「角度」について
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私立 酪農学園大学 2012年 第2問円に内接する四角形$\mathrm{ABCD}$があり，$\mathrm{AB}=3$，$\mathrm{BC}=5$，$\mathrm{CD}=7$，$\mathrm{DA}=9$，$\angle \mathrm{A}=\theta$とする．次の各問いに答えよ．
（図は省略）
(1)$\cos \theta$の値を求めよ．
(2)四角形$\mathrm{ABCD}$の面積を求めよ．
（図は省略）
(1)$\cos \theta$の値を求めよ．
(2)四角形$\mathrm{ABCD}$の面積を求めよ．
私立 北星学園大学 2012年 第2問$\triangle \mathrm{ABC}$において以下の問に答えよ．
(1)$\displaystyle \sin A=\frac{\sqrt{7}}{4}$かつ$\angle \mathrm{A}$が鋭角のとき，$\cos A$の値を求めよ．
(2)$\tan A=-5$のとき，$\cos A$の値を求めよ．
(3)$\tan A=a$のとき，$\sin A$の値を$a$を用いて表せ．
(1)$\displaystyle \sin A=\frac{\sqrt{7}}{4}$かつ$\angle \mathrm{A}$が鋭角のとき，$\cos A$の値を求めよ．
(2)$\tan A=-5$のとき，$\cos A$の値を求めよ．
(3)$\tan A=a$のとき，$\sin A$の値を$a$を用いて表せ．
私立 北星学園大学 2012年 第3問$\angle \mathrm{A}=90^\circ$，$\angle \mathrm{B}=30^\circ$，$\mathrm{AC}=2$の$\triangle \mathrm{ABC}$がある．$\mathrm{A}$から$\mathrm{BC}$へおろした垂線の足を$\mathrm{H}$とし，$\mathrm{AH}$を直径とする円の円周と辺$\mathrm{AB}$との交点を$\mathrm{D}$とする．以下の問に答えよ．
(1)円の直径を求めよ．
(2)$\mathrm{AD}$の長さを求めよ．
(1)円の直径を求めよ．
(2)$\mathrm{AD}$の長さを求めよ．
私立 中部大学 2012年 第4問$\mathrm{AB}=\mathrm{AC}$である$2$等辺三角形$\mathrm{ABC}$の内接円の半径は$1$である．次の問いに答えよ．
（図は省略）
(1)$\angle \mathrm{ABC}=\theta$とする．$\triangle \mathrm{ABC}$の面積$S$を$\theta$で表せ．
(2)$S$の最小値を求めよ．
（図は省略）
(1)$\angle \mathrm{ABC}=\theta$とする．$\triangle \mathrm{ABC}$の面積$S$を$\theta$で表せ．
(2)$S$の最小値を求めよ．
私立 青山学院大学 2012年 第1問$\mathrm{AB}=4$，$\mathrm{BC}=3$，$\mathrm{AC}=2$である$\triangle \mathrm{ABC}$について，次の問に答えよ．
(1)次の問に答えよ．
(i) $\theta=\angle \mathrm{ACB}$とするとき，$\displaystyle \cos \theta=-\frac{[ア]}{[イ]}$である．
(ii) $\triangle \mathrm{ABC}$の内接円の半径は$\displaystyle \frac{\sqrt{[ウエ]}}{[オ]}$である．
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$の内接円と辺$\mathrm{AB}$との接点を$\mathrm{P}$とする．ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{CP}}$を$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{CA}}$および$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{CB}}$を用いて表すと，
\[ \overrightarrow{\mathrm{CP}}=\frac{[カ]}{[キ]} \overrightarrow{a}+\frac{[ク]}{[ケ]} \overrightarrow{b} \]
である．
(1)次の問に答えよ．
(i) $\theta=\angle \mathrm{ACB}$とするとき，$\displaystyle \cos \theta=-\frac{[ア]}{[イ]}$である．
(ii) $\triangle \mathrm{ABC}$の内接円の半径は$\displaystyle \frac{\sqrt{[ウエ]}}{[オ]}$である．
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$の内接円と辺$\mathrm{AB}$との接点を$\mathrm{P}$とする．ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{CP}}$を$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{CA}}$および$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{CB}}$を用いて表すと，
\[ \overrightarrow{\mathrm{CP}}=\frac{[カ]}{[キ]} \overrightarrow{a}+\frac{[ク]}{[ケ]} \overrightarrow{b} \]
である．
私立 青山学院大学 2012年 第2問$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}+\mathrm{AC}=1$および$\displaystyle \angle \mathrm{ABC}=\frac{\pi}{2}$が成り立つとする．
