「角度」について
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国立 愛媛大学 2010年 第1問次の問いに答えよ．
(1)次の連立不等式を解け．
\[ \left\{
\begin{array}{l}
4x^2-4x-15<0 \\
x^2-2x \geqq 0
\end{array}
\right. \]
(2)鈍角三角形ABCにおいて，$\text{BC}=1,\ \text{CA}=\sqrt{3},\ \angle \text{A}=30^\circ$であるとき，ABの長さを求めよ．
(3)原点O，および3点A$(1,\ 0,\ 0)$，B$(0,\ 1,\ 0)$，C$(0,\ 0,\ 1)$がある．$0<s<1$に対して，線分AB，線分CAを$s:(1-s)$に内分する点を，それぞれP，Qとするとき，内積$\overrightarrow{\mathrm{OP}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を$s$を用いて表せ．
(4)方程式$\displaystyle \left( \log_2\sqrt{x}+\log_2x^2+\log_2\frac{1}{x} \right)^2=9$を解け．
(5)数列$1,\ a,\ b,\ c$はこの順に等差数列であり，数列$a,\ b,\ 1,\ c$はこの順に等比数列であるとする．このとき，$c=1$であることを示せ．
(1)次の連立不等式を解け．
\[ \left\{
\begin{array}{l}
4x^2-4x-15<0 \\
x^2-2x \geqq 0
\end{array}
\right. \]
(2)鈍角三角形ABCにおいて，$\text{BC}=1,\ \text{CA}=\sqrt{3},\ \angle \text{A}=30^\circ$であるとき，ABの長さを求めよ．
(3)原点O，および3点A$(1,\ 0,\ 0)$，B$(0,\ 1,\ 0)$，C$(0,\ 0,\ 1)$がある．$0<s<1$に対して，線分AB，線分CAを$s:(1-s)$に内分する点を，それぞれP，Qとするとき，内積$\overrightarrow{\mathrm{OP}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を$s$を用いて表せ．
(4)方程式$\displaystyle \left( \log_2\sqrt{x}+\log_2x^2+\log_2\frac{1}{x} \right)^2=9$を解け．
(5)数列$1,\ a,\ b,\ c$はこの順に等差数列であり，数列$a,\ b,\ 1,\ c$はこの順に等比数列であるとする．このとき，$c=1$であることを示せ．
国立 香川大学 2010年 第1問点Oを中心とし，半径1の円に内接する$\triangle$ABCが
\[ \overrightarrow{\mathrm{OA}}+\sqrt{3} \; \overrightarrow{\mathrm{OB}}+2 \; \overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{\mathrm{0}} \]
をみたしている．このとき，次の問に答えよ．
(1)内積$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}, \overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}$を求めよ．
(2)$\angle \text{AOB},\ \angle \text{AOC}$を求めよ．
(3)$\triangle$ABCの面積を求めよ．
(4)辺BCの長さ，および頂点Aから対辺BCに引いた垂線の長さを求めよ．
\[ \overrightarrow{\mathrm{OA}}+\sqrt{3} \; \overrightarrow{\mathrm{OB}}+2 \; \overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{\mathrm{0}} \]
をみたしている．このとき，次の問に答えよ．
(1)内積$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}, \overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}$を求めよ．
(2)$\angle \text{AOB},\ \angle \text{AOC}$を求めよ．
(3)$\triangle$ABCの面積を求めよ．
(4)辺BCの長さ，および頂点Aから対辺BCに引いた垂線の長さを求めよ．
国立 香川大学 2010年 第1問点Oを中心とし，半径1の円に内接する$\triangle$ABCが
\[ \overrightarrow{\mathrm{OA}}+\sqrt{3} \; \overrightarrow{\mathrm{OB}}+2 \; \overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{\mathrm{0}} \]
をみたしている．このとき，次の問に答えよ．
(1)内積$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}, \overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}$を求めよ．
(2)$\angle \text{AOB},\ \angle \text{AOC}$を求めよ．
(3)$\triangle$ABCの面積を求めよ．
(4)辺BCの長さ，および頂点Aから対辺BCに引いた垂線の長さを求めよ．
\[ \overrightarrow{\mathrm{OA}}+\sqrt{3} \; \overrightarrow{\mathrm{OB}}+2 \; \overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{\mathrm{0}} \]
をみたしている．このとき，次の問に答えよ．
(1)内積$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}, \overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}$を求めよ．
(2)$\angle \text{AOB},\ \angle \text{AOC}$を求めよ．
(3)$\triangle$ABCの面積を求めよ．
(4)辺BCの長さ，および頂点Aから対辺BCに引いた垂線の長さを求めよ．
国立 香川大学 2010年 第1問点Oを中心とし，半径1の円に内接する$\triangle$ABCが
