「角度」について
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国立 福井大学 2011年 第3問平面上に$\text{OA}=\text{OB}=1$である二等辺三角形OABがあり，線分ABを$2:1$に内分する点をC，$2:1$に外分する点をDとする．$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}},\ \overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}},\ k=\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$とおくとき，以下の問いに答えよ．
(1)内積$\overrightarrow{\mathrm{OC}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OD}}$を求めよ．
(2)$\angle \text{AOB}=\angle \text{COD}$となるときの$k$の値$k_0$を求めよ．
(3)$\angle \text{APD}=90^\circ,\ \text{OP}=1$を満たす点Pに対し，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ k$を用いて表せ．
(1)内積$\overrightarrow{\mathrm{OC}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OD}}$を求めよ．
(2)$\angle \text{AOB}=\angle \text{COD}$となるときの$k$の値$k_0$を求めよ．
(3)$\angle \text{APD}=90^\circ,\ \text{OP}=1$を満たす点Pに対し，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ k$を用いて表せ．
国立 大阪教育大学 2011年 第1問平行四辺形OABCは$\text{OA}=\text{BC}=1,\ \text{OC}=\text{AB}=r,\ \angle \text{AOC}=\theta$を満たす．ただし，$r>0$かつ$0<\theta<\pi$とする．このとき，次の問に答えよ．
(1)$\text{OB}^2+\text{AC}^2$は$\theta$の値によらず一定であることを示し，その値を$r$を用いて表せ．
(2)$\theta$が$0<\theta<\pi$の範囲を動くとき，$\text{OB}+\text{AC}$の最大値とそのときの$\theta$の値を求めよ．
(1)$\text{OB}^2+\text{AC}^2$は$\theta$の値によらず一定であることを示し，その値を$r$を用いて表せ．
(2)$\theta$が$0<\theta<\pi$の範囲を動くとき，$\text{OB}+\text{AC}$の最大値とそのときの$\theta$の値を求めよ．
国立 宮崎大学 2011年 第4問各辺の長さが1の正三角形OABがある．$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}},\ \overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}$とおき，線分ABを$1:2$に内分する点をCとする．さらに，2点P，Qは，正の実数$k,\ l$について，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=k \overrightarrow{\mathrm{OB}},\ \overrightarrow{\mathrm{OQ}}=l \overrightarrow{\mathrm{OC}}$を満たすものとする．このとき，次の各問に答えよ．
(1)3点A，P，Qが一直線上にあるとき，$k$と$l$の関係式を求めよ．
(2)3点A，P，Qが一直線上にないものとし，$\triangle$APQの重心が$\angle$AOBの二等分線上にあるとする．このとき，$k$と$l$の関係式を求めよ．
(3)(2)のもとで，$\text{AP}=\text{AQ}$となるとき，$k$の値を求めよ．
(1)3点A，P，Qが一直線上にあるとき，$k$と$l$の関係式を求めよ．
(2)3点A，P，Qが一直線上にないものとし，$\triangle$APQの重心が$\angle$AOBの二等分線上にあるとする．このとき，$k$と$l$の関係式を求めよ．
(3)(2)のもとで，$\text{AP}=\text{AQ}$となるとき，$k$の値を求めよ．
国立 宮崎大学 2011年 第2問各辺の長さが1の正三角形OABがある．$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}},\ \overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}$とおき，線分ABを$1:2$に内分する点をCとする．さらに，2点P，Qは，正の実数$k,\ l$について，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=k \overrightarrow{\mathrm{OB}},\ \overrightarrow{\mathrm{OQ}}=l \overrightarrow{\mathrm{OC}}$を満たすものとする．このとき，次の各問に答えよ．
(1)3点A，P，Qが一直線上にあるとき，$k$と$l$の関係式を求めよ．
(2)3点A，P，Qが一直線上にないものとし，$\triangle$APQの重心が$\angle$AOBの二等分線上にあるとする．このとき，$k$と$l$の関係式を求めよ．
(3)(2)のもとで，$\text{AP}=\text{AQ}$となるとき，$k$の値を求めよ．
(1)3点A，P，Qが一直線上にあるとき，$k$と$l$の関係式を求めよ．
(2)3点A，P，Qが一直線上にないものとし，$\triangle$APQの重心が$\angle$AOBの二等分線上にあるとする．このとき，$k$と$l$の関係式を求めよ．
(3)(2)のもとで，$\text{AP}=\text{AQ}$となるとき，$k$の値を求めよ．
国立 宮崎大学 2011年 第2問各辺の長さが1の正三角形OABがある．$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}},\ \overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}$とおき，線分ABを$1:2$に内分する点をCとする．さらに，2点P，Qは，正の実数$k,\ l$について，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=k \overrightarrow{\mathrm{OB}},\ \overrightarrow{\mathrm{OQ}}=l \overrightarrow{\mathrm{OC}}$を満たすものとする．このとき，次の各問に答えよ．
(1)3点A，P，Qが一直線上にあるとき，$k$と$l$の関係式を求めよ．
(2)3点A，P，Qが一直線上にないものとし，$\triangle$APQの重心が$\angle$AOBの二等分線上にあるとする．このとき，$k$と$l$の関係式を求めよ．
