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私立 慶應義塾大学 2012年 第2問次の$[ ]$にあてはまる最も適当な数または式を記入しなさい．
(1)多項式$P(x)$を$x^3+1$で割ったときの余りが$2x^2+13x$であった．このとき，$P(x)$を$x+1$で割ったときの余りは$[カ]$である．また，$P(x)$を$x^2-x+1$で割ったときの余りは$[キ]$である．
(2)数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和$S_n$が，
\[ S_n=n^3+2012 \]
で与えられるとする．この数列$\{a_n\}$の初項$a_1$は$a_1=[ク]$である．また，$2$以上の自然数$n$に対して，$a_n$を$n$を用いて表すと$a_n=[ケ]$となる．
(3)$a>1$とし，三角形$\mathrm{ABC}$で$\mathrm{AB}=2$，$\mathrm{BC}=a$，$\angle \mathrm{A}=30^\circ$であるようなものについて考える．このとき$k=[コ]$として，$1<a<k$の場合はこのような三角形は$2$つ存在するが，$a \geqq k$の場合はこのような三角形は$1$つしか存在しない．また$a \geqq k$の場合，$\mathrm{AC}$の長さを$a$を用いて表すと$\mathrm{AC}=[サ]$となる．
(4)$3$個のさいころを同時に投げるとき，出る目の数の積が$3$の倍数になる確率は$[シ]$であり，出る目の数の積が$15$の倍数になる確率は$[ス]$である．
(5)実数$x,\ y$が$2$つの不等式
\[ x^2+y^2 \leqq 25,\quad x-2y \geqq 5 \]
を同時に満たすとき，$y-2x$の最大値は$[セ]$であり，最小値は$[ソ]$である．
(1)多項式$P(x)$を$x^3+1$で割ったときの余りが$2x^2+13x$であった．このとき，$P(x)$を$x+1$で割ったときの余りは$[カ]$である．また，$P(x)$を$x^2-x+1$で割ったときの余りは$[キ]$である．
(2)数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和$S_n$が，
\[ S_n=n^3+2012 \]
で与えられるとする．この数列$\{a_n\}$の初項$a_1$は$a_1=[ク]$である．また，$2$以上の自然数$n$に対して，$a_n$を$n$を用いて表すと$a_n=[ケ]$となる．
(3)$a>1$とし，三角形$\mathrm{ABC}$で$\mathrm{AB}=2$，$\mathrm{BC}=a$，$\angle \mathrm{A}=30^\circ$であるようなものについて考える．このとき$k=[コ]$として，$1<a<k$の場合はこのような三角形は$2$つ存在するが，$a \geqq k$の場合はこのような三角形は$1$つしか存在しない．また$a \geqq k$の場合，$\mathrm{AC}$の長さを$a$を用いて表すと$\mathrm{AC}=[サ]$となる．
(4)$3$個のさいころを同時に投げるとき，出る目の数の積が$3$の倍数になる確率は$[シ]$であり，出る目の数の積が$15$の倍数になる確率は$[ス]$である．
(5)実数$x,\ y$が$2$つの不等式
\[ x^2+y^2 \leqq 25,\quad x-2y \geqq 5 \]
を同時に満たすとき，$y-2x$の最大値は$[セ]$であり，最小値は$[ソ]$である．
私立 慶應義塾大学 2012年 第3問次の$[ ]$にあてはまる最も適当な数を記入しなさい．
円に内接する四角形$\mathrm{ABCD}$において，
\qquad $\mathrm{AB}=7 \sqrt{2},\quad \mathrm{BC}=8,\quad \mathrm{CD}=\sqrt{2},\quad \angle \mathrm{ABC}=45^\circ$
とする．このとき，対角線$\mathrm{AC}$の長さは$\mathrm{AC}=[タ]$なので，四角形$\mathrm{ABCD}$が内接している円の半径$R$は$R=[チ]$である．また，辺$\mathrm{AD}$の長さは$\mathrm{AD}=[ツ]$なので，四角形$\mathrm{ABCD}$の面積$S$は$S=[テ]$である．さらに，対角線$\mathrm{BD}$の長さは$\mathrm{BD}=[ト]$である．
円に内接する四角形$\mathrm{ABCD}$において，
\qquad $\mathrm{AB}=7 \sqrt{2},\quad \mathrm{BC}=8,\quad \mathrm{CD}=\sqrt{2},\quad \angle \mathrm{ABC}=45^\circ$
とする．このとき，対角線$\mathrm{AC}$の長さは$\mathrm{AC}=[タ]$なので，四角形$\mathrm{ABCD}$が内接している円の半径$R$は$R=[チ]$である．また，辺$\mathrm{AD}$の長さは$\mathrm{AD}=[ツ]$なので，四角形$\mathrm{ABCD}$の面積$S$は$S=[テ]$である．さらに，対角線$\mathrm{BD}$の長さは$\mathrm{BD}=[ト]$である．
