座標空間における点$\mathrm{O}(0,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{A}(2 \sqrt{2},\ 0,\ 0)$，$\mathrm{B}(2 \sqrt{2},\ 1,\ 0)$，$\mathrm{C}(0,\ 1,\ 0)$，$\mathrm{D}(0,\ 0,\ 1)$，$\mathrm{E}(2 \sqrt{2},\ 0,\ 1)$，$\mathrm{F}(2 \sqrt{2},\ 1,\ 1)$，$\mathrm{G}(0,\ 1,\ 1)$を頂点とする直方体$\mathrm{OABC}$-$\mathrm{DEFG}$について，直線$\mathrm{FG}$上の点を$\mathrm{P}$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)点$\mathrm{P}$が線分$\mathrm{FG}$の中点であるとき，$\angle \mathrm{OPA}$を求めよ．
(2)点$\mathrm{G}$と点$\mathrm{A}$を通る直線$\ell$と原点$\mathrm{O}$との距離$d$を求めよ．
(3)点$\mathrm{O}$と点$\mathrm{P}$を通る直線$m$と$xy$平面のなす角を$\theta$とするとき，$\theta=15^\circ$，$\theta=30^\circ$を満たす点$\mathrm{P}$の座標をそれぞれ求めよ．

以下の問いに答えよ．

(1)$a$を正の定数として，関数$f(x)$を$f(x)=\log (\sqrt{a^2+x^2}-x)$とおく．$f(x)$を微分して，多項式
\[ f(0)+f^\prime(0)x+\frac{f^{\prime\prime}(0)}{2!}x^2+\frac{f^{\prime\prime\prime}(0)}{3!}x^3 \]
を求めよ．
(2)座標平面において，曲線$\displaystyle C:y=\sin x \left( 0<x<\frac{\pi}{2} \right)$上の点$\mathrm{P}(a,\ \sin a)$における$C$の法線が$x$軸と交わる点を$\mathrm{Q}$とする．線分$\mathrm{PQ}$を直径とする円が，$x$軸と交わる$\mathrm{Q}$以外の点を$\mathrm{R}$とする．このとき，三角形$\mathrm{PQR}$の面積$S(a)$を求めよ．次に，$a$が動くとき，$S(a)$の最大値を求めよ．
（図は省略）
(3)数列$\{a_n\}$
\[ 1,\ \frac{1}{2},\ \frac{2}{1},\ \frac{1}{3},\ \frac{2}{2},\ \frac{3}{1},\ \frac{1}{4},\ \frac{2}{3},\ \frac{3}{2},\ \frac{4}{1},\ \cdots \]
を次のような群に分け，第$m$群には$m$個の数が入るようにする．
$\displaystyle \sitabrace{\frac{1}{1}}_{第1群} \ \bigg| \ \sitabrace{\frac{1}{2},\ \frac{2}{1}}_{第2群} \ \bigg| \ \sitabrace{\frac{1}{3},\ \frac{2}{2},\ \frac{3}{1}}_{第3群} \ \bigg| \ \sitabrace{\frac{1}{4},\ \frac{2}{3},\ \frac{3}{2},\ \frac{4}{1}}_{第4群} \ \bigg| \ ,\ \cdots ,\ $

$\displaystyle \bigg| \ \sitabrace{\frac{1}{m},\ \frac{2}{m-1},\ \cdots ,\ \frac{m-1}{2},\ \frac{m}{1}}_{第m群} \ \bigg| \ ,\ \cdots$
このとき，数列$\{a_n\}$において，$\displaystyle \frac{q}{p}$は第何項か．ただし，$\displaystyle \frac{q}{p}$は，例えば$\displaystyle \frac{2}{4}=\frac{1}{2}$のように，約分しないものとする．次に，第$100$項$a_{100}$を求めよ．
(4)$2$次の正方行列$A$が
\[ A \left( \begin{array}{c}
3 \\
2
\end{array} \right)=\left( \begin{array}{c}
1 \\
1
\end{array} \right),\quad A \left( \begin{array}{c}
1 \\
1
\end{array} \right)=\left( \begin{array}{c}
3 \\
2
\end{array} \right) \]
をみたすとする．このとき，自然数$n$に対して$A^n \left( \begin{array}{c}
5 \\
3
\end{array} \right)$を求めよ．
(5)$\mathrm{AB}=\mathrm{AC}$，$\mathrm{BC}$の長さが$1$，$\angle \mathrm{A}$が$\displaystyle \frac{\pi}{5}$の二等辺三角形$\mathrm{ABC}$を考える．頂点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$から$\angle \mathrm{A}$，$\angle \mathrm{B}$，$\angle \mathrm{C}$の二等分線を引き，対応する辺との交点を，それぞれ$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$とする．このとき，三角関数の値
\[ \sin \left( \frac{\pi}{10} \right) \]
を求めよ．
（図は省略）

以下の各問いに答えよ．

(1)行列$A=\left( \begin{array}{cc}
-1 & 2 \\
-6 & 6
\end{array} \right)$，$B=\left( \begin{array}{cc}
2 & 0 \\
0 & 3
\end{array} \right)$について，$AX=XB$，$X^{-1}=X$を満たす行列$X$をすべて求めよ．
(2)$\mathrm{OC}$と$\mathrm{AB}$が平行である台形$\mathrm{OABC}$があって，$\mathrm{OA}=\mathrm{OC}=\mathrm{BC}=1$，$\mathrm{AB}=\mathrm{AC}$，$\displaystyle \angle \mathrm{AOC}>\frac{\pi}{2}$を満たしているものとする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$，$\angle \mathrm{AOC}=\theta$として，以下の問いに答えよ．