(3)(2)のもとで，$\text{AP}=\text{AQ}$となるとき，$k$の値を求めよ．
(1)3点A，P，Qが一直線上にあるとき，$k$と$l$の関係式を求めよ．
(2)3点A，P，Qが一直線上にないものとし，$\triangle$APQの重心が$\angle$AOBの二等分線上にあるとする．このとき，$k$と$l$の関係式を求めよ．
(3)(2)のもとで，$\text{AP}=\text{AQ}$となるとき，$k$の値を求めよ．
国立 お茶の水女子大学 2011年 第4問平面内に三角形ABCがある．その平面上で，1点Oを定めておく．次の問いに答えよ．
(1)三角形ABCの内部に点Pがあるとする．このとき，3つの三角形PBC，PCA，PABの面積の比が$x:y:z$であるならば，点Pの位置ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$は次のように表されることを示せ．
\[ \overrightarrow{\mathrm{OP}}=\frac{x \overrightarrow{\mathrm{OA}}+y \overrightarrow{\mathrm{OB}}+z \overrightarrow{\mathrm{OC}}}{x+y+z} \]
(2)三角形ABCの3辺の長さを$a=\text{BC},\ b=\text{CA},\ c=\text{AB}$とする．このとき三角形ABCの内心Iについて，その位置ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OI}}$を，$\overrightarrow{\mathrm{OA}},\ \overrightarrow{\mathrm{OB}},\ \overrightarrow{\mathrm{OC}}$と$a,\ b,\ c$を用いて表せ．
(3)三角形ABCが鋭角三角形であるとき，その外心Qの位置ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を，$\overrightarrow{\mathrm{OA}},\ \overrightarrow{\mathrm{OB}},\ \overrightarrow{\mathrm{OC}}$と$\alpha=\angle \text{CAB},\ \beta=\angle \text{ABC}$を用いて表せ．
(1)三角形ABCの内部に点Pがあるとする．このとき，3つの三角形PBC，PCA，PABの面積の比が$x:y:z$であるならば，点Pの位置ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$は次のように表されることを示せ．
\[ \overrightarrow{\mathrm{OP}}=\frac{x \overrightarrow{\mathrm{OA}}+y \overrightarrow{\mathrm{OB}}+z \overrightarrow{\mathrm{OC}}}{x+y+z} \]
(2)三角形ABCの3辺の長さを$a=\text{BC},\ b=\text{CA},\ c=\text{AB}$とする．このとき三角形ABCの内心Iについて，その位置ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OI}}$を，$\overrightarrow{\mathrm{OA}},\ \overrightarrow{\mathrm{OB}},\ \overrightarrow{\mathrm{OC}}$と$a,\ b,\ c$を用いて表せ．
(3)三角形ABCが鋭角三角形であるとき，その外心Qの位置ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を，$\overrightarrow{\mathrm{OA}},\ \overrightarrow{\mathrm{OB}},\ \overrightarrow{\mathrm{OC}}$と$\alpha=\angle \text{CAB},\ \beta=\angle \text{ABC}$を用いて表せ．
国立 室蘭工業大学 2011年 第4問平行四辺形OABCにおいて，$|\overrightarrow{\mathrm{OA}}|=|\overrightarrow{\mathrm{OC}}|=1$，かつ$\angle \text{AOC}=120^\circ$であるとする．また，$s,\ t$を実数とし，2点P，Qをそれぞれ$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=s \overrightarrow{\mathrm{OA}}+(1-s) \overrightarrow{\mathrm{OC}},\ \overrightarrow{\mathrm{OQ}}=t \overrightarrow{\mathrm{OB}}$と定める．
(1)内積$\overrightarrow{\mathrm{OP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を$t$を用いて表せ．
(2)内積$\overrightarrow{\mathrm{OP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{PQ}}$が0のとき，内積$\overrightarrow{\mathrm{OP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を$s$を用いて表せ．
(3)(2)の条件のもとで，さらに点Qが線分OB上にあるような$s$の値の範囲を求めよ．
(1)内積$\overrightarrow{\mathrm{OP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を$t$を用いて表せ．
(2)内積$\overrightarrow{\mathrm{OP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{PQ}}$が0のとき，内積$\overrightarrow{\mathrm{OP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を$s$を用いて表せ．
(3)(2)の条件のもとで，さらに点Qが線分OB上にあるような$s$の値の範囲を求めよ．
国立 高知大学 2011年 第2問$n$を2以上の自然数とする．平面上に距離が1である2点O，P$_0$がある．中心がOで半径1の円周上に点P$_k \ (k=1,\ 2,\ \cdots,\ n)$を反時計回りに$\displaystyle \angle \text{P}_k \text{OP}_0=\frac{k\pi}{n}$となるようにとる．三角形P$_k$OP$_{k-1}$の面積を$T_k$と表し，$\displaystyle S_n=\sum_{k=1}^n T_k$とおく．このとき，次の問いに答えよ．
(1)$S_2$を求めよ．
(2)$S_n$を$n$で表せ．
(3)$\displaystyle \lim_{n \to \infty}S_n$を求めよ．
(4)$e_k$を線分P$_{k-1}$P$_k$の長さとおいて，$\displaystyle E_n=\sum_{k=1}^n e_k$とする．このとき，
\[ S_n=\frac{1}{2}E_n \sin \frac{(n-1) \pi}{2n} \]
を示せ．
