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私立 成城大学 2012年 第2問$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\angle \mathrm{A}$，$\angle \mathrm{B}$，$\angle \mathrm{C}$の大きさをそれぞれ$A$，$B$，$C$で表し，それぞれの対辺の長さを$a,\ b,\ c$で表す．
(1)$\displaystyle \frac{a+b}{c}=\frac{\sin A+\sin B}{\sin C}$を示せ．
(2)$\displaystyle (a+b) \sin \frac{C}{2}=c \cos \left( \frac{A-B}{2} \right)$を示せ．
(1)$\displaystyle \frac{a+b}{c}=\frac{\sin A+\sin B}{\sin C}$を示せ．
(2)$\displaystyle (a+b) \sin \frac{C}{2}=c \cos \left( \frac{A-B}{2} \right)$を示せ．
私立 東京理科大学 2012年 第1問次の問いに答えよ．
(1)$a,\ b,\ c$を整数とするとき，以下の問いに答えなさい．
(i) $a+b+c=10,\ a \geqq 1,\ b \geqq 1,\ c \geqq 1$を満たす整数解$a,\ b,\ c$の組の総数は$[ア][イ]$である．
(ii) $a+b+c \leqq 10,\ a \geqq 1,\ b \geqq 1,\ c \geqq 1$を満たす整数解$a,\ b,\ c$の組の総数は$[ウ][エ][オ]$である．
(iii) $a+b+c \leqq 10,\ 7 \geqq a \geqq 1,\ 7 \geqq b \geqq 1,\ 7 \geqq c \geqq 1$を満たす整数解$a,\ b,\ c$の組の総数は$[カ][キ][ク]$である．
(2)$\angle \mathrm{B}=2 \angle \mathrm{A}$を満たす$\triangle \mathrm{ABC}$について，以下の問いに答えなさい．
(i) 式$\displaystyle \frac{\sin B+\sin C}{\sin A}$がとりうる値の範囲は
\[ [ア]<\frac{\sin B+\sin C}{\sin A}<[イ] \]
である．
(ii) $\mathrm{AB}=2$，$\mathrm{AC}=3$のとき，
\[ \cos A=\frac{[ウ]+\sqrt{[エ][オ]}}{[カ]} \]
であり，
\[ \mathrm{BC}=-[キ]+\sqrt{[ク][ケ]} \]
である．
(3)座標平面上に，点$\mathrm{A}(0,\ 2)$，$\mathrm{B}(4,\ 0)$および放物線$C:y=-x^2+mx+1$（ただし，$m$は実数の定数）がある．$2$点$\mathrm{A}(0,\ 2)$，$\mathrm{B}(4,\ 0)$を通る直線を$\ell$とする．
(i) 放物線$C$と直線$\ell$が$2$個の異なる共有点をもつのは，
\[ m<-\frac{[ア]}{[イ]},\quad m>\frac{[ウ]}{[エ]} \]
のときである．
以下，放物線$C$と直線$\ell$が$2$個の異なる共有点をもつ場合について考え，この$2$個の共有点を$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$とする．
(ii) 点$\mathrm{P}$と点$\mathrm{Q}$のすくなくとも一方が線分$\mathrm{AB}$（端点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を含む）上にあるのは
\[ m>\frac{[オ]}{[カ]} \]
のときである．
(iii) 点$\mathrm{P}$と点$\mathrm{Q}$がともに，線分$\mathrm{AB}$（端点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を含む）上にあるのは
\[ \frac{[キ]}{[ク]}<m \leqq \frac{[ケ][コ]}{[サ]} \]
のときである．また，$m$がこの範囲内で動くとき，線分$\mathrm{PQ}$の長さは，
$\displaystyle m=\frac{[シ][ス]}{[セ]}$で最大値$\displaystyle \frac{[ソ][タ]}{[チ]} \times \sqrt{[ツ]}$をとる．
