三角形$\mathrm{ABC}$において，各辺の長さをそれぞれ$\mathrm{AB}=x$，$\mathrm{AC}=y$，$\mathrm{BC}=z$とおき，$\angle \mathrm{BAC}=\theta$とおく．また，$x,\ y,\ z$は
\[ x+y+z=a,\quad xy=z \]
をみたすものとする．ただし，$a$は正の実数である．このとき，次の問に答えよ．

(1)$\cos \theta$を$a$と$z$の式で表せ．
(2)$x+y$と$xy$をそれぞれ$a$と$\cos \theta$の式で表せ．
(3)$\displaystyle \theta=\frac{\pi}{3}$のとき，$a$のとり得る値の最小値を求めよ．また，そのときの$x,\ y,\ z$を求めよ．

次の空欄ア～ソに当てはまる数または式を記入せよ．

(1)$x$が$0<x<1$と$\displaystyle x^2+\frac{1}{x^2}=3$を満たすとき，$x^3$の値は$[ア]$である．
(2)不等式$\displaystyle \log_5 \left( \frac{x+1}{2} \right)+\log_5(x-4)<2$の解は$[イ]<x<[ウ]$である．
(3)$\sqrt{3} \sin \theta-\cos \theta>1 (-\pi<\theta<\pi)$を満たす$\theta$の範囲は，$[エ]<\theta<[オ]$である．
(4)$3$次方程式$x^3+3x^2-24x-a=0$が，異なる$3$つの実数解をもつような定数$a$の値の範囲は，$[カ]<a<[キ]$である．
(5)積分$\displaystyle \int_{-3}^3 |x^2-1| \, dx$の値は$[ク]$である．
(6)$2$次不等式$ax^2-4x+b<0$の解が$-3<x<5$であるとき，定数$a$は$[ケ]$であり，定数$b$は$[コ]$である．
(7)$2$つのベクトル$\overrightarrow{a}=(2,\ -1,\ 1)$と$\overrightarrow{b}=(x-2,\ -x,\ 4)$のなす角が$30^\circ$のとき，$x$の値は$[サ]$である．
(8)点$(x,\ y)$が直線$2x+3y=4$の上を動くとする．$4^x+8^y$が最小値をとるとき，$x,\ y$の値は$x=[シ]$，$y=[ス]$である．
(9)三角形$\mathrm{ABC}$の$\mathrm{A}$における角度は$45^\circ$，$\mathrm{C}$における角度は$75^\circ$，辺$\mathrm{AC}$の長さが$6$であるとき，辺$\mathrm{BC}$の長さは$[セ]$である．
\mon $0,\ 1,\ 2,\ 3$の数字から選んで$4$桁の自然数を作るとき，同じ数字を何回用いてもよいとすると，$2$の倍数でない自然数は$[ソ]$個できる．

$\mathrm{AB}=3$，$\mathrm{AC}=2$，$\angle \mathrm{BAC}=60^\circ$の三角形$\mathrm{ABC}$がある．$\angle \mathrm{BAC}$の二等分線と辺$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{P}$，$\angle \mathrm{BAC}$の外角の二等分線と辺$\mathrm{BC}$の延長との交点を$\mathrm{Q}$とし，$\angle \mathrm{APQ}=\theta$とするとき，以下の問に答えよ．

(1)$\mathrm{BC}=\sqrt{[サ]}$である．
(2)$\displaystyle \mathrm{AP}=\frac{[シ] \sqrt{[ス]}}{[セ]}$，$\displaystyle \mathrm{PQ}=\frac{[ソタ] \sqrt{[チ]}}{[ツ]}$であるから，$\displaystyle \cos \theta=\frac{\sqrt{[テト]}}{[ナニ]}$である．

$1$辺の長さが$1$の正方形$\mathrm{ABCD}$が，円に内接している．小さい方の弧$\mathrm{AD}$上に点$\mathrm{P}$を，$\displaystyle \angle \mathrm{ABP}=\frac{\pi}{6}$となるようにとるとき，以下の問に答えよ．

(1)この外接円の面積は$\displaystyle \frac{[ヌ]}{[ネ]} \pi$である．
(2)線分$\mathrm{BP}$と辺$\mathrm{AD}$との交点を$\mathrm{Q}$とする．このとき，四角形$\mathrm{BCDQ}$の面積は，$\displaystyle \frac{[ノ]-\sqrt{[ハ]}}{[ヒ]}$である．
(3)三角形$\mathrm{ABP}$の面積は，$\displaystyle \frac{[フ]+\sqrt{[ヘ]}}{[ホ]}$である．

$\angle \mathrm{B}=60^\circ$，$\angle \mathrm{C}=45^\circ$の三角形$\mathrm{ABC}$がある．三角形$\mathrm{ABC}$の外接円の半径が$2$のとき，以下の問に答えよ．

(1)$\mathrm{AC}=[ア] \sqrt{[イ]}$である．
(2)加法定理を利用して$\sin 75^\circ$の値を求めると，$\displaystyle \sin 75^\circ=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{[ウ]}}{[エ]}$である．
(3)三角形$\mathrm{ABC}$の面積は$[オ]+\sqrt{[カ]}$である．

座標平面上の放物線$\displaystyle y=\frac{1}{4}x^2$について，その頂点を$\mathrm{O}$とし，この放物線上に異なる$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$をとる．また$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$は頂点$\mathrm{O}$と異なる点で，$\angle \mathrm{AOB}$が直角になるものとする．点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$の$x$座標をそれぞれ$a,\ b$とし，$a+b=t$として，次の問に答えよ．