私立 慶應義塾大学 2012年 第4問座標空間の原点を$\mathrm{O}$とし，座標空間内に$3$点$\mathrm{A}(1,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{B}(0,\ 0,\ 1)$，$\mathrm{C}(1,\ 1,\ 1)$をとる．また$0<s<1$，$0<t<1$とし，線分$\mathrm{AB}$を$s:(1-s)$に内分する点を$\mathrm{P}$，線分$\mathrm{OC}$を$t:(1-t)$に内分する点を$\mathrm{Q}$とする．以下の問いに答えなさい．
(1)$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$の座標を，それぞれ$s,\ t$を用いて表しなさい．
(2)$\displaystyle s=\frac{1}{4}$，$\displaystyle t=\frac{1}{2}$のときの$\angle \mathrm{APQ}$の大きさを$\theta$とする．このとき$\cos \theta$の値を求めなさい．ただし，$0^\circ<\theta<180^\circ$とする．
(3)線分$\mathrm{PQ}$の長さを$l$とする．このとき$s,\ t$が，それぞれ$0<s<1$，$0<t<1$の範囲を動くときの$l$の最小値を求めなさい．
(1)$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$の座標を，それぞれ$s,\ t$を用いて表しなさい．
(2)$\displaystyle s=\frac{1}{4}$，$\displaystyle t=\frac{1}{2}$のときの$\angle \mathrm{APQ}$の大きさを$\theta$とする．このとき$\cos \theta$の値を求めなさい．ただし，$0^\circ<\theta<180^\circ$とする．
(3)線分$\mathrm{PQ}$の長さを$l$とする．このとき$s,\ t$が，それぞれ$0<s<1$，$0<t<1$の範囲を動くときの$l$の最小値を求めなさい．
私立 学習院大学 2012年 第2問台形$\mathrm{ABCD}$において，$\mathrm{AD}$と$\mathrm{BC}$は平行，$\angle \mathrm{ABC}$は直角，$\mathrm{AD}=2$，$\mathrm{BC}=3$とする．点$\mathrm{P}$が辺$\mathrm{AB}$上を動くとき，ベクトル
\[ \overrightarrow{\mathrm{PC}}+4 \overrightarrow{\mathrm{PD}} \]
の長さの最小値を求めよ．また，最小値を与える$\mathrm{P}$について$\displaystyle \frac{\mathrm{AP}}{\mathrm{AB}}$を求めよ．
\[ \overrightarrow{\mathrm{PC}}+4 \overrightarrow{\mathrm{PD}} \]
の長さの最小値を求めよ．また，最小値を与える$\mathrm{P}$について$\displaystyle \frac{\mathrm{AP}}{\mathrm{AB}}$を求めよ．
私立 中央大学 2012年 第3問$h>0,\ d \geqq 0$とし，座標空間において$4$点$\mathrm{A}(0,\ 0,\ 1)$，$\mathrm{B}(0,\ 0,\ -1)$，$\mathrm{C}(h,\ 0,\ -d)$，$\mathrm{D}(0,\ h,\ d)$を頂点とする四面体を考える．さらに$\mathrm{CD}=2$とする．したがって，四面体の$6$本の辺のうち向かい合う$2$辺の長さは$3$組とも互いに等しい．つまり
\[ \mathrm{AB}=\mathrm{CD},\quad \mathrm{AC}=\mathrm{BD},\quad \mathrm{AD}=\mathrm{BC} \]
となっており，$4$つの面はすべて互いに合同である．この四面体$\mathrm{ABCD}$について以下の問いに答えよ．
(1)$h$を$d$で表し，$d$のとりうる値の範囲を求めよ．
点$\mathrm{A}$を通り平面$\mathrm{BCD}$に垂直な直線と平面$\mathrm{BCD}$の交点を$\mathrm{P}$とおく．この点$\mathrm{P}$を点$\mathrm{A}$から平面$\mathrm{BCD}$に下ろした垂線の足とよぶ．同様に，点$\mathrm{B}$から平面$\mathrm{ACD}$に下ろした垂線の足を$\mathrm{Q}$，点$\mathrm{C}$から平面$\mathrm{ABD}$へ下ろした垂線の足を$\mathrm{R}$，点$\mathrm{D}$から平面$\mathrm{ABC}$へ下ろした垂線の足を$\mathrm{S}$とおく．
(2)点$\mathrm{R}$，$\mathrm{S}$は直線$\mathrm{AB}$上にあることに注意して，$\mathrm{R}$，$\mathrm{S}$の座標を$d$で表せ．また，四面体$\mathrm{ABCD}$の対称性を考慮して，点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$の座標を$d$で表せ．さらに，計算により$\overrightarrow{\mathrm{AP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BQ}}=0$を確認せよ．
