四角形$\mathrm{ABCD}$において$\angle \mathrm{BAC}=\angle \mathrm{CAD}=\theta$とする．線分$\mathrm{BD}$の中点を$\mathrm{E}$とし，線分$\mathrm{BD}$と線分$\mathrm{AC}$の交点を$\mathrm{F}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{AD}}=\overrightarrow{b}$，$|\overrightarrow{a}|=a$，$|\overrightarrow{b}|=b$，$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=x \overrightarrow{a}+y \overrightarrow{b}$とするとき，次の問いに答えよ．ただし，$x,\ y$は実数とし，$x \neq y$とする．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{AE}}$を$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$の式で表せ．また，$\overrightarrow{\mathrm{EC}}$を$x$，$y$，$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$の式で表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{AF}}$を$a$，$b$，$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$の式で表せ．さらに，$y$を$a,\ b,\ x$の式で表せ．
(3)$\angle \mathrm{CED}=90^\circ$であるとき，$\cos 2\theta$を$a,\ b,\ x,\ y$の式で表せ．

三角形$\mathrm{ABC}$において$\mathrm{AB}=3$，$\mathrm{BC}=\sqrt{a}$，$\mathrm{CA}=2$，$\angle \mathrm{BAC}=\theta$とする．次の問いに答えよ．

(1)$\cos \theta$を$a$の式で表せ．また，$a$の値の範囲を求めよ．
(2)三角形$\mathrm{ABC}$の面積が最大となるような$a$の値を求めよ．また，このときの外接円の半径$R$と内接円の半径$r$をそれぞれ求めよ．
(3)上の$(2)$が成り立つとき，三角形$\mathrm{ABC}$の外接円の弧$\mathrm{CA}$上の点$\mathrm{D}$によってできる四角形$\mathrm{ABCD}$の面積の最大値を求めよ．ただし，弧$\mathrm{CA}$上には点$\mathrm{B}$がないものとする．

$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=8$，$\mathrm{BC}=7$，$\mathrm{CA}=5$とする．次の問いに答えよ．

(1)$\angle \mathrm{BAC}=\theta$とする．$\cos \theta$の値と$\triangle \mathrm{ABC}$の面積を求めよ．
(2)辺$\mathrm{BC}$上に点$\mathrm{P}$を$\mathrm{BP}=4$となるようにとる．$\angle \mathrm{BAP}=\alpha$，$\angle \mathrm{PAC}=\beta$とするとき，$\sin \alpha:\sin \beta$を整数の比で表せ．

$1$辺の長さが$1$（メートル）の正三角形の紙がある．この三角形の$3$頂点を$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$とする．辺$\mathrm{BC}$上の点$\mathrm{P}$と辺$\mathrm{AB}$上の点$\mathrm{Q}$を次のようにとる．

点$\mathrm{Q}$を通るある直線を折り目としてこの紙を折り曲げるときに点$\mathrm{A}$は点$\mathrm{P}$に重なる．

ここで，$\mathrm{BP}=x$（メートル），$\mathrm{PQ}=y$（メートル）とおくとき，
\[ x^2-([テ]-y)x+[ト]-[ナ]y=0 \]
が成り立つ．これを$x$についての方程式とみると，$0 \leqq x \leqq 1$であるから
\[ [ニ]+[ヌ] \sqrt{[ネ]} \leqq y \leqq 1 \]
となる．したがって，$\mathrm{AQ}$が最小となるのは，$y=[ニ]+[ヌ] \sqrt{[ネ]}$のときであり，このとき，$\angle \mathrm{BAP}=[ノ]^\circ$である．ただし，$[ネ]$はできる限り小さい自然数で答えること．

三角形$\mathrm{ABC}$において，辺$\mathrm{BC}$，$\mathrm{AC}$，$\mathrm{AB}$の長さを，それぞれ$a,\ b,\ c$とし，$\angle \mathrm{A}$，$\angle \mathrm{B}$，$\angle \mathrm{C}$の大きさを，それぞれ$A,\ B,\ C$で表すものとする．$\displaystyle a=2(b-c) \cos \frac{A}{2}$であるとき，$\displaystyle 12 \sin \frac{B-C}{2}$の値を求めよ．

三角形$\mathrm{ABC}$において，辺$\mathrm{BC}$，$\mathrm{AC}$，$\mathrm{AB}$の長さを，それぞれ$a,\ b,\ 1$とし，$\angle \mathrm{A}$，$\angle \mathrm{B}$，$\angle \mathrm{C}$の大きさを，それぞれ$A,\ B,\ C$で表すものとする．$\displaystyle \sin^2 A=\sin^2 \frac{B}{2}=\frac{1}{2}$の関係を満たすとき，$a$の値を求めよ．

