座標空間内の$3$点$\mathrm{O}(0,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{A}(2 \sqrt{2},\ -2 \sqrt{3},\ 2)$，$\mathrm{B}(\sqrt{6}-\sqrt{2},\ 3+\sqrt{3},\ \sqrt{3}-1)$について，次の問いに答えよ．

(1)$|\overrightarrow{\mathrm{OA}}|$，$|\overrightarrow{\mathrm{OB}}|$，$|\overrightarrow{\mathrm{AB}}|$および$\angle \mathrm{AOB}$を求めよ．ただし，$0 \leqq \angle \mathrm{AOB} \leqq \pi$とする．
(2)点$\mathrm{O}$を中心とし，$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を通る円の周上から$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を含む$6$点をとって正六角形を作る．このとき，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$以外の$4$頂点の座標を求めよ．
(3)この正六角形の面積$S$を求めよ．

次の設問の空欄を，あてはまる数値や記号，式などで埋めなさい．

(1)${(2x+3y)}^3+{(2x-3y)}^3$を展開すると$[$1$]$になる．
(2)$-1<a<0<b<c$とするとき，
\[ -\frac{a}{c},\ \frac{a}{c},\ \frac{1}{ac},\ -\frac{1}{ab},\ -\frac{1}{ac} \]
の$5$つの数のうち，小さい方から$2$番目の数は$[$2$]$であり$4$番目の数は$[$3$]$である．
(3)$\displaystyle \frac{\pi}{2} \leqq \theta<\frac{3\pi}{2}$のときに
\[ 2 \sin^3 \theta-\sin \theta=0 \]
の解をすべて記すと$[$4$]$である．
(4)$a,\ b$を定数とする$x$に関する$3$次方程式
\[ 2x^3+ax^2+bx-10=0 \]
の$2$つの解が$x=1,\ 2$であるとき，$a=[$5$]$，$b=[$6$]$であり，もう$1$つの解は$[$7$]$である．
(5)$\mathrm{P}$，$\mathrm{E}$，$\mathrm{N}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{I}$，$\mathrm{L}$の文字が$1$つずつ刻まれているタイルが$6$枚ある．これらを横$1$列に並べるとき，$\mathrm{P}$が$\mathrm{E}$より左で，かつ，$\mathrm{N}$が$\mathrm{E}$より右となる確率は$[$8$]$である．
(6)$a$を定数とする方程式$x^3-6x^2-a=0$の異なる実数解は，$a$の値が$[$9$]$の場合には$3$個，$[$10$]$または$[$11$]$の場合には$2$個，$[$12$]$または$[$13$]$の場合には$1$個，それぞれ存在する．
(7)$\alpha$を実数として，空間における原点$\mathrm{O}$と$2$点$\mathrm{A}(-1,\ \alpha,\ \alpha)$，$\mathrm{B}(1,\ 2,\ \alpha)$を考える．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$の内積$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}$を最小にする$\alpha$の値は$[$14$]$であり，このとき，三角形$\mathrm{OAB}$の面積は$[$15$]$である．
(8)点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円の円周上に点$\mathrm{A}$をとり，点$\mathrm{A}$における接線上に$\mathrm{AB}=2$となる点$\mathrm{B}$をとる．次に，点$\mathrm{B}$から$\mathrm{BC}=2$となるように円周上に点$\mathrm{A}$とは異なる点$\mathrm{C}$をとる．このとき，三角形$\mathrm{OAC}$の面積は$[$16$]$であり，$\sin \angle \mathrm{CAB}=[$17$]$である．
（図は省略）

