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私立 南山大学 2011年 第1問$[ ]$の中に答を入れよ．
(1)$2$次関数$y=x^2+x+k$の$-1 \leqq x \leqq 2$における最大値が$8$であるとき，実数$k$の値は$[ア]$であり，そのときの最小値は$[イ]$である．
(2)$\angle \mathrm{O}$が直角の直角三角形$\mathrm{OAB}$において，$\angle \mathrm{O}$の$2$等分線と辺$\mathrm{AB}$の交点を$\mathrm{C}$とする．$\mathrm{OA}=a$，$\mathrm{OB}=b$とするとき，$\mathrm{OC}=[ウ]$であり，$\mathrm{OB}=\mathrm{OC}$のとき，$\tan A$の値は$[エ]$である．
(3)$3$次方程式$x^3+ax-3a=0$のただひとつの整数解が$x=2$であるとき，$a=[オ]$であり，そのときの虚数解は，$x=[カ]$である．
(4)$x$の$2$次式$f(x)$が，$f(-1)=f(2)=0$と$f(3)=-1$を満たすとき，$f^\prime(-1)=[キ]$であり，$\displaystyle \int_0^2 f(x) \, dx=[ク]$である．
(5)$\displaystyle \frac{\pi}{6} \leqq \theta \leqq \frac{5}{6} \pi$のとき，$\displaystyle \sin \left( 2\theta-\frac{\pi}{6} \right)-\cos 2\theta$の最大値は$[ケ]$であり，最小値は$[コ]$である．
(1)$2$次関数$y=x^2+x+k$の$-1 \leqq x \leqq 2$における最大値が$8$であるとき，実数$k$の値は$[ア]$であり，そのときの最小値は$[イ]$である．
(2)$\angle \mathrm{O}$が直角の直角三角形$\mathrm{OAB}$において，$\angle \mathrm{O}$の$2$等分線と辺$\mathrm{AB}$の交点を$\mathrm{C}$とする．$\mathrm{OA}=a$，$\mathrm{OB}=b$とするとき，$\mathrm{OC}=[ウ]$であり，$\mathrm{OB}=\mathrm{OC}$のとき，$\tan A$の値は$[エ]$である．
(3)$3$次方程式$x^3+ax-3a=0$のただひとつの整数解が$x=2$であるとき，$a=[オ]$であり，そのときの虚数解は，$x=[カ]$である．
(4)$x$の$2$次式$f(x)$が，$f(-1)=f(2)=0$と$f(3)=-1$を満たすとき，$f^\prime(-1)=[キ]$であり，$\displaystyle \int_0^2 f(x) \, dx=[ク]$である．
(5)$\displaystyle \frac{\pi}{6} \leqq \theta \leqq \frac{5}{6} \pi$のとき，$\displaystyle \sin \left( 2\theta-\frac{\pi}{6} \right)-\cos 2\theta$の最大値は$[ケ]$であり，最小値は$[コ]$である．
私立 甲南大学 2011年 第2問四角形$\mathrm{ABCD}$は円$\mathrm{O}$に内接し$\mathrm{AB}=\mathrm{BC}=\sqrt{2}$，$\mathrm{CD}=2$，$\mathrm{DA}=1+\sqrt{3}$とする．このとき，以下の問いに答えよ．
(1)$\angle \mathrm{ABC}$の大きさと線分$\mathrm{AC}$の長さを求めよ．
(2)四角形$\mathrm{ABCD}$の面積を求めよ．
(3)円$\mathrm{O}$の半径を求めよ．
(1)$\angle \mathrm{ABC}$の大きさと線分$\mathrm{AC}$の長さを求めよ．
(2)四角形$\mathrm{ABCD}$の面積を求めよ．
(3)円$\mathrm{O}$の半径を求めよ．
私立 甲南大学 2011年 第2問四角形$\mathrm{ABCD}$は円$\mathrm{O}$に内接し$\mathrm{AB}=\mathrm{BC}=\sqrt{2}$，$\mathrm{CD}=2$，$\mathrm{DA}=1+\sqrt{3}$とする．このとき，以下の問いに答えよ．
(1)$\angle \mathrm{ABC}$の大きさと線分$\mathrm{AC}$の長さを求めよ．
(2)四角形$\mathrm{ABCD}$の面積を求めよ．
(3)円$\mathrm{O}$の半径を求めよ．
(1)$\angle \mathrm{ABC}$の大きさと線分$\mathrm{AC}$の長さを求めよ．