(1)$a,\ b,\ c$を整数とするとき，以下の問いに答えなさい．
(i) $a+b+c=10,\ a \geqq 1,\ b \geqq 1,\ c \geqq 1$を満たす整数解$a,\ b,\ c$の組の総数は$[ア][イ]$である．
(ii) $a+b+c \leqq 10,\ a \geqq 1,\ b \geqq 1,\ c \geqq 1$を満たす整数解$a,\ b,\ c$の組の総数は$[ウ][エ][オ]$である．
(iii) $a+b+c \leqq 10,\ 7 \geqq a \geqq 1,\ 7 \geqq b \geqq 1,\ 7 \geqq c \geqq 1$を満たす整数解$a,\ b,\ c$の組の総数は$[カ][キ][ク]$である．
(2)$\angle \mathrm{B}=2 \angle \mathrm{A}$を満たす$\triangle \mathrm{ABC}$について，以下の問いに答えなさい．
(i) 式$\displaystyle \frac{\sin B+\sin C}{\sin A}$がとりうる値の範囲は
\[ [ア]<\frac{\sin B+\sin C}{\sin A}<[イ] \]
である．
(ii) $\mathrm{AB}=2$，$\mathrm{AC}=3$のとき，
\[ \cos A=\frac{[ウ]+\sqrt{[エ][オ]}}{[カ]} \]
であり，
\[ \mathrm{BC}=-[キ]+\sqrt{[ク][ケ]} \]
である．
(3)座標平面上に，点$\mathrm{A}(0,\ 2)$，$\mathrm{B}(4,\ 0)$および放物線$C:y=-x^2+mx+1$（ただし，$m$は実数の定数）がある．$2$点$\mathrm{A}(0,\ 2)$，$\mathrm{B}(4,\ 0)$を通る直線を$\ell$とする．
(i) 放物線$C$と直線$\ell$が$2$個の異なる共有点をもつのは，
\[ m<-\frac{[ア]}{[イ]},\quad m>\frac{[ウ]}{[エ]} \]
のときである．
以下，放物線$C$と直線$\ell$が$2$個の異なる共有点をもつ場合について考え，この$2$個の共有点を$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$とする．
(ii) 点$\mathrm{P}$と点$\mathrm{Q}$のすくなくとも一方が線分$\mathrm{AB}$（端点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を含む）上にあるのは
\[ m>\frac{[オ]}{[カ]} \]
のときである．
(iii) 点$\mathrm{P}$と点$\mathrm{Q}$がともに，線分$\mathrm{AB}$（端点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を含む）上にあるのは
\[ \frac{[キ]}{[ク]}<m \leqq \frac{[ケ][コ]}{[サ]} \]
のときである．また，$m$がこの範囲内で動くとき，線分$\mathrm{PQ}$の長さは，
$\displaystyle m=\frac{[シ][ス]}{[セ]}$で最大値$\displaystyle \frac{[ソ][タ]}{[チ]} \times \sqrt{[ツ]}$をとる．
私立 川崎医療福祉大学 2012年 第3問台形$\mathrm{ABCD}$において，辺$\mathrm{BC}$と辺$\mathrm{DA}$が平行であり，$2$つの対角線$\mathrm{AC}$と$\mathrm{BD}$の交点を$\mathrm{E}$とする．
\[ \mathrm{BC}=3,\quad \mathrm{DA}=\sqrt{2},\quad \mathrm{BE}=1,\quad \cos \angle \mathrm{ADB}=\frac{3}{5} \]
とする．
(1)$\displaystyle \mathrm{DE}=\frac{[$24$]}{[$25$]}$，$\displaystyle \mathrm{AE}=\frac{[$26$]}{[$27$]}$，$\displaystyle \mathrm{CE}=\frac{[$28$]}{[$29$]}$である．
(2)三角形$\mathrm{ABE}$の面積は$\displaystyle \frac{[$30$]}{[$31$]}$であり，三角形$\mathrm{CDE}$の面積は$\displaystyle \frac{[$32$]}{[$33$]}$である．
