$[　]$の中に答を入れよ．

(1)不等式$\log_2 (x^2-3x+6)>1+\log_2x$を満たす$x$の範囲は$[ア]$と$[イ]$である．
(2)実数係数の$3$次方程式$x^3-4x^2+ax-8=0$が，解$1+bi$（$b$は正の実数）をもつとき，$a=[ウ]$，$b=[エ]$である．
(3)$\angle \mathrm{B}$が直角の直角三角形$\mathrm{ABC}$において，$\angle \mathrm{A}$の大きさを$15^\circ$，$\mathrm{AC}$の長さを$b$とする．この三角形の面積を$b$で表すと$[オ]$であり，$\mathrm{BC}$の長さは$[カ]$である．
(4)円$x^2+y^2=1$の上を動く点$\mathrm{A}$と点$\mathrm{B}(0,\ -3)$，点$\mathrm{C}(4,\ 0)$の$3$点を頂点とする三角形$\mathrm{ABC}$の重心を$\mathrm{G}$とする．$\mathrm{G}$の軌跡は方程式$[キ]$で表され，$\mathrm{A}$と$\mathrm{G}$の距離の最大値は$[ク]$である．
(5)整式$f(x)$が，$\displaystyle \int_0^x f(t) \, dt+\int_0^1 xf(t) \, dt=x^2+2x+a$（$a$は実数）を満たすとき，$a=[ケ]$，$f(x)=[コ]$である．

$[　]$の中に答を入れよ．

(1)$\displaystyle -\frac{\pi}{2} \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$のとき，関数$y=\cos 2\theta-2 \sin \theta$の最大値とそのときの$\theta$の値を求めると$(y,\ \theta)=[ア]$であり，最小値とそのときの$\theta$の値を求めると$(y,\ \theta)=[イ]$である．
(2)実数$a,\ b$を係数とする方程式$x^3+ax^2+bx-4=0$の解の$1$つが$1-i$であるとき，残りの解のうち実数解を求めると$x=[ウ]$であり，$a,\ b$の値を求めると$(a,\ b)=[エ]$である．ただし，$i$は虚数単位である．
(3)$x$についての方程式$9^x-a \cdot 3^x+a^2-a=0$が$2$つの異なる実数解をもつとき，定数$a$のとりうる値の範囲は$[オ]$である．また，$x \geqq \sqrt{2}$，$y \geqq 1$，$x^2y=4$のとき，$(1+\log_2x)(\log_2y)$が最大値をとる$x,\ y$の値を求めると，$(x,\ y)=[カ]$である．
(4)座標平面上に中心が原点$\mathrm{O}$で半径が$3$の円$C$と，傾きが負で点$\mathrm{A}(5,\ 0)$を通る直線$\ell$を考える．$C$と$\ell$は$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$（$\mathrm{AP}<\mathrm{AQ}$）で交わるとする．$\angle \mathrm{POQ}$を$\theta$とするとき，$\triangle \mathrm{PQO}$の面積$S_1$を$\theta$を用いて表すと$S_1=[キ]$である．また，点$\mathrm{B}$の座標を$(-3,\ 0)$とするとき，$\triangle \mathrm{PQB}$の面積$S_2$の最大値は$[ク]$である．

三角形$\mathrm{ABC}$で，辺$\mathrm{BC}$，$\mathrm{CA}$，$\mathrm{AB}$の長さをそれぞれ$a,\ b,\ c$とする．
\[ \angle \mathrm{A}=60^\circ,\quad b=4c \]
のとき，次の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle \frac{a}{c}$の値を求めよ．

(2)$\displaystyle \frac{1}{\tan B}+\frac{1}{\tan C}$の値を求めよ．

鋭角三角形$\mathrm{ABC}$において，その面積$S$は$12 \sqrt{5}$に等しく，また$\displaystyle \sin A=\frac{\sqrt{5}}{3}$，$c=9$である．ここで$c$は辺$\mathrm{AB}$の長さであり，$A=\angle \mathrm{BAC}$である．