(2)四角形$\mathrm{ABCD}$の面積を求めよ．
(3)円$\mathrm{O}$の半径を求めよ．
私立 南山大学 2011年 第3問座標空間に$3$点$\mathrm{A}(4,\ 0,\ -1)$，$\mathrm{B}(0,\ 2,\ 1)$，$\mathrm{C}(a,\ b,\ 0)$がある．
(1)$\mathrm{AC}=\mathrm{BC}$のとき，$a,\ b$が満たす条件を求めよ．
(2)$\angle \mathrm{ACB}$が$90^\circ$のとき，$a,\ b$が満たす条件を求めよ．また，その条件を満たしながら$a,\ b$の値が変わるとき，$xy$平面上での$\mathrm{C}$の軌跡を求めよ．
(3)$(1)$の条件と$(2)$の条件をともに満たす$\mathrm{C}$の座標を求めよ．
(1)$\mathrm{AC}=\mathrm{BC}$のとき，$a,\ b$が満たす条件を求めよ．
(2)$\angle \mathrm{ACB}$が$90^\circ$のとき，$a,\ b$が満たす条件を求めよ．また，その条件を満たしながら$a,\ b$の値が変わるとき，$xy$平面上での$\mathrm{C}$の軌跡を求めよ．
(3)$(1)$の条件と$(2)$の条件をともに満たす$\mathrm{C}$の座標を求めよ．
私立 甲南大学 2011年 第2問座標平面上において，原点$\mathrm{O}$，点$\mathrm{A}(0,\ 1+\sqrt{3})$，点$\mathrm{B}(\sqrt{3},\ 2+\sqrt{3})$，点$\mathrm{C}(1+\sqrt{3},\ 0)$がある．このとき，以下の問いに答えよ．
(1)直線$\mathrm{AB}$を表す方程式と$\angle \mathrm{OAB}$の値を求めよ．
(2)$\angle \mathrm{OAB}$の二等分線の方程式を求めよ．
(3)中心が第$1$象限にあり，直線$\mathrm{AB}$，$x$軸，$y$軸に接する円$P$の方程式を求めよ．
(4)傾きが正で，かつ点$\mathrm{C}$を通り，$(3)$で求めた円$P$と接する直線$\ell$の方程式を求めよ．
(1)直線$\mathrm{AB}$を表す方程式と$\angle \mathrm{OAB}$の値を求めよ．
(2)$\angle \mathrm{OAB}$の二等分線の方程式を求めよ．
(3)中心が第$1$象限にあり，直線$\mathrm{AB}$，$x$軸，$y$軸に接する円$P$の方程式を求めよ．
(4)傾きが正で，かつ点$\mathrm{C}$を通り，$(3)$で求めた円$P$と接する直線$\ell$の方程式を求めよ．
私立 甲南大学 2011年 第1問以下の空欄にあてはまる数を入れよ．
(1)$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\angle \mathrm{B}={105}^\circ$，$\angle \mathrm{C}={30}^\circ$，$\mathrm{BC}=6$であるとき，$\triangle \mathrm{ABC}$の外接円の半径は$[1]$であり，辺$\mathrm{AC}$の長さは$[2]$である．
(2)次の不等式をみたす$x$の値の範囲は，$[3]<x<[4]$である．
\[ \log_2(3x-1)+\log_2(4x+5)<\log_4(7x-1)^2 \]
(3)$3$次方程式$x^3+(2a-1)x^2+(5a+8)x-7a-8=0$は解$x=1$をもつという．この方程式が$3$重解をもつのは，$a=[5]$のときであり，ちょうど$2$つの異なる実数解をもつのは$a=[6]$のときである．
(4)$y=|x^2-4|$のグラフと直線$y=x+k$の共有点の個数が$3$個であるとき，$k$の値は$[7]$または$[8]$である．
(5)$2,\ 2,\ 2,\ 3,\ 3,\ 4,\ 4$の数が$1$つずつ書かれた$7$枚のカードが箱の中に入っており，箱から同時にカードを$3$枚取り出すという試行を行う．取り出したカードに書いてある数の合計を得点とするとき，得点が$8$点の確率は$[9]$である．また，$1$回の試行における得点の期待値は$[10]$である．
(1)$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\angle \mathrm{B}={105}^\circ$，$\angle \mathrm{C}={30}^\circ$，$\mathrm{BC}=6$であるとき，$\triangle \mathrm{ABC}$の外接円の半径は$[1]$であり，辺$\mathrm{AC}$の長さは$[2]$である．