(3)辺$\mathrm{BD}$の長さのとりうる値の範囲を求めよ．
(4)平面$\mathrm{ABC}$と平面$\mathrm{ACD}$が直線$\mathrm{AC}$に沿って角度$\displaystyle \theta \left( 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2} \right)$で交わっている．$\theta$のとりうる値の範囲を求めよ．ただし$2$平面の交わる角度とは，それぞれの平面に直交する$2$直線のなす角度である．
\[ \mathrm{AB}=\mathrm{CD},\quad \mathrm{AC}=\mathrm{BD},\quad \mathrm{AD}=\mathrm{BC} \]
となっており，$4$つの面はすべて互いに合同である．この四面体$\mathrm{ABCD}$について以下の問いに答えよ．
(1)$h$を$d$で表し，$d$のとりうる値の範囲を求めよ．
点$\mathrm{A}$を通り平面$\mathrm{BCD}$に垂直な直線と平面$\mathrm{BCD}$の交点を$\mathrm{P}$とおく．この点$\mathrm{P}$を点$\mathrm{A}$から平面$\mathrm{BCD}$に下ろした垂線の足とよぶ．同様に，点$\mathrm{B}$から平面$\mathrm{ACD}$に下ろした垂線の足を$\mathrm{Q}$，点$\mathrm{C}$から平面$\mathrm{ABD}$へ下ろした垂線の足を$\mathrm{R}$，点$\mathrm{D}$から平面$\mathrm{ABC}$へ下ろした垂線の足を$\mathrm{S}$とおく．
(2)点$\mathrm{R}$，$\mathrm{S}$は直線$\mathrm{AB}$上にあることに注意して，$\mathrm{R}$，$\mathrm{S}$の座標を$d$で表せ．また，四面体$\mathrm{ABCD}$の対称性を考慮して，点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$の座標を$d$で表せ．さらに，計算により$\overrightarrow{\mathrm{AP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BQ}}=0$を確認せよ．
(3)辺$\mathrm{BD}$の長さのとりうる値の範囲を求めよ．
(4)平面$\mathrm{ABC}$と平面$\mathrm{ACD}$が直線$\mathrm{AC}$に沿って角度$\displaystyle \theta \left( 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2} \right)$で交わっている．$\theta$のとりうる値の範囲を求めよ．ただし$2$平面の交わる角度とは，それぞれの平面に直交する$2$直線のなす角度である．
私立 東京理科大学 2012年 第2問$s,\ t$を実数とし，$0<s<1$とする．座標空間内の$3$点
\[ \begin{array}{l}
\mathrm{P}((2-s)+s \cos t,\ 0,\ (2-s)+s \sin t), \\ \\
\displaystyle \mathrm{Q} \left( \frac{2-s}{\sqrt{2}}+\frac{s}{\sqrt{2}} \cos t,\ \frac{2-s}{\sqrt{2}}+\frac{s}{\sqrt{2}} \cos t,\ (2-s)+s \sin t \right), \\ \\
\mathrm{R}(0,\ 0,\ (2-s)+s \sin t)
\end{array} \]
について，次の問いに答えよ．
(1)$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$を含む平面の方程式を求めよ．
(2)$\mathrm{RP}=\mathrm{RQ}$を示せ．
点$\mathrm{Q}$は，点$\mathrm{R}$を中心とし$\mathrm{RP}$を半径とする円周上に存在する．このとき，弦$\mathrm{PQ}$に対する弧$\mathrm{PQ}$と，半径$\mathrm{RP}$および半径$\mathrm{RQ}$で囲まれる扇形を$C$とする．ただし，$C$の中心角$\angle \mathrm{PRQ}$は$\pi$以下とする．
(3)$C$の面積を$s$と$t$を用いて表せ．
(4)$t$が$\displaystyle -\frac{\pi}{2} \leqq t \leqq \frac{\pi}{2}$の範囲を動くとき，$\mathrm{R}$の$z$座標の動く範囲を$s$を用いて表せ．
(5)$t$が$\displaystyle -\frac{\pi}{2} \leqq t \leqq \frac{\pi}{2}$の範囲を動くとき，扇形$C$が通過する部分の体積$V_1$を$s$を用いて表せ．