以下の空欄にあてはまる数を入れよ．

(1)$2$次方程式$x^2-2x+3=0$の$2$つの解を$\alpha,\ \beta$とするとき，$\alpha^2-\alpha\beta+\beta^2=[1]$，$\displaystyle \frac{\beta^2}{\alpha}+\frac{\alpha^2}{\beta}=[2]$である．
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$の対辺をそれぞれ$a,\ b,\ c$とする．$a=3$，$b=4$，$\angle \mathrm{C}=30^\circ$のとき，$\triangle \mathrm{ABC}$の面積は$[3]$である．また，$a=3$，$b=4$，$\angle \mathrm{A}=30^\circ$のとき，$\angle \mathrm{C}>90^\circ$ならば，$c=[4]$である．
(3)不等式$\log_2 (\log_2 (\log_2 x)) \leqq 1$をみたす$x$の値の範囲は，$[5]<x \leqq [6]$である．
(4)関数$y=(x^2+4x+5)(x^2+4x+2)+2x^2+8x+1$は，$x=[7]$のとき最小値$[8]$をとる．
(5)つぼの中に赤玉$5$個，白玉$5$個，青玉$2$個がある．玉を一度に$4$個取り出すとき，その$4$個の玉が$1$種類の色の玉からなる確率は$[9]$であり，$3$種類の色の玉からなる確率は$[10]$である．

原点を中心とし半径$1$の円を$C$とする．また，点$\mathrm{A}(-1,\ 0)$を通り傾き$\displaystyle \frac{1}{2}$の直線を$\ell$とする．$C$と$\ell$の交点のうち，点$\mathrm{A}$でない方を$\mathrm{P}$とする．

(1)点$\mathrm{P}$の座標を求めなさい．
(2)点$\mathrm{P}$を通り直線$\ell$と$45^\circ$の角度で交わる$2$本の直線の方程式を求めなさい．さらに，この$2$本の直線を図示しなさい．

$[　]$の中に答を入れよ．

(1)$2$次関数$y=(x+1)^2+[ア]$のグラフを$x$軸方向に$[イ]$，$y$軸方向に$-3$だけ平行移動すると，$2$次関数$y=x^2-6x+8$のグラフになる．
(2)$x^2-4x+1=0$の解のひとつを$\alpha$とするとき
\[ \alpha+\frac{1}{\alpha}=[ウ],\quad \alpha^2+\frac{1}{\alpha^2}=[エ] \]
である．
(3)放物線$C:y=-2x^2+10x-8$と$x$軸で囲まれた部分の面積$S$は，直線$y=kx-k$（$k$は定数）で$2$等分される．このとき，$S=[オ]$であり，$k=[カ]$である．
(4)実数$x,\ t$に対して
\[ \log_2(x+2^t)=2t-3 \]
が成り立つとする．$t=4$のとき$x$の値は$[キ]$であり，$x=-2$のとき$t$の値は$[ク]$である．
(5)三角形$\mathrm{ABC}$において
\[ \sin^2 A+\sin^2 B=\sin^2 C \quad \text{かつ} \quad 5 \angle \mathrm{A}=\angle \mathrm{B} \]
であるとき，$\angle \mathrm{A}=[ケ]^\circ$であり，分母を有理化すると$\tan^2 A=[コ]$である．

$[　]$の中に答を入れよ．

(1)$\displaystyle \frac{\sqrt{7}+1}{\sqrt{7}-2}$の整数部分を$a$，小数部分を$b$とするとき，$(a,\ b)=[ア]$であり，$\displaystyle \frac{1}{a}+\frac{1}{b}$の小数部分の値は$[イ]$である．
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=10$，$\mathrm{BC}=12$，$\mathrm{CA}=8$とし，$\angle \mathrm{A}$の二等分線と$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{D}$とするとき，$\mathrm{AD}=[ウ]$である．また，$\mathrm{AD}$を軸とし，$\mathrm{AC}$を$\mathrm{AB}$に重ねるように$\triangle \mathrm{ADC}$を折り返すとき，$\mathrm{C}$が$\mathrm{AB}$上に重なる点を$\mathrm{E}$とする．このとき，$\sin \angle \mathrm{BDE}=[エ]$である．
(3)$x>0,\ y>0$とする．$\displaystyle \left( x+\frac{5}{y} \right) \left( y+\frac{2}{x} \right)$は，$xy=[オ]$のとき最小値$[カ]$をとる．
(4)展開図が半径$r$の円と周の長さが$k$の扇形からなる円錐を考える．このとき円錐の高さは$[キ]$である．また，$k$を一定とすると，$r=[ク]$のとき円錐の表面積が最大になる．ただし，円周率を$\pi$とする．
(5)実数$x,\ y,\ z (xyz \neq 0)$について等式$3^x=2^y=\sqrt{6^{3z}}$が成立しているとき，$x$を$z$で表すと$[ケ]$であり，$\displaystyle \frac{1}{x}+\frac{1}{y}$を対数を用いないで表すと$[コ]$である．