$(1)$，$(2)$の問いに答えよ．また，$(3)$から$(5)$までの空欄をうめよ．

(1)次の積分を求めよ．ただし，積分定数は省略してもよい．

(i) $\displaystyle \int x \sin x^2 \, dx=[イ]$
(ii) $\displaystyle \int_0^2 xe^x \, dx=[ロ]$

(2)次の極限を求めよ．
\[ \lim_{n \to \infty} \frac{3^n+4^n}{3^{n+1}+4^{n+1}}=[ハ] \]
(3)$\displaystyle -\frac{\pi}{2} \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$において$3 \sin x+\cos 2x+1=0$のとき，$x=[ニ]$である．
(4)$A=\left( \begin{array}{cc}
1 & -2 \\
-3 & 4
\end{array} \right),\ B=\left( \begin{array}{cc}
1 & 2 \\
3 & 4
\end{array} \right)$のとき，$(A+B)(A-B)=[ホ]$である．
(5)Oを原点とする座標空間に2点A$(1,\ 2,\ 1)$，B$(2,\ 2,\ 0)$をとる．このとき，$\cos \angle \text{AOB}=[ヘ]$，$\triangle$AOBの面積は[ト]である．

座標空間内に3点A$(1,\ 0,\ 0)$，B$(0,\ \sqrt{2},\ 0)$，C$(0,\ 0,\ 1)$がある．

(1)$\cos \angle \text{ACB}$の値を求めよ．
(2)原点O$(0,\ 0,\ 0)$から三角形ABCに下ろした垂線の足をHとするとき，$\cos \angle \text{COH}$の値を求めよ．

次の空欄$[ア]$から$[ケ]$にあてはまる数や式を書きなさい．

(1)自然数$n$に対し$n!$で$n$の階乗$1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \cdots \cdot (n-1) \cdot n$を表し，$2$を底とする対数関数を$\log_2 (x)$とする．このとき，
\[ \log_2(1!)-\log_2(2!)+\log_2(3!)-\log_2(4!)=[ア] \]
となる．
(2)三角形$\mathrm{ABC}$において$\angle \mathrm{A}$，$\angle \mathrm{B}$，$\angle \mathrm{C}$の大きさを$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，辺$\mathrm{BC}$の長さを$a$，辺$\mathrm{CA}$の長さを$b$，辺$\mathrm{AB}$の長さを$c$，三角形$\mathrm{ABC}$の面積を$S$とおく．$S$を$b,\ c$と$\mathrm{A}$を使って表すと，
\[ S=\frac{1}{2}bc [イ] \]
となる．また，$a,\ b,\ c,\ \mathrm{A},\ \mathrm{B},\ \mathrm{C}$の間には
\[ b=a \frac{[ウ]}{\sin \mathrm{A}},\quad c=a \frac{[エ]}{\sin \mathrm{A}} \]
という関係がある．よって，$S$を$a,\ \mathrm{A},\ \mathrm{B},\ \mathrm{C}$で表すと，
\[ S=\frac{1}{2}a^2 [オ] \]
となる．とくに，$\mathrm{B}=30^\circ$，$\mathrm{C}=45^\circ$，$a=1$のときには，
\[ \sin \mathrm{B}=[カ],\quad \sin \mathrm{C}=[キ] \]
また，
\[ \sin \mathrm{A}=[ク] \]
だから，
\[ S=\frac{-1+[ケ]}{4} \]
となる．

半径$1$の円が直線上を一定の速さ$a (a>0)$で滑らないように回転しながら進んでいる．時刻$0$において直線と接している円周上の点を$\mathrm{P}$，時刻$0$から$t$までに円が回転した角度を$\theta$とする．次の問いに答えよ．

(1)時刻$t$における$\mathrm{P}$の速度ベクトルの大きさ$|\overrightarrow{v(t)}|$を求めよ．
(2)積分$\displaystyle \int_0^{\frac{2\pi}{a}} |\overrightarrow{v(t)}| \, dt$を求めよ．

$xy$平面上にある長方形$\mathrm{OPRS}$を底面とし，三角形$\mathrm{OST}$，三角形$\mathrm{PRQ}$，四角形$\mathrm{OPQT}$，四角形$\mathrm{RSTQ}$を側面とする五面体$\mathrm{OPQRST}$がある．五面体$\mathrm{OPQRST}$が$\mathrm{OP}=\mathrm{PQ}=\mathrm{QR}=\mathrm{RS}=\mathrm{ST}=\mathrm{TO}=1$，$\angle \mathrm{TOP}=\angle \mathrm{OPQ}=\angle \mathrm{PQR}=\angle \mathrm{QRS}=\angle \mathrm{RST}=\angle \mathrm{STO}=\theta (90^\circ<\theta<120^\circ)$をみたしているとき，次の問いに答えよ．ただし，$2$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{P}$の座標をそれぞれ$(0,\ 0,\ 0)$，$(1,\ 0,\ 0)$とし，$\displaystyle \sin \frac{\theta}{2}=a$とする．

