「角度」について
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国立 岐阜大学 2011年 第4問空間内の四面体OABCについて，$\angle \text{OAC}=\angle \text{OAB}=90^\circ,\ \angle \text{BOC}=\alpha,\ \angle \text{COA}=\beta,\ \angle \text{AOB}=\gamma,\ \text{OA}=1$とする．ただし，$\alpha,\ \beta,\ \gamma$はすべて鋭角で，$\displaystyle \cos \alpha=\frac{1}{4},\ \cos \beta=\frac{1}{\sqrt{3}},\ \cos \gamma=\frac{1}{\sqrt{3}}$である．三角形ABCの外接円を$S$とし，その中心をPとする．以下の問に答えよ．
(1)辺BCの長さを求めよ．
(2)$\theta=\angle \text{BAC}$とするとき，$\cos \theta$の値を求めよ．
(3)線分OPの長さを求めよ．
(4)円$S$の周上に点Dをとり，線分ADと線分DBの長さをそれぞれ$\text{AD}=x,\ \text{DB}=y$とする．$x+y$の最大値とそれを与える$x,\ y$を求めよ．
(1)辺BCの長さを求めよ．
(2)$\theta=\angle \text{BAC}$とするとき，$\cos \theta$の値を求めよ．
(3)線分OPの長さを求めよ．
(4)円$S$の周上に点Dをとり，線分ADと線分DBの長さをそれぞれ$\text{AD}=x,\ \text{DB}=y$とする．$x+y$の最大値とそれを与える$x,\ y$を求めよ．
国立 東京学芸大学 2011年 第4問長さ2の線分ABを直径とする半円の弧AB上に点Pをとる．このとき，下の問いに答えよ．
(1)線分ABの中点をOとし，$\angle \text{POB}=\theta$とするとき，弧APと弦APで囲まれる部分の面積を$\theta$で表せ．
(2)弦APがこの半円の面積を2等分するとき，不等式$2 \koa{BP}<\koa{AP}<3 \koa{BP}$が成り立つことを示せ．ただし，$\koa{AP},\ \koa{BP}$は弧AP，弧BPの長さを表す．
(1)線分ABの中点をOとし，$\angle \text{POB}=\theta$とするとき，弧APと弦APで囲まれる部分の面積を$\theta$で表せ．
(2)弦APがこの半円の面積を2等分するとき，不等式$2 \koa{BP}<\koa{AP}<3 \koa{BP}$が成り立つことを示せ．ただし，$\koa{AP},\ \koa{BP}$は弧AP，弧BPの長さを表す．
国立 宇都宮大学 2011年 第3問$\triangle \mathrm{OAB}$において，$\angle \mathrm{AOB}=90^\circ$とする．辺$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{C}$，辺$\mathrm{OB}$の中点を$\mathrm{D}$，$\mathrm{OC}$と$\mathrm{AD}$の交点を$\mathrm{P}$，$\mathrm{O}$から辺$\mathrm{AB}$に下ろした垂線の足を$\mathrm{E}$とする．$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}},\ \overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}$とするとき，次の問いに答えよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OE}}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(3)$\mathrm{OA}<\mathrm{OB}$かつ$\mathrm{OC}=1$とする．$s=|\overrightarrow{a}|$とするとき，$\triangle \mathrm{OPE}$の面積を$s$を用いて表せ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OE}}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(3)$\mathrm{OA}<\mathrm{OB}$かつ$\mathrm{OC}=1$とする．$s=|\overrightarrow{a}|$とするとき，$\triangle \mathrm{OPE}$の面積を$s$を用いて表せ．
国立 群馬大学 2011年 第3問直線$\displaystyle \ell:y=\frac{1}{2}x-\frac{1}{4}$上の点Pから曲線$y=x^2$にひいた2接線の接点をQ，Rとし，$\theta=\angle \text{QPR}$とするとき，次の問いに答えよ．
(1)Pの$x$座標を$t$としPを$\ell$上動かす．$t \neq 0$のとき，$\tan \theta$を$t$の関数として表せ．
(2)$\theta$の最大値を求め，このときの点Pの座標を求めよ．
(1)Pの$x$座標を$t$としPを$\ell$上動かす．$t \neq 0$のとき，$\tan \theta$を$t$の関数として表せ．
(2)$\theta$の最大値を求め，このときの点Pの座標を求めよ．
国立 新潟大学 2011年 第3問$\triangle$OABにおいて，$\text{OA}=1,\ \text{OB}=\text{AB}=2$とし，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とおく．このとき，次の問いに答えよ．
(1)内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$を求めよ．
(2)$\angle \text{AOB}$の二等分線上の点Pが$\text{AP}=\text{BP}$を満たすとき，線分APの長さを求めよ．
(1)内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$を求めよ．
(2)$\angle \text{AOB}$の二等分線上の点Pが$\text{AP}=\text{BP}$を満たすとき，線分APの長さを求めよ．
国立 山形大学 2011年 第1問座標空間内に$2$点$\mathrm{A}(0,\ 2,\ 1)$，$\mathrm{B}(2,\ -1,\ 2)$があり，点$\mathrm{P}(x,\ y,\ 0)$は$\overrightarrow{\mathrm{PA}} \perp \overrightarrow{\mathrm{PB}}$を満たしながら動くものとする．このとき，次の問に答えよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{PA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{PB}}$を成分で表せ．
(2)$x$と$y$が満たすべき関係式を求めよ．
(3)$x$と$y$が$(2)$の関係式を満たすとき，$2x-3y$の値の範囲を求めよ．
(4)三角形$\mathrm{PAB}$の面積の最大値を求めよ．また，そのときの$\angle \mathrm{PAB}$の大きさを求めよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{PA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{PB}}$を成分で表せ．
(2)$x$と$y$が満たすべき関係式を求めよ．
(3)$x$と$y$が$(2)$の関係式を満たすとき，$2x-3y$の値の範囲を求めよ．
