三角形$\mathrm{ABC}$において，辺$\mathrm{BC}$を$a$，辺$\mathrm{AC}$を$b$，辺$\mathrm{AB}$を$c$とする．$b=2$，$c=3$，$\displaystyle \angle \mathrm{A}=\frac{\pi}{3}$のとき，$a^2$の値を求めよ．

三角形$\mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=1$，$\angle \mathrm{B}=2 \theta$，$\angle \mathrm{C}=\theta$とする．$\angle \mathrm{B}$の二等分線が辺$\mathrm{CA}$と交わる点を$\mathrm{D}$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)$\mathrm{AD}=x$とするとき，$\mathrm{BC}$と$\mathrm{CA}$の長さを$x$を用いて表せ．
(2)$\mathrm{BC}$と$\mathrm{CA}$をそれぞれ$\cos \theta$を用いて表せ．
(3)三角形$\mathrm{ABC}$の周の長さを$l$とするとき，$l$の値の範囲を求めよ．

円に内接する四角形$\mathrm{ABCD}$について考える（$\angle \mathrm{ABC}=\theta$とする）．四角形$\mathrm{ABCD}$の面積は，$4 \sqrt{6}$である．辺$\mathrm{AB}$および辺$\mathrm{BC}$の長さが，それぞれ，$1$，$5$であり，$\displaystyle \cos \theta=-\frac{1}{5}$となるとき，辺$\mathrm{CD}$の長さを求めよ．ただし，辺$\mathrm{CD}$の長さは辺$\mathrm{AD}$の長さより大きいものとする．

半径$1$の円に内接する三角形$\mathrm{ABC}$において，$\angle \mathrm{A}=\alpha$，$\angle \mathrm{B}=\beta$とし，$\displaystyle \sin \alpha=\frac{3}{5}$，$\displaystyle \sin \beta=\frac{1}{2}$とする．$\gamma$が$\gamma>0^\circ$かつ$\alpha+\beta+\gamma=90^\circ$を満たすとき，次の問いに答えよ．

(1)$\mathrm{BC}$と$\mathrm{CA}$の長さをそれぞれ求めよ．
(2)$\sin \gamma$と$\cos \gamma$の値をそれぞれ求めよ．
(3)三角形$\mathrm{ABC}$の面積$S$を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$x^2-4x+3<0$を満たすような$x^2-6x+8=0$の解を求めよ．
(2)座標平面上の$2$点$(2,\ 3)$と$(4,\ 2)$を通る直線に垂直に交わり，かつ円$x^2+y^2=5$に接する直線の方程式を求めよ．
(3)三角形$\mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}:\mathrm{BC}:\mathrm{CA}=2:(1+\sqrt{3}):\sqrt{2}$であるとき，$\angle \mathrm{B}$の大きさを求めよ．また，$\sin A$の値を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle \frac{5}{x^2-x-6}-\frac{4}{x-3}$を簡単にせよ．

(2)$\displaystyle -3 \leqq x \leqq \frac{1}{2}$のとき，関数$f(x)=-x^2-2x+9$の最大値と最小値を求めよ．

(3)$3$直線$\ell_1:5x+y-23=0$，$\ell_2:3x-y-1=0$，$\ell_3:x-3y+5=0$があり，$\ell_1$と$\ell_2$，$\ell_2$と$\ell_3$，$\ell_3$と$\ell_1$の交点をそれぞれ$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$とするとき，$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$の座標と$\cos \angle \mathrm{ABC}$の値を求めよ．

平行四辺形$\mathrm{ABCD}$を考える．辺$\mathrm{AB}$と辺$\mathrm{AD}$の長さは，それぞれ$3,\ 4$で，$\angle \mathrm{ABC}$は$60^\circ$であるとする．辺$\mathrm{AD}$と辺$\mathrm{BC}$の中点をそれぞれ，$\mathrm{M}$，$\mathrm{N}$とおく．また，線分$\mathrm{AN}$と線分$\mathrm{BD}$の交点を$\mathrm{P}$とし，線分$\mathrm{CM}$と線分$\mathrm{BD}$の交点を$\mathrm{Q}$とする．$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{AB}}$，$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{BC}}$とおく．以下の問に答えなさい．

(1)$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{AP}}=\frac{[ヘ]}{[ホ]} \overrightarrow{a}+\frac{[マ]}{[ミ]} \overrightarrow{b}$と表せる．また，$\displaystyle \mathrm{AP}=\frac{[ム] \sqrt{[メ]}}{[モ]}$となる．

(2)$\displaystyle \cos (\angle \mathrm{PAQ})=\frac{[ヤユ] \sqrt{[ヨ]}}{[ラリ]}$となる．
(3)三角形$\mathrm{ABP}$の外接円の半径は$\displaystyle \frac{\sqrt{[ルレロ]}}{[ワヲ]}$である．
(4)三角形$\mathrm{ABP}$の外心を$\mathrm{O}$とおくとき，$\overrightarrow{\mathrm{AO}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$で表しなさい．