(2)次の不等式をみたす$x$の値の範囲は，$[3]<x<[4]$である．
\[ \log_2(3x-1)+\log_2(4x+5)<\log_4(7x-1)^2 \]
(3)$3$次方程式$x^3+(2a-1)x^2+(5a+8)x-7a-8=0$は解$x=1$をもつという．この方程式が$3$重解をもつのは，$a=[5]$のときであり，ちょうど$2$つの異なる実数解をもつのは$a=[6]$のときである．
(4)$y=|x^2-4|$のグラフと直線$y=x+k$の共有点の個数が$3$個であるとき，$k$の値は$[7]$または$[8]$である．
(5)$2,\ 2,\ 2,\ 3,\ 3,\ 4,\ 4$の数が$1$つずつ書かれた$7$枚のカードが箱の中に入っており，箱から同時にカードを$3$枚取り出すという試行を行う．取り出したカードに書いてある数の合計を得点とするとき，得点が$8$点の確率は$[9]$である．また，$1$回の試行における得点の期待値は$[10]$である．
私立 龍谷大学 2011年 第2問図のように，原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円$C$上に$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$がある．点$\mathrm{A}$は第$3$象限にあり，点$\mathrm{A}$と点$\mathrm{B}$は$y$軸に関して対称である．また，$\angle \mathrm{AOB}=60^\circ$である．
（図は省略）
(1)点$\mathrm{A}$と点$\mathrm{B}$の座標を求めなさい．
(2)点$\mathrm{A}$における円$C$の接線$\ell$の方程式を求めなさい．
(3)点$\mathrm{A}$と点$\mathrm{B}$を通る放物線のうち，点$\mathrm{A}$における接線が$\ell$と一致するようなものの方程式を求めなさい．
（図は省略）
(1)点$\mathrm{A}$と点$\mathrm{B}$の座標を求めなさい．
(2)点$\mathrm{A}$における円$C$の接線$\ell$の方程式を求めなさい．
(3)点$\mathrm{A}$と点$\mathrm{B}$を通る放物線のうち，点$\mathrm{A}$における接線が$\ell$と一致するようなものの方程式を求めなさい．
私立 明治大学 2011年 第2問以下の$[あ]$から$[お]$にあてはまるものを答えよ．
座標平面上に$3$点$\mathrm{A}(-1,\ 1)$，$\mathrm{B}(b,\ b^2)$，$\mathrm{C}(2,\ 4)$をとり，$\theta=\angle \mathrm{ABC}$とおく．ただし，$-1<b<2$とする．
(1)直線$\mathrm{AB}$の傾きと直線$\mathrm{BC}$の傾きを$b$を用いて表すと，それぞれ$[あ]$，$[い]$である．
(2)$\displaystyle \theta=\frac{\pi}{2}$となるのは，$b=[う]$のときである．
(3)$\displaystyle \theta \neq \frac{\pi}{2}$のとき，$\tan \theta$を$b$で表すと，$[え]$である．
(4)$b$が$-1<b<2$の範囲を動くとき，$\theta$の値が最小となるのは，$b=[お]$のときである．
座標平面上に$3$点$\mathrm{A}(-1,\ 1)$，$\mathrm{B}(b,\ b^2)$，$\mathrm{C}(2,\ 4)$をとり，$\theta=\angle \mathrm{ABC}$とおく．ただし，$-1<b<2$とする．
(1)直線$\mathrm{AB}$の傾きと直線$\mathrm{BC}$の傾きを$b$を用いて表すと，それぞれ$[あ]$，$[い]$である．
(2)$\displaystyle \theta=\frac{\pi}{2}$となるのは，$b=[う]$のときである．
(3)$\displaystyle \theta \neq \frac{\pi}{2}$のとき，$\tan \theta$を$b$で表すと，$[え]$である．
(4)$b$が$-1<b<2$の範囲を動くとき，$\theta$の値が最小となるのは，$b=[お]$のときである．
私立 名城大学 2011年 第1問次の$[ ]$に適切な答えを入れよ．
(1)$x^2-x-1=0$の解を$\alpha,\ \beta$とするとき，$\alpha^2+\beta^2=[ア]$，$\alpha^3+\beta^3=[イ]$である．
