねる．折り重ねた$\triangle \mathrm{A}^\prime \mathrm{PQ}$と$\triangle \mathrm{ABC}$が重なってできる図形の面積を$T$とする．次の各問に答えよ．

(1)線分$\mathrm{PQ}$の長さを$\theta$と$x$で表せ．
(2)面積$T$を$\theta$と$x$で表せ．
(3)面積$T$の値が最大となるときの$\triangle \mathrm{ABC}$の形状と点$\mathrm{Q}$の位置を求めよ．
（図は省略）