(1)辺$\mathrm{AC}$の長さ$b$を求めなさい．
(2)辺$\mathrm{BC}$の長さ$a$を求めなさい．

$\mathrm{AB}=4$，$\mathrm{AC}=5$，$\angle \mathrm{A}=60^\circ$である三角形$\mathrm{ABC}$において，点$\mathrm{A}$から辺$\mathrm{BC}$に下ろした垂線と辺$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{D}$，辺$\mathrm{AC}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{E}$，また線分$\mathrm{AD}$と線分$\mathrm{BE}$の交点を$\mathrm{P}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{c}$として，次の設問に答えよ．

(1)$\mathrm{BD}:\mathrm{DC}$を求めよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$を$\overrightarrow{b}$と$\overrightarrow{c}$で表せ．
(3)三角形$\mathrm{ABP}$と三角形$\mathrm{DCE}$の面積比を求めよ．

$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\mathrm{BC}$，$\mathrm{CA}$，$\mathrm{AB}$の長さを，それぞれ$a,\ b,\ c$とする．以下の問に答えよ．

(1)$\angle \mathrm{C}$が$90^\circ$のとき，$\sin^2 A+\sin^2 B=1$であることを示せ．
(2)$\sin B=2 \sin A \cos C$，$a:b=1:\sqrt{3}$，$c=3$のとき，$\triangle \mathrm{ABC}$の面積を求めよ．

以下の$[　]$にあてはまる数値または記号を求めよ．

(1)連立不等式$\left\{ \begin{array}{l}
4x^2-100x<51 \\
|2x-5|+|6x-1|>15
\end{array} \right.$の解は$\displaystyle \frac{[　]}{[　]}<x<\frac{[　]}{[　]}$である．

(2)連立方程式$\left\{ \begin{array}{l}
3x-4y+5z=9 \\
5x+2y-3z=5 \\
2x+6y-z=-7
\end{array} \right.$の解は
\[ x=\frac{[　]}{[　]},\quad y=-\frac{[　]}{[　]},\quad z=-\frac{[　]}{[　]} \]
である．
(3)四辺形$\mathrm{ABCD}$が$\mathrm{AB}=4$，$\mathrm{BC}=6$，$\mathrm{CD}=\sqrt{14}$，$\angle \mathrm{ABC}=60^\circ$，$\angle \mathrm{ADC}=90^\circ$をみたすとき，$\mathrm{AC}=[　] \sqrt{[　]}$，$\mathrm{AD}=\sqrt{[　]}$，四辺形$\mathrm{ABCD}$の面積$=[　]+[　] \sqrt{[　]}$であり，点$\mathrm{D}$を通る直線が辺$\mathrm{BC}$と垂直に交わる点を$\mathrm{E}$とすると，$\mathrm{DE}=[　]+\sqrt{[　]}$である．

下の図のように円$\mathrm{O}$に内接する$\mathrm{AC}=\mathrm{BC}$である二等辺三角形がある．直線$\mathrm{BO}$と，$\mathrm{C}$を接点とする直線および$\mathrm{AC}$との交点をそれぞれ$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$とする．$\angle \mathrm{ACB}=30^\circ$のとき，$\angle \mathrm{BDC}$を求めなさい．
（図は省略）

半径$1$の円において，直径$\mathrm{AB}$と円周上の点$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$で，四角形$\mathrm{ABCD}$を作る．$\angle \mathrm{A}=75^\circ$，$\angle \mathrm{B}=60^\circ$のとき，$\angle \mathrm{DAC}=[　]$である．また，$\mathrm{CD}$の長さは$[　]$である．
（図は省略）

三角形$\mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=2$，$\mathrm{AC}=4$，$A=120^\circ$であるとき，三角形$\mathrm{ABC}$の面積は$[　]$である．また，この三角形$\mathrm{ABC}$の$\angle \mathrm{A}$の二等分線と辺$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{D}$とするとき，$\mathrm{AD}$の長さは$[　]$である．
（図は省略）