$xy$平面上に相異なる4点A，B，C，Dがあり，線分ACと BDは原点Oで交わっている．点Aの座標は$(1,\ 2)$で，線分OAとODの長さは等しく，四角形ABCDは円に内接している．$\angle \text{AOD} = \theta$とおき，点Cの$x$座標を$a$，四角形ABCDの面積を$S$とする．以下の問に答えよ．

(1)線分OCの長さを$a$を用いた式で表せ．また，線分OBとOCの長さは等しいことを示せ．
(2)$S$を$a$と$\theta$を用いた式で表せ．
(3)$\displaystyle \theta = \frac{\pi}{6}$とし，$20 \leqq S \leqq 40$とするとき，$a$のとりうる値の最大値を求めよ．

$f(x) = e^{-x^2}$とする．曲線$y = f(x)$上の点A$(a,\ f(a))$における接線を$\ell$，原点$\mathrm{O}$を通り$\ell$に垂直な直線を$\ell^\prime$とし，$\ell$と$\ell^\prime$との交点を$\mathrm{P}$とする．

(1)線分$\mathrm{OP}$の長さを求めよ．
(2)$\ell$と$y$軸との交点を$\mathrm{Q}$とし，$\angle \mathrm{POQ}$を$\theta \ (0 \leqq \theta \leqq \pi)$とする．$\sin \theta$を$a$を用いて表せ．
(3)$(2)$で求めた$\sin \theta$を最大にする$a$の値と，そのときの$\sin \theta$の値を求めよ．

$\triangle$ABCにおいて，$\angle \text{A},\ \angle \text{B},\ \angle \text{C}$の大きさと対辺の長さをそれぞれ$A,\ B,\ C$および$a,\ b,\ c$で表す．次の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle \sin \frac{B}{2} = \cos \frac{A+C}{2}$および$\displaystyle \cos \frac{B}{2}= \sin \frac{A+C}{2}$が成立することを示せ．
(2)$a+c = 2b$を満たすとき，$\sin A+ \sin C = 2 \sin B$が成立することを示せ．
(3)$a+c = 2b$を満たすとき，$\displaystyle \sin A+ \sin C = 2 \sin \frac{A+C}{2} \cos \frac{A-C}{2}$を用いて$\displaystyle \tan \frac{A}{2} \tan \frac{C}{2}$の値を求めよ．

平面上で，線分ABを$1:2$に内分する点をOとし，Oを中心とする半径OBの円を$S$，円$S$と直線ABとの交点のうち点Bと異なる方をCとする．点Pは円$S$の内部にあり，線分BC上にないものとする．円$S$と直線PBとの交点のうち点Bと異なる方をQとする．$\overrightarrow{\mathrm{PA}} =\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{\mathrm{PB}} =\overrightarrow{b},\ \angle \text{APB} = \theta$とおくとき，次の問いに答えよ．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{PO}},\ \overrightarrow{\mathrm{PC}},\ \overrightarrow{\mathrm{OB}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$で表せ．
(2)点Pが円$S$の内部にあることを用いて，$\displaystyle \cos \theta < \frac{|\overrightarrow{b}|}{4|\overrightarrow{a}|}$を証明せよ．
(3)PQの長さを$|\overrightarrow{a}|,\ |\overrightarrow{b}|,\ \theta$で表せ．
(4)$\text{PA}=3,\ \text{PB}=2$とする．$\triangle \text{QAB} = 3 \triangle \text{POB}$を満たすとき，$\triangle$PABの面積を求めよ．

行列$A=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \right)$が次の条件を満たしているものとする．
\[ A \left( \begin{array}{c}
1 \\
1
\end{array} \right) = \left( \begin{array}{c}
\sqrt{\frac{1}{2}} \\
\sqrt{\frac{3}{2}}
\end{array} \right) \quad A \left( \begin{array}{c}
-1 \\
1
\end{array} \right) = \left( \begin{array}{c}
-\sqrt{\frac{3}{2}} \\
\sqrt{\frac{1}{2}}
\end{array} \right) \]
このとき，次の問いに答えよ．

(1)$A$および$A^2$を求めよ．
(2)Oを座標平面上の原点とし，Oと異なる点P$(x_1,\ y_1)$があり，他の2点Q$(x_2,\ y_2)$，R$(x_3,\ y_3)$に対して次の関係があるとする．
\[ \left( \begin{array}{c}
x_2 \\
y_2
\end{array} \right) = A^3 \left( \begin{array}{c}
x_1 \\
y_1
\end{array} \right) \qquad \left( \begin{array}{c}
x_3 \\
y_3
\end{array} \right) = A^{-1} \left( \begin{array}{c}
x_1 \\
y_1
\end{array} \right) \]
このとき，三角形OQRが正三角形であることを証明せよ．
(3)点P，Qは(2)と同じものとする．$\angle \text{OPQ}$の大きさを求めよ．

座標平面上の原点Oを中心とする半径1の円周上に，点Pがある．ただし，Pは第1象限の点である．点Pから$x$軸に下ろした垂線と$x$軸との交点をQ，線分PQを$2:1$に内分する点をRとする．$\theta=\angle \text{QOP}$のときの$\tan \angle \text{QOR}$と$\tan \angle \text{ROP}$の値をそれぞれ$f(\theta),\ g(\theta)$とおく．以下の問いに答えよ．

(1)$f(\theta)$と$g(\theta)$を$\theta$を用いて表せ．
(2)$g(\theta)$の$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$における最大値と，そのときの$\theta$の値を求めよ．

座標平面上の点$(1,\ 0)$をAとする．原点O$(0,\ 0)$を中心とし半径が1の円周上の2点P，Qは，$\displaystyle \angle \text{AOP}=\theta,\ \angle \text{AOQ}=\theta+\frac{\pi}{3},\ 0<\theta<\frac{2\pi}{3}$を満たす．また，点Pから$x$軸に引いた垂線と$x$軸の交点をBとし，点Cを四角形BPQCが平行四辺形になるように定める．ただし，点P，Qの$y$座標は正とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)点Cの座標を$\theta$を用いて表せ．
(2)四角形BPQCの面積の最大値を求めよ．また，そのときの$\theta$の値を求めよ．

円に内接する四角形$\mathrm{ABCD}$の辺の長さを
\[ \mathrm{AB}=\sqrt{2},\quad \mathrm{BC}=4,\quad \mathrm{CD}=3\sqrt{2},\quad \mathrm{DA}=2 \]
とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)対角線$\mathrm{BD}$の長さ$l$と，内角$\angle \mathrm{DAB}$の大きさ$\alpha$を求めよ．
(2)四角形$\mathrm{ABCD}$の面積$S$を求めよ．
(3)四角形$\mathrm{ABCD}$が内接する円の半径$R$を求めよ．

三角形OABの辺ABを$5:9$に内分する点をCとする．
\[ \text{OA}=2\sqrt{2},\quad \text{OB}=6,\quad \text{OC}=3 \]
であるとき，次の問いに答えよ．

(1)$\angle \text{AOC}$の大きさを求めよ．
(2)三角形OABの面積を求めよ．

三角形OABの辺ABを$5:9$に内分する点をCとする．
\[ \text{OA}=2\sqrt{2},\quad \text{OB}=6,\quad \text{OC}=3 \]
であるとき，次の問いに答えよ．

(1)$\angle \text{AOC}$の大きさを求めよ．
(2)三角形OABの面積を求めよ．