「角度」について
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国立 金沢大学 2010年 第3問Oを原点とする座標平面上の円$C:x^2+y^2=1$と直線$x+2y=1$の交点のうち，$x$座標の小さい方をP，他方をQとする．点P，Qにおける円$C$の接線をそれぞれ$\ell,\ m$とする．次の問いに答えよ．
(1)P，Qの座標を求めよ．また，$\ell$と$m$の交点Rの座標を求めよ．
(2)線分ORと$C$の交点をSとする．Sの座標を求めよ．また，$\triangle$QRSの面積を求めよ．
(3)$\angle \text{PQS}=\angle \text{RQS}$であることを示せ．
(1)P，Qの座標を求めよ．また，$\ell$と$m$の交点Rの座標を求めよ．
(2)線分ORと$C$の交点をSとする．Sの座標を求めよ．また，$\triangle$QRSの面積を求めよ．
(3)$\angle \text{PQS}=\angle \text{RQS}$であることを示せ．
国立 九州大学 2010年 第1問三角形$\mathrm{ABC}$の$3$辺の長さを$a = \mathrm{BC},\ b = \mathrm{CA},\ c = \mathrm{AB}$とする．実数$t \geqq 0$を与えたとき，$\mathrm{A}$を始点とし$\mathrm{B}$を通る半直線上に$\mathrm{AP} = tc$となるように点$\mathrm{P}$をとる．次の問いに答えよ．
(1)$\mathrm{CP}^2$を$a,\ b,\ c,\ t$を用いて表せ．
(2)点$\mathrm{P}$が$\mathrm{CP} = a$を満たすとき，$t$を求めよ．
(3)$(2)$の条件を満たす点$\mathrm{P}$が辺$\mathrm{AB}$上にちょうど$2$つあるとき，$\angle \mathrm{A}$と$\angle \mathrm{B}$に関する条件を求めよ．
(1)$\mathrm{CP}^2$を$a,\ b,\ c,\ t$を用いて表せ．
(2)点$\mathrm{P}$が$\mathrm{CP} = a$を満たすとき，$t$を求めよ．
(3)$(2)$の条件を満たす点$\mathrm{P}$が辺$\mathrm{AB}$上にちょうど$2$つあるとき，$\angle \mathrm{A}$と$\angle \mathrm{B}$に関する条件を求めよ．
国立 九州大学 2010年 第1問三角形$\mathrm{ABC}$の$3$辺の長さを$a = \mathrm{BC},\ b = \mathrm{CA},\ c = \mathrm{AB}$とする．実数$t \geqq 0$を与えたとき，$\mathrm{A}$を始点とし$\mathrm{B}$を通る半直線上に$\mathrm{AP} = tc$となるように点$\mathrm{P}$をとる．次の問いに答えよ．
(1)$\mathrm{CP}^2$を$a,\ b,\ c,\ t$を用いて表せ．
(2)点$\mathrm{P}$が$\mathrm{CP} = a$を満たすとき，$t$を求めよ．
(3)$(2)$の条件を満たす点$\mathrm{P}$が辺$\mathrm{AB}$上にちょうど$2$つあるとき，$\angle \mathrm{A}$と$\angle \mathrm{B}$に関する条件を求めよ．
(1)$\mathrm{CP}^2$を$a,\ b,\ c,\ t$を用いて表せ．
(2)点$\mathrm{P}$が$\mathrm{CP} = a$を満たすとき，$t$を求めよ．
(3)$(2)$の条件を満たす点$\mathrm{P}$が辺$\mathrm{AB}$上にちょうど$2$つあるとき，$\angle \mathrm{A}$と$\angle \mathrm{B}$に関する条件を求めよ．
国立 九州大学 2010年 第3問$xy$平面上に原点Oを中心とする半径1の円を描き，その上半分を$C$とし，その両端をA$(-1,\ 0)$，B$(1,\ 0)$とする．$C$上の2点N，Mを$\text{NM}=\text{MB}$となるように取る．ただし，$\text{N} \neq \text{B}$とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)$\angle \text{MAB}=\theta$とおき，弦の長さMB及び点Mの座標を$\theta$を用いて表せ．
(2)点Nから$x$軸に下ろした垂線をNPとしたとき，PBを$\theta$を用いて表せ．
(3)$t=\sin \theta$とおく．条件$\text{MB}=\text{PB}$を$t$を用いて表せ．
(4)$\text{MB}=\text{PB}$となるような点Mが唯一あることを示せ．
(1)$\angle \text{MAB}=\theta$とおき，弦の長さMB及び点Mの座標を$\theta$を用いて表せ．
(2)点Nから$x$軸に下ろした垂線をNPとしたとき，PBを$\theta$を用いて表せ．
(3)$t=\sin \theta$とおく．条件$\text{MB}=\text{PB}$を$t$を用いて表せ．