(5)$\displaystyle \lim_{n \to \infty}E_n$を求めよ．
(1)$S_2$を求めよ．
(2)$S_n$を$n$で表せ．
(3)$\displaystyle \lim_{n \to \infty}S_n$を求めよ．
(4)$e_k$を線分P$_{k-1}$P$_k$の長さとおいて，$\displaystyle E_n=\sum_{k=1}^n e_k$とする．このとき，
\[ S_n=\frac{1}{2}E_n \sin \frac{(n-1) \pi}{2n} \]
を示せ．
(5)$\displaystyle \lim_{n \to \infty}E_n$を求めよ．
国立 長崎大学 2011年 第3問下図の平行六面体$\mathrm{OABC}$-$\mathrm{DEFG}$を考える．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$，$\overrightarrow{\mathrm{OD}}=\overrightarrow{d}$とおき，次の問いに答えよ．
（図は省略）
(1)三角形$\mathrm{ACD}$と線分$\mathrm{OF}$との交点を$\mathrm{H}$とする．
\[ \overrightarrow{\mathrm{AH}}=r \overrightarrow{\mathrm{AC}}+s \overrightarrow{\mathrm{AD}},\quad \overrightarrow{\mathrm{OH}}=t \overrightarrow{\mathrm{OF}} \]
をみたす実数$r,\ s,\ t$を求めよ．また，$\mathrm{H}$が三角形$\mathrm{ACD}$の重心であることを示せ．
(2)$\mathrm{H}$は三角形$\mathrm{ODB}$の重心でもあることを示せ．
(3)さらに$\mathrm{OA}=\mathrm{OC},\ \angle \mathrm{AOD}=\angle \mathrm{COD}$ならば，$\overrightarrow{\mathrm{OF}} \perp \overrightarrow{\mathrm{AC}}$であることを示せ．
（図は省略）
(1)三角形$\mathrm{ACD}$と線分$\mathrm{OF}$との交点を$\mathrm{H}$とする．
\[ \overrightarrow{\mathrm{AH}}=r \overrightarrow{\mathrm{AC}}+s \overrightarrow{\mathrm{AD}},\quad \overrightarrow{\mathrm{OH}}=t \overrightarrow{\mathrm{OF}} \]
をみたす実数$r,\ s,\ t$を求めよ．また，$\mathrm{H}$が三角形$\mathrm{ACD}$の重心であることを示せ．
(2)$\mathrm{H}$は三角形$\mathrm{ODB}$の重心でもあることを示せ．
(3)さらに$\mathrm{OA}=\mathrm{OC},\ \angle \mathrm{AOD}=\angle \mathrm{COD}$ならば，$\overrightarrow{\mathrm{OF}} \perp \overrightarrow{\mathrm{AC}}$であることを示せ．
国立 宮城教育大学 2011年 第2問四面体$\mathrm{OABC}$において
\begin{align}
& \mathrm{OA}=\sqrt{2},\quad \mathrm{OB}=3,\quad \mathrm{OC}=2, \nonumber \\
& \angle \mathrm{AOB}=45^\circ,\quad \angle \mathrm{BOC}=60^\circ,\quad \angle \mathrm{COA}=45^\circ \nonumber
\end{align}
である．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とするとき，次の問いに答えよ．
(1)辺$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{D}$，辺$\mathrm{BC}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{E}$とし，線分$\mathrm{AE}$と線分$\mathrm{CD}$との交点を$\mathrm{F}$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{OF}}$を$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(2)点$\mathrm{F}$から平面$\mathrm{OBC}$におろした垂線と平面$\mathrm{OBC}$との交点を$\mathrm{H}$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$を$\overrightarrow{b}$と$\overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(3)直線$\mathrm{OH}$と辺$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{I}$とするとき，$\mathrm{BI}:\mathrm{IC}$を求めよ．
\begin{align}
& \mathrm{OA}=\sqrt{2},\quad \mathrm{OB}=3,\quad \mathrm{OC}=2, \nonumber \\
& \angle \mathrm{AOB}=45^\circ,\quad \angle \mathrm{BOC}=60^\circ,\quad \angle \mathrm{COA}=45^\circ \nonumber
\end{align}
である．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とするとき，次の問いに答えよ．
(1)辺$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{D}$，辺$\mathrm{BC}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{E}$とし，線分$\mathrm{AE}$と線分$\mathrm{CD}$との交点を$\mathrm{F}$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{OF}}$を$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(2)点$\mathrm{F}$から平面$\mathrm{OBC}$におろした垂線と平面$\mathrm{OBC}$との交点を$\mathrm{H}$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$を$\overrightarrow{b}$と$\overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(3)直線$\mathrm{OH}$と辺$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{I}$とするとき，$\mathrm{BI}:\mathrm{IC}$を求めよ．