$\mathrm{AB}=x$とすると，$x$のとり得る値の範囲は$\displaystyle [ケ]<x<\frac{[コ]}{[サ]}$であり，$\mathrm{BC}$を$x$を用いて表すと$\mathrm{BC}=\sqrt{[シ]-[ス]x}$である．このとき$\triangle \mathrm{ABC}$の面積を$f(x)$とおくと，その導関数は
\[ f^\prime(x)=\frac{1}{\sqrt{[シ]-[ス]x}} \left( \frac{[セ]}{[ソ]}-\frac{[タ]}{[チ]}x \right) \]
であるので，$\displaystyle x=\frac{[ツ]}{[テ]}$のとき$f(x)$は最大となる．このとき$\displaystyle \angle \mathrm{BCA}=\frac{[ト]}{[ナ]} \pi$である．
$\mathrm{AB}=x$とすると，$x$のとり得る値の範囲は$\displaystyle [ケ]<x<\frac{[コ]}{[サ]}$であり，$\mathrm{BC}$を$x$を用いて表すと$\mathrm{BC}=\sqrt{[シ]-[ス]x}$である．このとき$\triangle \mathrm{ABC}$の面積を$f(x)$とおくと，その導関数は
\[ f^\prime(x)=\frac{1}{\sqrt{[シ]-[ス]x}} \left( \frac{[セ]}{[ソ]}-\frac{[タ]}{[チ]}x \right) \]
であるので，$\displaystyle x=\frac{[ツ]}{[テ]}$のとき$f(x)$は最大となる．このとき$\displaystyle \angle \mathrm{BCA}=\frac{[ト]}{[ナ]} \pi$である．
私立 東北医科薬科大学 2012年 第2問$xy$平面に三角形$\mathrm{ABC}$があり，
\[ \angle \mathrm{ABC}=60^\circ,\quad \angle \mathrm{BAC}=105^\circ,\quad \mathrm{BC}=1+\sqrt{3} \]
であるという．このとき，次の問に答えなさい．
(1)$\mathrm{AB}=[アイ]+\sqrt{[ウ]}$，$\mathrm{AC}=\sqrt{[エ]}$である．
(2)三角形$\mathrm{ABC}$の面積は$\displaystyle \frac{\sqrt{[オ]}}{[カ]}$である．
(3)点$\mathrm{A}$を通り$xy$平面に垂直な直線上の点$\mathrm{D}$を$\mathrm{AD}=4$となるように$xy$平面の上方にとる．また，点$\mathrm{B}$を通り$xy$平面に垂直な直線上の点$\mathrm{E}$を$\mathrm{BE}=3$となるように$xy$平面の上方にとる．また，点$\mathrm{C}$を通り$xy$平面に垂直な直線上の点$\mathrm{F}$を$\angle \mathrm{DEF}=90^\circ$となるようにとる．このとき，$\mathrm{CF}=[キ]$で，三角形$\mathrm{DEF}$の面積を$S$とおくと$\displaystyle S^2=\frac{[クケ]}{[コ]}$である．
\[ \angle \mathrm{ABC}=60^\circ,\quad \angle \mathrm{BAC}=105^\circ,\quad \mathrm{BC}=1+\sqrt{3} \]
であるという．このとき，次の問に答えなさい．
(1)$\mathrm{AB}=[アイ]+\sqrt{[ウ]}$，$\mathrm{AC}=\sqrt{[エ]}$である．
(2)三角形$\mathrm{ABC}$の面積は$\displaystyle \frac{\sqrt{[オ]}}{[カ]}$である．
(3)点$\mathrm{A}$を通り$xy$平面に垂直な直線上の点$\mathrm{D}$を$\mathrm{AD}=4$となるように$xy$平面の上方にとる．また，点$\mathrm{B}$を通り$xy$平面に垂直な直線上の点$\mathrm{E}$を$\mathrm{BE}=3$となるように$xy$平面の上方にとる．また，点$\mathrm{C}$を通り$xy$平面に垂直な直線上の点$\mathrm{F}$を$\angle \mathrm{DEF}=90^\circ$となるようにとる．このとき，$\mathrm{CF}=[キ]$で，三角形$\mathrm{DEF}$の面積を$S$とおくと$\displaystyle S^2=\frac{[クケ]}{[コ]}$である．
私立 中部大学 2012年 第1問次の$[ア]$から$[ス]$にあてはまる数字または符号を記入せよ．
(1)$\displaystyle \frac{1}{1+\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{6}}+\frac{1}{1-\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{6}}=[ア]-\sqrt{[イ]}$
(2)赤玉$3$個，青玉$3$個，白玉$2$個がある．$1$列に並べる並べ方は$[ウ][エ][オ]$通りある．
(3)三角形$\mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=\sqrt{6}$，$\mathrm{AC}=2$，$\angle \mathrm{A}=75^\circ$である．辺$\mathrm{BC}$上に$\angle \mathrm{BAD}=30^\circ$になるように点$\mathrm{D}$をとる．このとき，$\mathrm{BC}=\sqrt{[カ]}+[キ]$であり，$\mathrm{AD}=[ク] \sqrt{[ケ]}-\sqrt{[コ]}$である．