$\angle \mathrm{A}={30}^\circ$，$\mathrm{AB}=\mathrm{AC}=4$をみたす$\triangle \mathrm{ABC}$において，点$\mathrm{C}$を点$\mathrm{P}_1$として，$\triangle \mathrm{P}_1 \mathrm{Q}_1 \mathrm{P}_2$が正三角形になるように，辺$\mathrm{AB}$上に点$\mathrm{Q}_1$，辺$\mathrm{AC}$上に点$\mathrm{P}_2$をとる．次に，図のように，$\triangle \mathrm{P}_2 \mathrm{Q}_2 \mathrm{P}_3$が正三角形になるように，辺$\mathrm{AB}$上に点$\mathrm{Q}_2$，辺$\mathrm{AC}$上に点$\mathrm{P}_3$をとる．以下同様にして，$\triangle \mathrm{P}_n \mathrm{Q}_n \mathrm{P}_{n+1}$が正三角形になるように，辺$\mathrm{AB}$上に点$\mathrm{Q}_n$，辺$\mathrm{AC}$上に点$\mathrm{P}_{n+1}$をとる．（$n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$）
（図は省略）

$\triangle \mathrm{P}_n \mathrm{Q}_n \mathrm{P}_{n+1}$の面積を$S_n$，$\triangle \mathrm{Q}_n \mathrm{P}_{n+1} \mathrm{Q}_{n+1}$の面積を$T_n$とする．

(1)$\mathrm{BC}$と$\mathrm{P}_1 \mathrm{P}_2$の長さを，二重根号を用いない形で求めよ．
(2)$S_1,\ T_1$の値を求めよ．
(3)$S_n$を$n$を用いて表せ．また，$\displaystyle S_n<\frac{1}{1000}$をみたす最小の$n$の値を求めよ．
(4)$T_n$を$n$を用いて表せ．また，和$\displaystyle \sum_{n=1}^5 T_n$の値を求めよ．

下の図において，次のそれぞれの値を求めよ．

(1)線分$\mathrm{AB}$の長さ．
(2)線分$\mathrm{AD}$の長さ．
(3)$\angle \mathrm{ADB}$の大きさ．

（図は省略）

図において$\mathrm{AD}=\sqrt{7}$，$\mathrm{AC}=\sqrt{3}$，$\displaystyle \mathrm{BC}=\frac{4 \sqrt{3}}{5}$，$\angle \mathrm{BCA}={60}^\circ$，$\angle \mathrm{DCA}={90}^\circ$とする．このとき$\sin \angle \mathrm{CAB}=[$1$]$であり，$\mathrm{AB}=[$2$]$である．
（図は省略）

三角形$\mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=5$，$\mathrm{BC}=\sqrt{7}$，$\mathrm{CA}=2 \sqrt{3}$のとき，$\angle \mathrm{A}=[$1$]$である．また，この三角形の面積は$[$2$]$である．

円周上に点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$があり，円周をこれらの点で区切って得られる弧$\koa{$\mathrm{BC}$}$，$\koa{$\mathrm{CD}$}$，$\koa{$\mathrm{DE}$}$，$\koa{$\mathrm{EA}$}$の長さは弧$\koa{$\mathrm{AB}$}$の長さのそれぞれ$2$倍，$3$倍，$4$倍，$5$倍となっている．円の中心を$\mathrm{O}$とするとき，$\angle \mathrm{AOB}=[$1$]$であり，$\angle \mathrm{AED}=[$2$]$である．
（図は省略）

$\mathrm{AB}=\mathrm{AC}$，$\mathrm{BC}=10$をみたす二等辺三角形$\mathrm{ABC}$の内心を$\mathrm{I}$，内接円の半径を$\sqrt{5}$とする．

(1)線分$\mathrm{BI}$の長さを求めよ．
(2)点$\mathrm{P}$を$\mathrm{BP}=\mathrm{BI}$，$\mathrm{IP}=2 \sqrt{5}$をみたすようにとる．$\cos \angle \mathrm{IBP}$の値を求めよ．
(3)辺$\mathrm{AB}$の長さを求めよ．

円$\mathrm{O}$に内接する台形$\mathrm{ABCD}$において，$\mathrm{AB}=4$，$\mathrm{CD}=2$，$\mathrm{AB}$と$\mathrm{CD}$が平行である．対角線$\mathrm{AC}$と$\mathrm{BD}$の交点を$\mathrm{E}$とし，$\angle \mathrm{ABD}={60}^\circ$である．