(1)辺$\mathrm{OS}$の長さを$a$を用いて表せ．
(2)点$\mathrm{Q}$の座標を$a$を用いて表せ．ただし，点$\mathrm{Q}$の$y$座標は正とする．
(3)五面体$\mathrm{OPQRST}$の体積$V$を$a$を用いて表せ．

下図の$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\mathrm{FE} \para \, \mathrm{BC}$，$\mathrm{AE}=\mathrm{EC}$である．また，$\mathrm{FE}$を直径とする円$O$と$\mathrm{BC}$との接点を点$\mathrm{D}$とする．$\triangle \mathrm{ABC}$の面積が$64$，$\angle \mathrm{ABC}={30}^\circ$のとき，次の問いに答えよ．
（図は省略）

(1)円$O$の半径の長さを求めよ．
(2)$\triangle \mathrm{HFE}$の面積を求めよ．
(3)線分$\mathrm{BF}$の長さを求めよ．

$t>0$とする．平面上に$\triangle \mathrm{OAB}$と点$\mathrm{P}$がある．$\mathrm{P}$は$(2-t) \overrightarrow{\mathrm{PO}}+2(1-t) \overrightarrow{\mathrm{PA}}+3t \overrightarrow{\mathrm{PB}}=\overrightarrow{\mathrm{0}}$を満たす．直線$\mathrm{OP}$と直線$\mathrm{AB}$の交点を$\mathrm{C}$とする．$|\overrightarrow{\mathrm{OA}}|=a$，$|\overrightarrow{\mathrm{OB}}|=b$とする．以下の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle \frac{|\overrightarrow{\mathrm{BC}}|}{|\overrightarrow{\mathrm{AC}}|}$を$t$を用いて表せ．

(2)線分$\mathrm{OC}$が$\angle \mathrm{AOB}$の$2$等分線となるとき，$\mathrm{C}$は辺$\mathrm{AB}$を$a:b$に内分する点であることを示せ．
(3)$(2)$のとき，$\triangle \mathrm{OAB}$の面積を$S_1$，$\triangle \mathrm{PAB}$の面積を$S_2$とする．$\displaystyle \frac{S_2}{S_1}$を$a,\ b$を用いて表せ．

$\triangle \mathrm{ABC}$において，辺$\mathrm{BC}$，$\mathrm{CA}$，$\mathrm{AB}$の長さを，それぞれ$a,\ b,\ c$で表し，$\angle \mathrm{A}$，$\angle \mathrm{B}$，$\angle \mathrm{C}$の大きさを，それぞれ$A,\ B,\ C$で表す．$\sin A:\sin B:\sin C=7:8:3$が成立しているとき，以下の各問に答えよ．

(1)$\cos A,\ \cos B,\ \cos C$の値の中で，最大値を求めよ．またそのときの，正接の値を求めよ．
(2)$\sin A,\ \sin B,\ \sin C$の値の中で，最大値を求めよ．
(3)$b=4$とする．$\angle \mathrm{A}$の二等分線が辺$\mathrm{BC}$と交わる点を$\mathrm{P}$とするとき，線分$\mathrm{AP}$の長さを求めよ．
(4)$(3)$のもとで，$\triangle \mathrm{ABC}$の外接円の半径と，内接円の半径を求めよ．

$x$を正の実数とする．座標平面上の$3$点$\mathrm{A}(0,\ 1)$，$\mathrm{B}(0,\ 2)$，$\mathrm{P}(x,\ x)$をとり，$\triangle \mathrm{APB}$を考える．$x$の値が変化するとき，$\angle \mathrm{APB}$の最大値を求めよ．

原点をOとする$xyz$空間内で，$x$軸上の点A，$xy$平面上の点B，$z$軸上の点Cを，次をみたすように定める．
\[ \angle \text{OAC} = \angle \text{OBC} = \theta, \quad \angle \text{AOB} = 2\theta, \quad \text{OC}=3 \]
ただし，Aの$x$座標，Bの$y$座標，Cの$z$座標はいずれも正であるとする．さらに，$\triangle$ABC内の点のうち，Oからの距離が最小の点をHとする．また，$t = \tan \theta$とおく．

(1)線分OHの長さを$t$の式で表せ．
(2)Hの$z$座標を$t$の式で表せ．