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$は$\angle \mathrm{ACB}=90^\circ$の直角三角形である．点$\mathrm{C}$から辺$\mathrm{AB}$に下ろした垂線を$\mathrm{CD}$とする．$\mathrm{BD}:\mathrm{DA}=2:3$のとき，$\sin \angle \mathrm{CAB}=[ウ]$，$\sin \angle \mathrm{ABC}=[エ]$である．
(3)$1$から$100$までの自然数の番号をつけた$100$枚のカードから$1$枚を取り出すとき，そのカードの番号が$4$の倍数または$5$の倍数である確率は$[オ]$，$3$の倍数または$7$の倍数である確率は$[カ]$である．
(4)$2^n$が$4$桁の数となるような自然数$n$は$[キ]$個であり，$12$桁の数となるような自然数$n$は$[ク]$個である．ただし，$\log_{10}2=0.3010$とする．
(1)$x^2-x-1=0$の解を$\alpha,\ \beta$とするとき，$\alpha^2+\beta^2=[ア]$，$\alpha^3+\beta^3=[イ]$である．
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$は$\angle \mathrm{ACB}=90^\circ$の直角三角形である．点$\mathrm{C}$から辺$\mathrm{AB}$に下ろした垂線を$\mathrm{CD}$とする．$\mathrm{BD}:\mathrm{DA}=2:3$のとき，$\sin \angle \mathrm{CAB}=[ウ]$，$\sin \angle \mathrm{ABC}=[エ]$である．
(3)$1$から$100$までの自然数の番号をつけた$100$枚のカードから$1$枚を取り出すとき，そのカードの番号が$4$の倍数または$5$の倍数である確率は$[オ]$，$3$の倍数または$7$の倍数である確率は$[カ]$である．
(4)$2^n$が$4$桁の数となるような自然数$n$は$[キ]$個であり，$12$桁の数となるような自然数$n$は$[ク]$個である．ただし，$\log_{10}2=0.3010$とする．
私立 名城大学 2011年 第1問次の$[ ]$に適切な答えを入れよ．
(1)$x^2-x-1=0$の解を$\alpha,\ \beta$とするとき，$\alpha^2+\beta^2=[ア]$，$\alpha^3+\beta^3=[イ]$である．
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$は$\angle \mathrm{ACB}=90^\circ$の直角三角形である．点$\mathrm{C}$から辺$\mathrm{AB}$に下ろした垂線を$\mathrm{CD}$とする．$\mathrm{BD}:\mathrm{DA}=2:3$のとき，$\sin \angle \mathrm{CAB}=[ウ]$，$\sin \angle \mathrm{ABC}=[エ]$である．
(3)$1$から$100$までの自然数の番号をつけた$100$枚のカードから$1$枚を取り出すとき，そのカードの番号が$4$の倍数または$5$の倍数である確率は$[オ]$，$3$の倍数または$7$の倍数である確率は$[カ]$である．
(4)$2^n$が$4$桁の数となるような自然数$n$は$[キ]$個であり，$12$桁の数となるような自然数$n$は$[ク]$個である．ただし，$\log_{10}2=0.3010$とする．
(1)$x^2-x-1=0$の解を$\alpha,\ \beta$とするとき，$\alpha^2+\beta^2=[ア]$，$\alpha^3+\beta^3=[イ]$である．
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$は$\angle \mathrm{ACB}=90^\circ$の直角三角形である．点$\mathrm{C}$から辺$\mathrm{AB}$に下ろした垂線を$\mathrm{CD}$とする．$\mathrm{BD}:\mathrm{DA}=2:3$のとき，$\sin \angle \mathrm{CAB}=[ウ]$，$\sin \angle \mathrm{ABC}=[エ]$である．
(3)$1$から$100$までの自然数の番号をつけた$100$枚のカードから$1$枚を取り出すとき，そのカードの番号が$4$の倍数または$5$の倍数である確率は$[オ]$，$3$の倍数または$7$の倍数である確率は$[カ]$である．
(4)$2^n$が$4$桁の数となるような自然数$n$は$[キ]$個であり，$12$桁の数となるような自然数$n$は$[ク]$個である．ただし，$\log_{10}2=0.3010$とする．