\[ \overrightarrow{\mathrm{OA}}+\sqrt{3} \; \overrightarrow{\mathrm{OB}}+2 \; \overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{\mathrm{0}} \]
をみたしている．このとき，次の問に答えよ．
(1)内積$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}, \overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}$を求めよ．
(2)$\angle \text{AOB},\ \angle \text{AOC}$を求めよ．
(3)$\triangle$ABCの面積を求めよ．
(4)辺BCの長さ，および頂点Aから対辺BCに引いた垂線の長さを求めよ．
\[ \overrightarrow{\mathrm{OA}}+\sqrt{3} \; \overrightarrow{\mathrm{OB}}+2 \; \overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{\mathrm{0}} \]
をみたしている．このとき，次の問に答えよ．
(1)内積$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}, \overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}$を求めよ．
(2)$\angle \text{AOB},\ \angle \text{AOC}$を求めよ．
(3)$\triangle$ABCの面積を求めよ．
(4)辺BCの長さ，および頂点Aから対辺BCに引いた垂線の長さを求めよ．
国立 三重大学 2010年 第2問四面体OABCは，$\text{OA}=\sqrt{5},\ \text{OB}=\text{OC}=5,\ \text{AB}=\text{AC}=\sqrt{30},\ \text{BC}=5\sqrt{2}$を満たすものとする．辺OBを$2:1$に外分する点をD，辺OCを$3:2$に外分する点をEとする．Oから直線DEに引いた垂線と直線BCとの交点をFとする．$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}},\ \overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}},\ \overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}$として，次の問いに答えよ．
(1)内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c},\ \overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{a}$を求めよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OF}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AF}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(3)線分OFの長さと線分AFの長さおよび$\cos \angle \text{OFA}$の値を求めよ．
(1)内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c},\ \overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{a}$を求めよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OF}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AF}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(3)線分OFの長さと線分AFの長さおよび$\cos \angle \text{OFA}$の値を求めよ．
国立 三重大学 2010年 第2問平面上の点A$(-3,\ -1)$，B$(-1,\ -2)$，C$(3,\ 1)$，D$(0,\ 5)$を考える．またEを線分ACとBDの交点とする．このとき次の問いに答えよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{AB}},\ \overrightarrow{\mathrm{AC}}$の大きさおよび$\cos \angle\text{BAC}$の値を求めよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{BD}}=\alpha \overrightarrow{\mathrm{BA}}+\beta \overrightarrow{\mathrm{BC}}$を満たす定数$\alpha,\ \beta$を求めよ．また比$\text{AE}:\text{EC}$を求めよ．
(3)$\triangle$ABEと$\triangle$CDEの面積の和を$S_1$，$\triangle$BCEと$\triangle$DAEの面積の和を$S_2$とするとき，比$S_1:S_2$を求めよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{AB}},\ \overrightarrow{\mathrm{AC}}$の大きさおよび$\cos \angle\text{BAC}$の値を求めよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{BD}}=\alpha \overrightarrow{\mathrm{BA}}+\beta \overrightarrow{\mathrm{BC}}$を満たす定数$\alpha,\ \beta$を求めよ．また比$\text{AE}:\text{EC}$を求めよ．
(3)$\triangle$ABEと$\triangle$CDEの面積の和を$S_1$，$\triangle$BCEと$\triangle$DAEの面積の和を$S_2$とするとき，比$S_1:S_2$を求めよ．
国立 三重大学 2010年 第3問平面上の点A$(-3,\ -1)$，B$(-1,\ -2)$，C$(3,\ 1)$，D$(0,\ 5)$を考える．またEを線分ACとBDの交点とする．このとき次の問いに答えよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{AB}},\ \overrightarrow{\mathrm{AC}}$の大きさおよび$\cos \angle\text{BAC}$の値を求めよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{BD}}=\alpha \overrightarrow{\mathrm{BA}}+\beta \overrightarrow{\mathrm{BC}}$を満たす定数$\alpha,\ \beta$を求めよ．また比$\text{AE}:\text{EC}$を求めよ．