(4)$\text{MB}=\text{PB}$となるような点Mが唯一あることを示せ．
国立 岩手大学 2010年 第2問座標平面上に$3$点$\mathrm{A}(1,\ 2)$，$\mathrm{B}(4,\ 11)$，$\mathrm{C}(-1,\ 6)$があるとき，次の問いに答えよ．
(1)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$，$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$のなす角$\theta$を求めよ．
(2)点$\mathrm{A}$を通り，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$を方向ベクトルとする直線上の点を$\mathrm{D}$とする．$\triangle \mathrm{ABD}$の面積が$45$となる点$\mathrm{D}$の座標を求めよ．ただし，$\angle \mathrm{BAD}$は鋭角とする．
(3)線分$\mathrm{AB}$上の点を$\mathrm{E}$とするとき，$\angle \mathrm{ACE}$が$60^\circ$となる点$\mathrm{E}$の座標を求めよ．
(1)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$，$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$のなす角$\theta$を求めよ．
(2)点$\mathrm{A}$を通り，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$を方向ベクトルとする直線上の点を$\mathrm{D}$とする．$\triangle \mathrm{ABD}$の面積が$45$となる点$\mathrm{D}$の座標を求めよ．ただし，$\angle \mathrm{BAD}$は鋭角とする．
(3)線分$\mathrm{AB}$上の点を$\mathrm{E}$とするとき，$\angle \mathrm{ACE}$が$60^\circ$となる点$\mathrm{E}$の座標を求めよ．
国立 千葉大学 2010年 第1問直角三角形$\mathrm{ABC}$は$\angle \mathrm{C}$が直角で，各辺の長さは整数であるとする．辺$\mathrm{BC}$の長さが3以上の素数$p$であるとき，以下の問いに答えよ．
(1)辺$\mathrm{AB}$，$\mathrm{CA}$の長さを$p$を用いて表せ．
(2)$\tan \angle \mathrm{A}$と$\tan \angle \mathrm{B}$は，いずれも整数にならないことを示せ．
(1)辺$\mathrm{AB}$，$\mathrm{CA}$の長さを$p$を用いて表せ．
(2)$\tan \angle \mathrm{A}$と$\tan \angle \mathrm{B}$は，いずれも整数にならないことを示せ．
国立 東京大学 2010年 第1問Oを原点とする座標平面上に点A$(-3,\ 0)$をとり，
$0^\circ<\theta<120^\circ$の範囲にある$\theta$に対して，次の条件(i)，(ii)をみたす2点B，Cを考える．
\mon[(i)] Bは$y>0$の部分にあり，$\text{OB}=2$かつ$\angle \text{AOB}=180^\circ-\theta$である．
\mon[(ii)] Cは$y<0$の部分にあり，$\text{OC}=1$かつ$\angle \text{BOC}=120^\circ$である．ただし$\triangle \text{ABC}$はOを含むものとする．
\quad 次の問(1)，(2)に答えよ．
(1)$\triangle \text{OAB}$と$\triangle \text{OAC}$の面積が等しいとき，$\theta$の値を求めよ．
(2)$\theta$を$0^\circ<\theta<120^\circ$の範囲で動かすとき，$\triangle \text{OAB}$と$\triangle \text{OAC}$の面積の和の最大値と，そのときの$\sin \theta$の値を求めよ．
$0^\circ<\theta<120^\circ$の範囲にある$\theta$に対して，次の条件(i)，(ii)をみたす2点B，Cを考える．
\mon[(i)] Bは$y>0$の部分にあり，$\text{OB}=2$かつ$\angle \text{AOB}=180^\circ-\theta$である．
\mon[(ii)] Cは$y<0$の部分にあり，$\text{OC}=1$かつ$\angle \text{BOC}=120^\circ$である．ただし$\triangle \text{ABC}$はOを含むものとする．
\quad 次の問(1)，(2)に答えよ．
(1)$\triangle \text{OAB}$と$\triangle \text{OAC}$の面積が等しいとき，$\theta$の値を求めよ．
(2)$\theta$を$0^\circ<\theta<120^\circ$の範囲で動かすとき，$\triangle \text{OAB}$と$\triangle \text{OAC}$の面積の和の最大値と，そのときの$\sin \theta$の値を求めよ．