(4)$\displaystyle \int_1^x (x-t)f(t) \, dt=x^4-2x^2+1$を満たす関数は，$f(x)=[サ][シ]x^2-[ス]$である．
(1)$\displaystyle \frac{1}{1+\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{6}}+\frac{1}{1-\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{6}}=[ア]-\sqrt{[イ]}$
(2)赤玉$3$個，青玉$3$個，白玉$2$個がある．$1$列に並べる並べ方は$[ウ][エ][オ]$通りある．
(3)三角形$\mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=\sqrt{6}$，$\mathrm{AC}=2$，$\angle \mathrm{A}=75^\circ$である．辺$\mathrm{BC}$上に$\angle \mathrm{BAD}=30^\circ$になるように点$\mathrm{D}$をとる．このとき，$\mathrm{BC}=\sqrt{[カ]}+[キ]$であり，$\mathrm{AD}=[ク] \sqrt{[ケ]}-\sqrt{[コ]}$である．
(4)$\displaystyle \int_1^x (x-t)f(t) \, dt=x^4-2x^2+1$を満たす関数は，$f(x)=[サ][シ]x^2-[ス]$である．
私立 中部大学 2012年 第2問沖合から湾に面した海岸に向かって直線的にモーターボートを走らせている．モーターボートの速度は一定で時速$36 \; \mathrm{km}$である．モーターボートの進行方向の右前方に，湾から突き出した岬があり灯台が立っている．モーターボートの進行方向から灯台に向かって測った角度が$\theta (0^\circ<\theta<45^\circ)$である地点を$\mathrm{A}$とする．
(1)$\mathrm{A}$点から$11$分$40$秒後に角度が$90^\circ-\theta$である地点$\mathrm{B}$を通過した．$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$の距離を求めよ．
(2)モーターボートがさらに進んで，角度が$90^\circ$となる地点$\mathrm{C}$に到達した．$\mathrm{A}$から$\mathrm{C}$までかかった時間は$26$分$40$秒であった．灯台と$\mathrm{C}$点までの距離を求めよ．
(3)灯台と$\mathrm{A}$点の距離を求めよ．
(1)$\mathrm{A}$点から$11$分$40$秒後に角度が$90^\circ-\theta$である地点$\mathrm{B}$を通過した．$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$の距離を求めよ．
(2)モーターボートがさらに進んで，角度が$90^\circ$となる地点$\mathrm{C}$に到達した．$\mathrm{A}$から$\mathrm{C}$までかかった時間は$26$分$40$秒であった．灯台と$\mathrm{C}$点までの距離を求めよ．
(3)灯台と$\mathrm{A}$点の距離を求めよ．
私立 広島工業大学 2012年 第1問次の問いに答えよ．
(1)$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\displaystyle \angle \mathrm{A}=\frac{\pi}{3},\ \angle \mathrm{B}=\frac{\pi}{4},\ \mathrm{AB}=6 \sqrt{2}$のとき，$\triangle \mathrm{ABC}$の外接円の半径を求めよ．
(2)空間のベクトル$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$がある．$\overrightarrow{a}=(1,\ 2,\ -3)$，$\overrightarrow{b}=(0,\ 1,\ -1)$，$|\overrightarrow{c}|=1$，$\overrightarrow{a} \perp \overrightarrow{c}$，$\overrightarrow{b} \perp \overrightarrow{c}$とするとき，$\overrightarrow{c}$を成分で表せ．
(3)数列$\{a_n\}$は初項が$8$，公差が$14$の等差数列とする．数列$\{b_n\}$は公比が正の等比数列とする．$a_1=2b_1$かつ$a_5=b_5$とするとき，$\{b_n\}$の一般項を求めよ．
(1)$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\displaystyle \angle \mathrm{A}=\frac{\pi}{3},\ \angle \mathrm{B}=\frac{\pi}{4},\ \mathrm{AB}=6 \sqrt{2}$のとき，$\triangle \mathrm{ABC}$の外接円の半径を求めよ．
(2)空間のベクトル$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$がある．$\overrightarrow{a}=(1,\ 2,\ -3)$，$\overrightarrow{b}=(0,\ 1,\ -1)$，$|\overrightarrow{c}|=1$，$\overrightarrow{a} \perp \overrightarrow{c}$，$\overrightarrow{b} \perp \overrightarrow{c}$とするとき，$\overrightarrow{c}$を成分で表せ．
(3)数列$\{a_n\}$は初項が$8$，公差が$14$の等差数列とする．数列$\{b_n\}$は公比が正の等比数列とする．$a_1=2b_1$かつ$a_5=b_5$とするとき，$\{b_n\}$の一般項を求めよ．