(1)$\triangle \mathrm{ABE}$の面積は$[ア] \sqrt{[イ]}$である．
(2)辺$\mathrm{AD}$の長さは$\mathrm{AD}=[ウ] \sqrt{[エ]}$である．
(3)台形$\mathrm{ABCD}$の高さは$[オ] \sqrt{[カ]}$である．
(4)台形$\mathrm{ABCD}$の面積は$[キ] \sqrt{[ク]}$である．

(5)円$\mathrm{O}$の半径は$\displaystyle \frac{[ケ] \sqrt{[コサ]}}{[シ]}$である．

次の問いに答えよ．

(1)$\triangle \mathrm{ABC}$の$3$辺の長さがそれぞれ
\[ \mathrm{AB}=5,\quad \mathrm{BC}=7,\quad \mathrm{AC}=4 \sqrt{2} \]
であるとする．この三角形の$\angle \mathrm{ABC}$の大きさを$B$で表すと
\[ \cos B=\frac{[ア]}{[イ]} \]
であり，$\triangle \mathrm{ABC}$の外接円の半径$R$は，
\[ R=\frac{[ウ]}{[エ]} \sqrt{[オ]} \]
である．また，$\angle \mathrm{ABC}$の$2$等分線と$\triangle \mathrm{ABC}$の外接円の交点で$\mathrm{B}$と異なる点を$\mathrm{D}$とする．このとき，
\[ \mathrm{AD}=\sqrt{[カ][キ]} \]
であり，さらに$\triangle \mathrm{ABC}$の外接円の中心を$\mathrm{O}$とすると，$\triangle \mathrm{AOD}$の面積は$[ク]$となる．
(2)赤玉$3$個，白玉$4$個，青玉$5$個が入っている袋から，玉を同時に$4$個取り出すとき，次の確率を求めよ．

(i) 取り出した玉の色がすべて青色である確率は$\displaystyle \frac{[ケ]}{[コ][サ]}$である．

(ii) 取り出した玉の色が少なくとも$2$種類である確率は，$\displaystyle \frac{[シ][ス][セ]}{165}$である．

(iii) 取り出した玉の色が$3$種類である確率は，$\displaystyle \frac{[ソ]}{[タ][チ]}$である．
\mon[$\tokeishi$] 取り出した玉に赤玉が少なくとも$2$個含まれている確率は，$\displaystyle \frac{[ツ][テ]}{[ト][ナ]}$である．

(3)関数$f_0(x),\ f_1(x),\ f_2(x)$を
\[ f_0(x)=e^{x^2},\quad f_1(x)=xe^{x^2},\quad f_2(x)=x^2e^{x^2} \]
と定める．ただし，$e$は自然対数の底であり，$e^{x^2}$は$e^{(x^2)}$を表す．
関数$f_n(x) (n=0,\ 1,\ 2)$の導関数を$g_n(x)$とすると，
\setstretch{2.0}
\[ \begin{array}{l}
g_0(x)=[ニ]xe^{x^2} \\
g_1(x)=([ヌ]x^2+[ネ])e^{x^2} \\
g_2(x)=([ノ]x^3+[ハ]x)e^{x^2}
\end{array} \]
\setstretch{1.4}
である．関数$h(x)$を
\[ h(x)=(3x^3+8x^2-15x+4)e^{x^2} \]
と定めると，座標平面で曲線$y=h(x)$は$x$軸と$3$点で交わり，その交点の$x$座標は$-[ヒ]$，$\displaystyle\frac{[フ]}{[ヘ]}$，$[ホ]$である．また，
\[ h(x)=\frac{[マ]}{[ミ]} g_2(x)+[ム]g_1(x)-[メ]g_0(x) \]
であるから，曲線$y=h(x)$と$x$軸で囲まれた図形のうち$x$軸の下にある部分の面積を$S$とすると，
\[ S=\frac{1}{[モ]} \left( [ヤ]e-[ユ][ヨ] e^{\frac{[ラ]}{[リ]}} \right) \]
となる．