(1)$\angle \mathrm{AOB}$が直角となる条件を$a,\ b$を用いて表せ．
(2)$t$を用いて直線$\mathrm{AB}$の方程式を求めよ．
(3)頂点$\mathrm{O}$から直線$\mathrm{AB}$におろした垂線が，直線$\mathrm{AB}$と交わる点を$\mathrm{H}$とするとき，$t$を用いて直線$\mathrm{OH}$の方程式を求めよ．
(4)$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$が放物線上を動くとき，$t$を用いて点$\mathrm{H}$の座標を求めよ．

$\triangle \mathrm{ABC}$において，頂点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$に向かい合う辺$\mathrm{BC}$，$\mathrm{CA}$，$\mathrm{AB}$の長さをそれぞれ$a,\ b,\ c$で表す．$a=4$，$b=5$，$c=6$のとき，次の問いに答えよ．

(1)$\sin \angle \mathrm{A}$の値を求めよ．
(2)この三角形の面積$S$を求めよ．
(3)この三角形の外接円の半径$R$を求めよ．
(4)この三角形の内接円の半径$r$を求めよ．
(5)図のように，この三角形の辺$\mathrm{AB}$と辺$\mathrm{AC}$の延長および辺$\mathrm{BC}$に接する円の半径$\ell$を求めよ．
（図は省略）

座標平面上に曲線$C:y=-x^2$および，$C$上の$2$点$\mathrm{A}(a,\ -a^2)$，$\mathrm{B}(b,\ -b^2)$（ただし$a<b$）を考える．$\mathrm{A}$における$C$の接線を$\ell$，$\mathrm{B}$における$C$の接線を$m$とする．$2$直線$\ell$，$m$の交点を$\mathrm{P}(x,\ y)$とする．

(1)$\mathrm{P}(x,\ y)$の各座標を$a,\ b$で表すと，
\[ x=\frac{[ク]}{[ケ]}a+\frac{[コ]}{[サ]}b,\quad y=[シ]ab \]
である．
(2)$\ell$と$m$が直交するように$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$が$C$上を動くとき，$\mathrm{P}(x,\ y)$は常に
\[ [ス]x+[セ]y-1=0 \]
を満たす．
(3)$\angle \mathrm{APB}=135^\circ$であるように$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$が$C$上を動くとき，$\mathrm{P}(x,\ y)$は常に
\[ [ソ]x^2+[タ] \left( y+\frac{[チ]}{[ツ]} \right)^2+1=0 \]
を満たし，$x=0$のとき$\mathrm{P}(0,\ y)$の$y$座標は
\[ \frac{[テ]}{[ト]}+\frac{[ナ]}{[ニ]} \sqrt{[ヌ]} \]
である．

次の空欄アに$①$～$④$のいずれかを記入せよ．また空欄イ～スに当てはまる数または式を記入せよ．

(1)実数$x,\ y$に対して，$x^2+y^2 \leqq 1$は「$-1 \leqq x \leqq 1$かつ$-1 \leqq y \leqq 1$」であるための何条件かを，$①$「必要条件」，$②$「十分条件」，$③$「必要十分条件」，$④$「必要条件でも十分条件でもない」のうちから選択すると，$[ア]$となる．
(2)$3x^2-xy-2y^2-x+6y+k$が，$x,\ y$の整数係数の$1$次式の積に因数分解されるとき，$k=[イ]$である．
(3)$3$つの数$\log_2 x$，$\log_2 10$，$\log_2 20$がこの順で等差数列であるとき，$x=[ウ]$である．
(4)$\displaystyle \frac{1}{1 \cdot 2}+\frac{1}{2 \cdot 3}+\frac{1}{3 \cdot 4}+\cdots +\frac{1}{100 \cdot 101}=\frac{[エ]}{[オ]}$である．
(5)座標平面上の曲線$y=x^3+ax^2+bx$上の点$(2,\ 4)$における接線が$x$軸に平行であるとき，$a=[カ]$，$b=[キ]$である．
(6)自宅から$2000 \; \mathrm{m}$離れている駅まで，はじめに毎分$80 \; \mathrm{m}$で歩き，途中から毎分$170 \; \mathrm{m}$で走るものとする．出発してから$16$分以内に駅に到着するには，歩きはじめてから$[ク]$分以内に走り出さなければならない．
(7)点$\mathrm{A}(2,\ 3)$，点$\mathrm{B}(p,\ q)$と原点$\mathrm{O}$がつくる三角形$\mathrm{OAB}$について，$\angle \mathrm{OAB}=90^\circ$のとき，$p,\ q$の満たす条件は$p \neq 2$かつ$p=[ケ]$である．
(8)実数$x,\ y,\ a,\ b$が条件$x^2+y^2=2$，および$a^2+b^2=3$を満たすとき，$ax+by$の最大値は$[コ]$で，最小値は$[サ]$である．
(9)$\displaystyle x=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{10}i}{3}$とし，$x$と共役な複素数を$y$とするとき，$x^3+y^3=[シ]$となる．ただし，$i$は虚数単位とする．
\mon $\displaystyle \sin x+\sin y=\frac{1}{3}$，$\displaystyle \cos x-\cos y=\frac{1}{2}$のとき，$\cos (x+y)$の値は$[ス]$である．

点$\mathrm{O}$を中心とし，長さ$2r$の線分$\mathrm{AB}$を直径とする円の周上を動く点$\mathrm{P}$がある．$\triangle \mathrm{ABP}$の面積を$S_1$，扇形$\mathrm{OPB}$の面積を$S_2$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle \angle \mathrm{PAB}=\theta (0<\theta<\frac{\pi}{2})$とするとき，$S_1$と$S_2$を求めよ．
(2)$\mathrm{P}$が$\mathrm{B}$に限りなく近づくとき，$\displaystyle \frac{S_1}{S_2}$の極限値を求めよ．