(i) $\cos \theta$の値を求めよ．また，$\overrightarrow{\mathrm{BC}}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(ii) 点$\mathrm{B}$から対角線$\mathrm{AC}$に垂線を下ろし，垂線と$\mathrm{AC}$との交点を$\mathrm{H}$とする．$\displaystyle \frac{\mathrm{CH}}{\mathrm{AH}}$を求めよ．

平面上で四角形$\mathrm{ABCD}$は円に内接し，$\mathrm{AB}=2 \sqrt{6}$，$\mathrm{AC}=\sqrt{6}(\sqrt{3}+1)$，$\mathrm{AD}=\sqrt{6}(\sqrt{3}-1)$，$\angle \mathrm{ADB}={45}^\circ$であるとする．以下の問いに答えよ．

(1)$\mathrm{BD}$を求めよ．
(2)$\mathrm{BC}$を求めよ．
(3)$\angle \mathrm{BCD}$を求めよ．
(4)$\mathrm{AC}$と$\mathrm{BD}$の交点を$\mathrm{E}$とするとき$\mathrm{BE}$を求めよ．

点Oを中心とする半径$r$の円周上に，2点A，Bを$\angle \text{AOB} < \displaystyle\frac{\pi}{2}$となるようにとり$\theta = \angle \text{AOB}$とおく．この円周上に点Cを，線分OCが線分ABと交わるようにとり，線分AB上に点Dをとる．また，点Pは線分OA上を，点Qは線分OB上を，それぞれ動くとする．

(1)$\text{CP}+\text{PQ}+\text{QC}$の最小値を$r$と$\theta$で表せ．
(2)$a=\text{OD}$とおく．$\text{DP}+\text{PQ}+\text{QD}$の最小値を$a$と$\theta$で表せ．
(3)さらに，点Dが線分AB上を動くときの$\text{DP}+\text{PQ}+\text{QD}$の最小値を$r$と$\theta$で表せ．

次の各問に答えよ．

(1)辺$\mathrm{AB}$，辺$\mathrm{BC}$，辺$\mathrm{CA}$の長さがそれぞれ$12$，$11$，$10$の三角形$\mathrm{ABC}$を考える．$\angle \mathrm{A}$の$2$等分線と辺$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{D}$とするとき，線分$\mathrm{AD}$の長さを求めよ．
(2)箱の中に，$1$から$9$までの番号を$1$つずつ書いた$9$枚のカードが入っている．ただし，異なるカードには異なる番号が書かれているものとする．この箱から$2$枚のカードを同時に選び，小さいほうの数を$X$とする．これらのカードを箱に戻して，再び$2$枚のカードを同時に選び，小さいほうの数を$Y$とする．$X=Y$である確率を求めよ．

三角形$\mathrm{ABC}$の面積は$\displaystyle \frac{3+\sqrt{3}}{4}$，外接円の半径は$1$，$\angle \mathrm{BAC} = 60^\circ,\ \mathrm{AB} > \mathrm{AC}$である．このとき，三角形$\mathrm{ABC}$の各辺の長さを求めよ．

$\triangle$ABCにおいて，$\angle \text{A},\ \angle \text{B},\ \angle \text{C}$の大きさと対辺の長さをそれぞれ$A,\ B,\ C$および$a,\ b,\ c$で表す．次の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle \sin \frac{B}{2} = \cos \frac{A+C}{2}$および$\displaystyle \cos \frac{B}{2}= \sin \frac{A+C}{2}$が成立することを示せ．
(2)$a+c = 2b$を満たすとき，$\sin A+ \sin C = 2 \sin B$が成立することを示せ．
(3)$a+c = 2b$を満たすとき，$\displaystyle \sin A+ \sin C = 2 \sin \frac{A+C}{2} \cos \frac{A-C}{2}$を用いて$\displaystyle \tan \frac{A}{2} \tan \frac{C}{2}$の値を求めよ．

$\triangle$ABCにおいて，$\angle \text{A},\ \angle \text{B},\ \angle \text{C}$の大きさと対辺の長さをそれぞれ$A,\ B,\ C$および$a,\ b,\ c$で表す．次の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle \sin \frac{B}{2} = \cos \frac{A+C}{2}$および$\displaystyle \cos \frac{B}{2}= \sin \frac{A+C}{2}$が成立することを示せ．
(2)$a+c = 2b$を満たすとき，$\sin A+ \sin C = 2 \sin B$が成立することを示せ．
(3)$a+c = 2b$を満たすとき，$\displaystyle \sin A+ \sin C = 2 \sin \frac{A+C}{2} \cos \frac{A-C}{2}$を用いて$\displaystyle \tan \frac{A}{2} \tan \frac{C}{2}$の値を求めよ．

座標空間内で4点O$(0,\ 0,\ 0),\ \text{A}(1,\ 0,\ 0),\ \text{B}(0,\ 1,\ 0),\ \text{C}(0,\ 0,\ 1)$を頂点とする四面体OABCを考える．線分ABを$m:(1-m)$に内分する点をP，線分OPを$s:(1-s)$に内分する点をQ，線分CPを$u:(1-u)$に内分する点をRとする．また，線分ABの中点をHとし，点Rを通り線分OPに垂直に交わる直線と線分OPとの交点をIとする．$\angle \text{OQC}$と$\angle \text{IQR}$が等しいとき，次の問いに答えよ．

(1)点Rの座標を$m,\ u$を用いて表せ．
(2)$s$を$u$を用いて表せ．
(3)$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{HR}}=a\frac{\overrightarrow{\mathrm{AB}}}{|\overrightarrow{\mathrm{AB}}|}+b \frac{\overrightarrow{\mathrm{HC}}}{|\overrightarrow{\mathrm{HC}}|}$と表すとき，この$a,\ b$を用いて$s,\ m$を表せ．