(3)$\displaystyle \sin \angle \mathrm{AEB}=\frac{[$34$]}{[$35$]}$，$\displaystyle \sin \angle \mathrm{DAC}=\frac{[$36$]}{[$37$]}$である．
\[ \mathrm{BC}=3,\quad \mathrm{DA}=\sqrt{2},\quad \mathrm{BE}=1,\quad \cos \angle \mathrm{ADB}=\frac{3}{5} \]
とする．
(1)$\displaystyle \mathrm{DE}=\frac{[$24$]}{[$25$]}$，$\displaystyle \mathrm{AE}=\frac{[$26$]}{[$27$]}$，$\displaystyle \mathrm{CE}=\frac{[$28$]}{[$29$]}$である．
(2)三角形$\mathrm{ABE}$の面積は$\displaystyle \frac{[$30$]}{[$31$]}$であり，三角形$\mathrm{CDE}$の面積は$\displaystyle \frac{[$32$]}{[$33$]}$である．
(3)$\displaystyle \sin \angle \mathrm{AEB}=\frac{[$34$]}{[$35$]}$，$\displaystyle \sin \angle \mathrm{DAC}=\frac{[$36$]}{[$37$]}$である．
私立 慶應義塾大学 2012年 第4問以下の問の$[$64$]$～$[$73$]$に当てはまる適切な数値またはマイナス符号（$-$）をマークしなさい．
$xy$平面上に原点$\mathrm{O}(0,\ 0)$を中心とする円$C$と，$2$つの直線$\ell_1$，$\ell_2$がある．ただし，$a>1$とする．
円$C$ \quad\!\! ：$x^2+y^2=1$
直線$\ell_1$：$\displaystyle x+\sqrt{2}y=\frac{\sqrt{3}}{a}$
直線$\ell_2$：$\displaystyle x+\sqrt{2}y=a \sqrt{3}$
円$C$と直線$\ell_1$は異なる$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$で交わり，それぞれの$x$座標を$x_\mathrm{A}$，$x_\mathrm{B}$とおくと，$x_\mathrm{A}<x_\mathrm{B}$である．また，直線$\ell_2$上に，$x$座標および$y$座標が共に正であるような点$\mathrm{P}$をとる．三角形$\mathrm{APB}$において，$\angle \mathrm{APB}=\theta$とすると，$\displaystyle \cos \theta=\frac{1}{a} \sqrt{a^2-1}$であり，四角形$\mathrm{OAPB}$の面積は$2 \sqrt{6}$である．
(1)線分$\mathrm{AB}$の長さは$\displaystyle \frac{[$64$] \sqrt{[$65$]}}{[$66$]}$である．
(2)$\angle \mathrm{OBP}=\frac{[$67$]}{[$68$]} \pi+\frac{[$69$]}{[$70$]} \theta$である．
(3)三角形$\mathrm{OBP}$の面積は$\displaystyle \frac{[$71$] \sqrt{[$72$]}}{[$73$]}$である．
$xy$平面上に原点$\mathrm{O}(0,\ 0)$を中心とする円$C$と，$2$つの直線$\ell_1$，$\ell_2$がある．ただし，$a>1$とする．
円$C$ \quad\!\! ：$x^2+y^2=1$
直線$\ell_1$：$\displaystyle x+\sqrt{2}y=\frac{\sqrt{3}}{a}$
直線$\ell_2$：$\displaystyle x+\sqrt{2}y=a \sqrt{3}$
円$C$と直線$\ell_1$は異なる$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$で交わり，それぞれの$x$座標を$x_\mathrm{A}$，$x_\mathrm{B}$とおくと，$x_\mathrm{A}<x_\mathrm{B}$である．また，直線$\ell_2$上に，$x$座標および$y$座標が共に正であるような点$\mathrm{P}$をとる．三角形$\mathrm{APB}$において，$\angle \mathrm{APB}=\theta$とすると，$\displaystyle \cos \theta=\frac{1}{a} \sqrt{a^2-1}$であり，四角形$\mathrm{OAPB}$の面積は$2 \sqrt{6}$である．