次の各問の$[　]$にあてはまる数を記入せよ．

(1)大小$2$つのサイコロを振り，出た目をそれぞれ$a,\ b$とする．$ab \geqq 20$となる確率は$\displaystyle \frac{[ア]}{[イ]}$であり，$ab$が$3$で割り切れる確率は$\displaystyle \frac{[ウ]}{[エ]}$である．

(2)$\triangle \mathrm{ABC}$において$\mathrm{BC}=2$，$\mathrm{AC}=\sqrt{2}$，$\angle \mathrm{C}=105^\circ$とする．
\[ \cos 105^\circ=\frac{\sqrt{[オ]}-\sqrt{[カ]}}{[キ]} \]
である．また，$\mathrm{AB}=[ク]+\sqrt{[ケ]}$であり，$\angle \mathrm{A}=[コサ]^\circ$である．
(3)$a,\ b$を正の実数で，$a \neq 1,\ b \neq 1$とする．このとき

$(\log_{a^2}b+\log_b a^3)(\log_{a^3}b+\log_{b^2}a)$

$\displaystyle =\frac{[シ]}{[ス]} \cdot (\log_a b)^2+\frac{[セ]}{[ソ]} \cdot (\log_b a)^2+\frac{[タ]}{[チ]}$

である．

次の各問の$[　]$にあてはまる数を記入せよ．

座標空間内に点$\mathrm{P}(s+3,\ 2s-1,\ 2s+1)$と点$\mathrm{Q}(2s+3,\ 1-2s,\ s-1)$がある．ただし，$s$は実数全体を動く．次の問に答えよ．
(1)線分$\mathrm{PQ}$の長さは
\[ \sqrt{[ア] \left( [イ]s^2-[ウ]s+[エ] \right)} \]
であり，$\displaystyle s=\frac{[オ]}{[カ]}$のときに最小値$\sqrt{[キ]}$をとる．

(2)$\mathrm{O}$を原点とし，$\theta=\angle \mathrm{POQ}$とする．$\cos \theta$のとる値の範囲を求めよう．$k=\cos \theta$とおくと
\[ k=\frac{[クケ]s+[コ]}{[サ]s^2+[シ]s+[スセ]} \cdots\cdots (*) \]
である．

(i) $\displaystyle s=-\frac{[コ]}{[クケ]}$のとき$k=0$となる．
(ii) $k \neq 0$のときに$(*)$を満たす実数$s$が存在するための条件は
\[ -\frac{[ソ]}{[タ]} \leqq k \leqq \frac{[チ]}{[ツ]} \]
である．

$(ⅰ),\ (ⅱ)$より$\cos \theta$のとる値の範囲は
\[ -\frac{[ソ]}{[タ]} \leqq \cos \theta \leqq \frac{[チ]}{[ツ]} \]
である．また，$\displaystyle \cos \theta=\frac{[チ]}{[ツ]}$となるのは$\displaystyle s=\frac{[テ]}{[ト]}$のときである．

$[　]$の中に答を入れよ．

(1)放物線$y=x^2+2x$を$x$軸方向に$p$，$y$軸方向に$\displaystyle \frac{1}{2}p^2$だけ平行移動して得られる放物線$C$の方程式を求めると$y=[ア]$である．$C$と直線$y=x$が異なる$2$つの点で交わるような$p$の値の範囲を求めると$[イ]$である．
(2)$3$次の整式$F(x)$を考える．$F(x)$の$x^3$の項の係数は$1$であり，$xF(x)$を$x^2-3x+2$で割った余りは$2x$である．このとき，$F(2)$の値は$F(2)=[ウ]$であり，さらに，$F(-1)=2$であるとき，$F(-2)$の値は$F(-2)=[エ]$である．
(3)$\triangle \mathrm{ABC}$において$3$辺$\mathrm{AB}$，$\mathrm{BC}$，$\mathrm{CA}$の長さがそれぞれ$2,\ 3,\ x$であるとする．このとき，$\triangle \mathrm{ABC}$の面積が最大になるような$x$の値を求めると$x=[オ]$である．また，$\angle \mathrm{ACB}$が最大になるような$x$の値を求めると$x=[カ]$である．
(4)$0<\alpha<\beta<\pi$のとき，座標平面上で，$2$点$\mathrm{A}(2 \cos \alpha,\ 2 \sin \alpha)$，$\mathrm{B}(2 \cos \alpha+\cos \beta,\ 2 \sin \alpha+\sin \beta)$と原点$\mathrm{O}$を頂点とする$\triangle \mathrm{OAB}$を考える．$\mathrm{B}$の座標が$(1,\ 1)$のとき，$\cos \angle \mathrm{AOB}$の値は$\cos \angle \mathrm{AOB}=[キ]$であり，$\cos \alpha$の値は$\cos \alpha=[ク]$である．