(4)三角形$\mathrm{PAB}$の面積の最大値を求めよ．また，そのときの$\angle \mathrm{PAB}$の大きさを求めよ．
国立 山形大学 2011年 第1問四角形ABCDが円に内接しており，$\angle \text{ABC}=120^\circ,\ \text{AB}=2,\ \text{BC}=\sqrt{3}-1$を満たしているとする．このとき，次の問に答えよ．ただし，$\text{CD}=a,\ \text{AD}=b$とおき，2つの対角線AC，BDの交点をOとする．
(1)対角線ACの長さと$\angle \text{ACB}$の大きさを求めよ．
(2)対角線ACとBDが直交するとき，三角形AOBと三角形DOCは合同であることを示せ．
(3)対角線ACとBDが直交するとき，$a,\ b$の値を求めよ．
(4)$b=2a$のとき，$a$の値と$\angle \text{DCA},\ \angle \text{BAD}$の大きさを求めよ．
(5)$b=2a$のとき，三角形ABDに内接する円の半径$r$の値を求めよ．
(1)対角線ACの長さと$\angle \text{ACB}$の大きさを求めよ．
(2)対角線ACとBDが直交するとき，三角形AOBと三角形DOCは合同であることを示せ．
(3)対角線ACとBDが直交するとき，$a,\ b$の値を求めよ．
(4)$b=2a$のとき，$a$の値と$\angle \text{DCA},\ \angle \text{BAD}$の大きさを求めよ．
(5)$b=2a$のとき，三角形ABDに内接する円の半径$r$の値を求めよ．
国立 山形大学 2011年 第4問座標空間内に2点A$(0,\ 2,\ 1)$，B$(2,\ -1,\ 2)$があり，点P$(x,\ y,\ 0)$は$\overrightarrow{\mathrm{PA}} \perp \overrightarrow{\mathrm{PB}}$を満たしながら動くものとする．このとき，次の問に答えよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{PA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{PB}}$を成分で表せ．
(2)$x$と$y$が満たすべき関係式を求めよ．
(3)$x$と$y$が(2)の関係式を満たすとき，$2x-3y$の値の範囲を求めよ．
(4)三角形PABの面積の最大値を求めよ．また，そのときの$\angle \text{PAB}$の大きさを求めよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{PA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{PB}}$を成分で表せ．
(2)$x$と$y$が満たすべき関係式を求めよ．
(3)$x$と$y$が(2)の関係式を満たすとき，$2x-3y$の値の範囲を求めよ．
(4)三角形PABの面積の最大値を求めよ．また，そのときの$\angle \text{PAB}$の大きさを求めよ．
国立 和歌山大学 2011年 第2問平行四辺形OABCにおいて，
\[ \overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{\mathrm{AO}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}= \overrightarrow{\mathrm{CO}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{CA}} \]
とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}},\ \overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}$とする．$|\overrightarrow{c}|$を$|\overrightarrow{a}|$を用いて表せ．また，$\angle \text{AOC}$の大きさを求めよ．
(2)辺ABを$m:(1-m)$に内分する点をD，辺CBを$m:(1-m)$に内分する点をEとする．ただし，$0<m<1$である．線分CDと線分OEが垂直であるとき，$m$の値を求めよ．
\[ \overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{\mathrm{AO}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}= \overrightarrow{\mathrm{CO}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{CA}} \]
とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}},\ \overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}$とする．$|\overrightarrow{c}|$を$|\overrightarrow{a}|$を用いて表せ．また，$\angle \text{AOC}$の大きさを求めよ．
(2)辺ABを$m:(1-m)$に内分する点をD，辺CBを$m:(1-m)$に内分する点をEとする．ただし，$0<m<1$である．線分CDと線分OEが垂直であるとき，$m$の値を求めよ．
国立 和歌山大学 2011年 第2問平行四辺形OABCにおいて，
\[ \overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{\mathrm{AO}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}= \overrightarrow{\mathrm{CO}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{CA}} \]
とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}},\ \overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}$とする．$|\overrightarrow{c}|$を$|\overrightarrow{a}|$を用いて表せ．また，$\angle \text{AOC}$の大きさを求めよ．
(2)辺ABを$m:(1-m)$に内分する点をD，辺CBを$m:(1-m)$に内分する点をEとする．ただし，$0<m<1$である．線分CDと線分OEが垂直であるとき，$m$の値を求めよ．
\[ \overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{\mathrm{AO}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}= \overrightarrow{\mathrm{CO}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{CA}} \]
とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}},\ \overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}$とする．$|\overrightarrow{c}|$を$|\overrightarrow{a}|$を用いて表せ．また，$\angle \text{AOC}$の大きさを求めよ．
(2)辺ABを$m:(1-m)$に内分する点をD，辺CBを$m:(1-m)$に内分する点をEとする．ただし，$0<m<1$である．線分CDと線分OEが垂直であるとき，$m$の値を求めよ．