(1)線分$\mathrm{AB}$の長さは$\displaystyle \frac{[$64$] \sqrt{[$65$]}}{[$66$]}$である．
(2)$\angle \mathrm{OBP}=\frac{[$67$]}{[$68$]} \pi+\frac{[$69$]}{[$70$]} \theta$である．
(3)三角形$\mathrm{OBP}$の面積は$\displaystyle \frac{[$71$] \sqrt{[$72$]}}{[$73$]}$である．
私立 安田女子大学 2012年 第2問$\triangle \mathrm{ABC}$の辺$\mathrm{AB}$の長さを$x$，辺$\mathrm{BC}$の長さを$3$，辺$\mathrm{CA}$の長さを$4$とする．また，$\angle \mathrm{BCA}$を$\theta$とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)$x$を$\theta$を用いて表せ．
(2)$0^\circ<\theta<{180}^\circ$であることを用いて，$x$のとり得る値の範囲を求めよ．
(3)$\triangle \mathrm{ABC}$に外接する円の直径が$5$であるとき，$\cos \theta$の値を求めよ．
(1)$x$を$\theta$を用いて表せ．
(2)$0^\circ<\theta<{180}^\circ$であることを用いて，$x$のとり得る値の範囲を求めよ．
(3)$\triangle \mathrm{ABC}$に外接する円の直径が$5$であるとき，$\cos \theta$の値を求めよ．
私立 安田女子大学 2012年 第1問次の問いに答えよ．
(1)$\sqrt{5}$の小数部分を$a$とするとき，$\displaystyle a+\frac{1}{a}$の値を求めよ．
(2)$4<\sqrt{2x^2}<7$を満たす整数$x$をすべて求めよ．
(3)正三角形$\mathrm{ABC}$において$\angle \mathrm{ABC}=\theta$とするとき，$\sin \theta+\cos \theta+\tan \theta$の値を求めよ．
(4)対角線の差が$4 \, \mathrm{cm}$で，面積が$96 \, \mathrm{cm}^2$のひし形がある．このひし形の$1$辺の長さを求めよ．
(5)$5^{4 \log_5 2}$の値を求めよ．
(1)$\sqrt{5}$の小数部分を$a$とするとき，$\displaystyle a+\frac{1}{a}$の値を求めよ．
(2)$4<\sqrt{2x^2}<7$を満たす整数$x$をすべて求めよ．
(3)正三角形$\mathrm{ABC}$において$\angle \mathrm{ABC}=\theta$とするとき，$\sin \theta+\cos \theta+\tan \theta$の値を求めよ．
(4)対角線の差が$4 \, \mathrm{cm}$で，面積が$96 \, \mathrm{cm}^2$のひし形がある．このひし形の$1$辺の長さを求めよ．
(5)$5^{4 \log_5 2}$の値を求めよ．
私立 安田女子大学 2012年 第1問次の問いに答えよ．
(1)$\sqrt{5}$の小数部分を$a$とするとき，$\displaystyle a+\frac{1}{a}$の値を求めよ．
(2)$4<\sqrt{2x^2}<7$を満たす整数$x$をすべて求めよ．
(3)正三角形$\mathrm{ABC}$において$\angle \mathrm{ABC}=\theta$とするとき，$\sin \theta+\cos \theta+\tan \theta$の値を求めよ．
(4)対角線の差が$4 \, \mathrm{cm}$で，面積が$96 \, \mathrm{cm}^2$のひし形がある．このひし形の$1$辺の長さを求めよ．
(1)$\sqrt{5}$の小数部分を$a$とするとき，$\displaystyle a+\frac{1}{a}$の値を求めよ．
(2)$4<\sqrt{2x^2}<7$を満たす整数$x$をすべて求めよ．
(3)正三角形$\mathrm{ABC}$において$\angle \mathrm{ABC}=\theta$とするとき，$\sin \theta+\cos \theta+\tan \theta$の値を求めよ．
(4)対角線の差が$4 \, \mathrm{cm}$で，面積が$96 \, \mathrm{cm}^2$のひし形がある．このひし形の$1$辺の長さを求めよ．