(3)$\triangle$ABEと$\triangle$CDEの面積の和を$S_1$，$\triangle$BCEと$\triangle$DAEの面積の和を$S_2$とするとき，比$S_1:S_2$を求めよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{AB}},\ \overrightarrow{\mathrm{AC}}$の大きさおよび$\cos \angle\text{BAC}$の値を求めよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{BD}}=\alpha \overrightarrow{\mathrm{BA}}+\beta \overrightarrow{\mathrm{BC}}$を満たす定数$\alpha,\ \beta$を求めよ．また比$\text{AE}:\text{EC}$を求めよ．
(3)$\triangle$ABEと$\triangle$CDEの面積の和を$S_1$，$\triangle$BCEと$\triangle$DAEの面積の和を$S_2$とするとき，比$S_1:S_2$を求めよ．
国立 三重大学 2010年 第3問平面上の点A$(-3,\ -1)$，B$(-1,\ -2)$，C$(3,\ 1)$，D$(0,\ 5)$を考える．またEを線分ACとBDの交点とする．このとき次の問いに答えよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{AB}},\ \overrightarrow{\mathrm{AC}}$の大きさおよび$\cos \angle\text{BAC}$の値を求めよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{BD}}=\alpha \overrightarrow{\mathrm{BA}}+\beta \overrightarrow{\mathrm{BC}}$を満たす定数$\alpha,\ \beta$を求めよ．また比$\text{AE}:\text{EC}$を求めよ．
(3)$\triangle$ABEと$\triangle$CDEの面積の和を$S_1$，$\triangle$BCEと$\triangle$DAEの面積の和を$S_2$とするとき，比$S_1:S_2$を求めよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{AB}},\ \overrightarrow{\mathrm{AC}}$の大きさおよび$\cos \angle\text{BAC}$の値を求めよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{BD}}=\alpha \overrightarrow{\mathrm{BA}}+\beta \overrightarrow{\mathrm{BC}}$を満たす定数$\alpha,\ \beta$を求めよ．また比$\text{AE}:\text{EC}$を求めよ．
(3)$\triangle$ABEと$\triangle$CDEの面積の和を$S_1$，$\triangle$BCEと$\triangle$DAEの面積の和を$S_2$とするとき，比$S_1:S_2$を求めよ．
国立 長崎大学 2010年 第3問$\displaystyle \angle \text{A}=\frac{\pi}{2},\ \angle \text{B}=\alpha$である$\triangle$ABCを考える．$\triangle$ABCの外接円の半径を$R$とする．この外接円上の点Pが，点Aを含まない弧BC上を動くものとする．$\displaystyle \angle \text{BAP}=\theta \ (0<\theta<\frac{\pi}{2})$とするとき，次の問いに答えよ．
(1)$\triangle$ABPの面積の最大値を$R,\ \alpha$を用いて表せ．
(2)$\triangle$BPCの面積を$R,\ \theta$を用いて表せ．
(3)$\displaystyle \alpha=\frac{\pi}{3}$とする．$\triangle$ABPと$\triangle$BPCの面積の和$S$の最大値を求めよ．
(1)$\triangle$ABPの面積の最大値を$R,\ \alpha$を用いて表せ．
(2)$\triangle$BPCの面積を$R,\ \theta$を用いて表せ．
(3)$\displaystyle \alpha=\frac{\pi}{3}$とする．$\triangle$ABPと$\triangle$BPCの面積の和$S$の最大値を求めよ．
国立 宮崎大学 2010年 第4問下図の$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}:\mathrm{AC}=3:4$とする．また，$\angle \mathrm{A}$の二等分線と辺$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{D}$とする．さらに，
線分$\mathrm{AD}$を$5:3$に内分する点を$\mathrm{E}$，
線分$\mathrm{ED}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{F}$，
線分$\mathrm{AC}$を$7:5$に内分する点を$\mathrm{G}$
とする．\\
\quad 直線$\mathrm{BE}$と辺$\mathrm{AC}$との交点を$\mathrm{H}$とするとき，次の各問に答えよ．
（図は省略）
(1)$\displaystyle \frac{\mathrm{AH}}{\mathrm{HC}}$の値を求めよ．
(2)$\mathrm{BH} \para \mathrm{FG}$であることを示せ．
(3)$\mathrm{FG}=7$のとき，線分$\mathrm{BE}$の長さを求めよ．
線分$\mathrm{AD}$を$5:3$に内分する点を$\mathrm{E}$，
線分$\mathrm{ED}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{F}$，
線分$\mathrm{AC}$を$7:5$に内分する点を$\mathrm{G}$
とする．\\
\quad 直線$\mathrm{BE}$と辺$\mathrm{AC}$との交点を$\mathrm{H}$とするとき，次の各問に答えよ．
（図は省略）
(1)$\displaystyle \frac{\mathrm{AH}}{\mathrm{HC}}$の値を求めよ．
(2)$\mathrm{BH} \para \mathrm{FG}$であることを示せ．
(3)$\mathrm{FG}=7$のとき，線分$\mathrm{BE}$の長さを求めよ．