国立 岩手大学 2010年 第1問次の問いに答えよ．
(1)$\sqrt{2}=1.41421,\ \sqrt{3}=1.73205,\ \sqrt{6}=2.44949$として$\displaystyle \frac{1}{1+\sqrt{2}-\sqrt{3}}$の値を，小数第5位以下を切り捨てて，小数第4位まで求めよ．
(2)2次方程式$x^2-4mx+m+3=0$が重解をもつとき，$m$の値を求めよ．
(3)$\triangle$ABCにおいて，$\text{AB}=5,\ \text{BC}=7,\ \text{CA}=8$であるとき，$\angle \text{BAC}$の大きさを求めよ．
(1)$\sqrt{2}=1.41421,\ \sqrt{3}=1.73205,\ \sqrt{6}=2.44949$として$\displaystyle \frac{1}{1+\sqrt{2}-\sqrt{3}}$の値を，小数第5位以下を切り捨てて，小数第4位まで求めよ．
(2)2次方程式$x^2-4mx+m+3=0$が重解をもつとき，$m$の値を求めよ．
(3)$\triangle$ABCにおいて，$\text{AB}=5,\ \text{BC}=7,\ \text{CA}=8$であるとき，$\angle \text{BAC}$の大きさを求めよ．
国立 岩手大学 2010年 第1問次の問いに答えよ．
(1)$\sqrt{2}=1.41421,\ \sqrt{3}=1.73205,\ \sqrt{6}=2.44949$として$\displaystyle \frac{1}{1+\sqrt{2}-\sqrt{3}}$の値を，小数第$5$位以下を切り捨てて，小数第$4$位まで求めよ．
(2)$2$次方程式$x^2-4mx+m+3=0$が重解をもつとき，$m$の値を求めよ．
(3)$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=5,\ \mathrm{BC}=7,\ \mathrm{CA}=8$であるとき，$\angle \mathrm{BAC}$の大きさを求めよ．
(1)$\sqrt{2}=1.41421,\ \sqrt{3}=1.73205,\ \sqrt{6}=2.44949$として$\displaystyle \frac{1}{1+\sqrt{2}-\sqrt{3}}$の値を，小数第$5$位以下を切り捨てて，小数第$4$位まで求めよ．
(2)$2$次方程式$x^2-4mx+m+3=0$が重解をもつとき，$m$の値を求めよ．
(3)$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=5,\ \mathrm{BC}=7,\ \mathrm{CA}=8$であるとき，$\angle \mathrm{BAC}$の大きさを求めよ．
国立 岩手大学 2010年 第2問座標平面上に$3$点$\mathrm{O}(0,\ 0)$，$\mathrm{A}(25,\ 0)$，$\mathrm{B}(16,\ 12)$をとる．このとき，以下の問いに答えよ．
(1)$x$軸上に点$\mathrm{C}$をとり，$\triangle \mathrm{OBC}$を$\mathrm{OB}=\mathrm{OC}$であるような二等辺三角形にしたい．そのような$\mathrm{C}$の座標を求めよ．ただし，$\mathrm{C}$の$x$座標は正とする．
(2)$\angle \mathrm{AOB}$の二等分線の方程式を求めよ．
(3)$\angle \mathrm{OBA}$の大きさを求めよ．
(4)座標平面上の点$\mathrm{P}$と$\triangle \mathrm{OAB}$の周との距離を，$\mathrm{P}$に最も近い周上の点と$\mathrm{P}$との距離，と定める．このとき，点$(15,\ 6)$と$\triangle \mathrm{OAB}$の周との距離を求めよ．
(5)$\triangle \mathrm{OAB}$の周との距離が最大となる$\triangle \mathrm{OAB}$の内部の点の座標を求めよ．
(1)$x$軸上に点$\mathrm{C}$をとり，$\triangle \mathrm{OBC}$を$\mathrm{OB}=\mathrm{OC}$であるような二等辺三角形にしたい．そのような$\mathrm{C}$の座標を求めよ．ただし，$\mathrm{C}$の$x$座標は正とする．
(2)$\angle \mathrm{AOB}$の二等分線の方程式を求めよ．
(3)$\angle \mathrm{OBA}$の大きさを求めよ．
(4)座標平面上の点$\mathrm{P}$と$\triangle \mathrm{OAB}$の周との距離を，$\mathrm{P}$に最も近い周上の点と$\mathrm{P}$との距離，と定める．このとき，点$(15,\ 6)$と$\triangle \mathrm{OAB}$の周との距離を求めよ．
(5)$\triangle \mathrm{OAB}$の周との距離が最大となる$\triangle \mathrm{OAB}$の内部の点の座標を求めよ．