私立 安田女子大学 2012年 第4問座標平面上の直線$y=2x+1$を直線$\ell$とし，直線$\ell$と$y$軸の交点を$\mathrm{A}$とする．第$1$象限内における直線$\ell$上の任意の点を中心とし$\mathrm{A}$を通る円$\mathrm{O}$を考える．直線$\ell$と円$\mathrm{O}$の交点のうち，$\mathrm{A}$と異なるもう一方の交点を$\mathrm{B}$とする．また，$\mathrm{A}$を通り$x$軸に平行な直線と円$\mathrm{O}$の交点のうち，$\mathrm{A}$と異なる交点を$\mathrm{C}$とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)$\sin \angle \mathrm{BAC}$の値を求めよ．
(2)直線$\mathrm{BC}$は$y$軸に平行であることを証明せよ．
(3)円$\mathrm{O}$が$x$軸と接するとき，接点の$x$座標を求めよ．
(1)$\sin \angle \mathrm{BAC}$の値を求めよ．
(2)直線$\mathrm{BC}$は$y$軸に平行であることを証明せよ．
(3)円$\mathrm{O}$が$x$軸と接するとき，接点の$x$座標を求めよ．
私立 安田女子大学 2012年 第1問次の問いに答えよ．
(1)$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}+\frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{5}}+\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{6}}$を計算せよ．
(2)$x^3-x^2-4x+4$を因数分解せよ．
(3)$0^\circ<\theta<{60}^\circ$のとき，$\cos ({180}^\circ-\theta)$の値の範囲を求めよ．
(4)$\mathrm{BC}=3$，$\angle B={135}^\circ$である$\mathrm{ABC}$において，外接円の半径が$3$のとき，$\angle A$の大きさを求めよ．
(1)$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}+\frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{5}}+\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{6}}$を計算せよ．
(2)$x^3-x^2-4x+4$を因数分解せよ．
(3)$0^\circ<\theta<{60}^\circ$のとき，$\cos ({180}^\circ-\theta)$の値の範囲を求めよ．
(4)$\mathrm{BC}=3$，$\angle B={135}^\circ$である$\mathrm{ABC}$において，外接円の半径が$3$のとき，$\angle A$の大きさを求めよ．
私立 安田女子大学 2012年 第3問直角三角形$\mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=\sqrt{3}$，$\mathrm{BC}=1$，$\mathrm{CA}=2$である．図のように，$\triangle \mathrm{ABC}$の外接円上の点$\mathrm{B}$における接線上に$\mathrm{BD}=2 \sqrt{3}$となるように点$\mathrm{D}$をとる．このとき，次の問いに答えよ．
（図は省略）
(1)$\cos \angle \mathrm{CBD}$を求めよ．
(2)線分$\mathrm{CD}$の長さを求めよ．
(3)線分$\mathrm{CD}$の$\mathrm{C}$を越える延長と$\triangle \mathrm{ABC}$の外接円との交点のうち，点$\mathrm{C}$と異なる点を$\mathrm{E}$とするとき，$\triangle \mathrm{BDE}$の面積を求めよ．
（図は省略）
(1)$\cos \angle \mathrm{CBD}$を求めよ．
(2)線分$\mathrm{CD}$の長さを求めよ．
(3)線分$\mathrm{CD}$の$\mathrm{C}$を越える延長と$\triangle \mathrm{ABC}$の外接円との交点のうち，点$\mathrm{C}$と異なる点を$\mathrm{E}$とするとき，$\triangle \mathrm{BDE}$の面積を求めよ．