(6)$t$が$\displaystyle \frac{\pi}{2} \leqq t \leqq \frac{3\pi}{2}$の範囲を動くとき，扇形$C$が通過する部分の体積$V_2$を$s$を用いて表せ．
(7)上の$(5)$，$(6)$の$V_1$，$V_2$に対して，$s$が$\displaystyle \frac{1}{4} \leqq s \leqq \frac{1}{2}$の範囲を動くときの$V_1-V_2$の最大値とそのときの$s$の値を求めよ．
\[ \begin{array}{l}
\mathrm{P}((2-s)+s \cos t,\ 0,\ (2-s)+s \sin t), \\ \\
\displaystyle \mathrm{Q} \left( \frac{2-s}{\sqrt{2}}+\frac{s}{\sqrt{2}} \cos t,\ \frac{2-s}{\sqrt{2}}+\frac{s}{\sqrt{2}} \cos t,\ (2-s)+s \sin t \right), \\ \\
\mathrm{R}(0,\ 0,\ (2-s)+s \sin t)
\end{array} \]
について，次の問いに答えよ．
(1)$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$を含む平面の方程式を求めよ．
(2)$\mathrm{RP}=\mathrm{RQ}$を示せ．
点$\mathrm{Q}$は，点$\mathrm{R}$を中心とし$\mathrm{RP}$を半径とする円周上に存在する．このとき，弦$\mathrm{PQ}$に対する弧$\mathrm{PQ}$と，半径$\mathrm{RP}$および半径$\mathrm{RQ}$で囲まれる扇形を$C$とする．ただし，$C$の中心角$\angle \mathrm{PRQ}$は$\pi$以下とする．
(3)$C$の面積を$s$と$t$を用いて表せ．
(4)$t$が$\displaystyle -\frac{\pi}{2} \leqq t \leqq \frac{\pi}{2}$の範囲を動くとき，$\mathrm{R}$の$z$座標の動く範囲を$s$を用いて表せ．
(5)$t$が$\displaystyle -\frac{\pi}{2} \leqq t \leqq \frac{\pi}{2}$の範囲を動くとき，扇形$C$が通過する部分の体積$V_1$を$s$を用いて表せ．
(6)$t$が$\displaystyle \frac{\pi}{2} \leqq t \leqq \frac{3\pi}{2}$の範囲を動くとき，扇形$C$が通過する部分の体積$V_2$を$s$を用いて表せ．
(7)上の$(5)$，$(6)$の$V_1$，$V_2$に対して，$s$が$\displaystyle \frac{1}{4} \leqq s \leqq \frac{1}{2}$の範囲を動くときの$V_1-V_2$の最大値とそのときの$s$の値を求めよ．
私立 金沢工業大学 2012年 第2問図において，$\triangle \mathrm{ABC}$は半径$1$の円$\mathrm{O}$に内接している．直線$\mathrm{PA}$，$\mathrm{PB}$は円$\mathrm{O}$の接線で，$\angle \mathrm{APB}=60^\circ$，$\angle \mathrm{ABC}=45^\circ$である．このとき，
（図は省略）
(1)$\angle \mathrm{BAP}=[ケコ]^\circ$である．
(2)$\angle \mathrm{BCA}=[サシ]^\circ$，$\angle \mathrm{AOB}=[スセソ]^\circ$である．
(3)$\triangle \mathrm{OAB}$の面積は$\displaystyle \frac{\sqrt{[タ]}}{[チ]}$である．
(4)$\triangle \mathrm{ABC}$の面積は$\displaystyle \frac{[ツ]+\sqrt{[テ]}}{[ト]}$である．
（図は省略）
(1)$\angle \mathrm{BAP}=[ケコ]^\circ$である．
(2)$\angle \mathrm{BCA}=[サシ]^\circ$，$\angle \mathrm{AOB}=[スセソ]^\circ$である．
(3)$\triangle \mathrm{OAB}$の面積は$\displaystyle \frac{\sqrt{[タ]}}{[チ]}$である．
(4)$\triangle \mathrm{ABC}$の面積は$\displaystyle \frac{[ツ]+\sqrt{[テ]}}{[ト]}$である．
私立 金沢工業大学 2012年 第5問四面体$\mathrm{ABCD}$において，底面の$\triangle \mathrm{BCD}$は$1$辺の長さが$2$の正三角形であり，$\angle \mathrm{BAC}=\angle \mathrm{CAD}=\angle \mathrm{DAB}=90^\circ$である．辺$\mathrm{BC}$の中点を$\mathrm{M}$とする．
(1)$\mathrm{DA}=\sqrt{[ア]}$である．
(2)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{DA}}$，$\overrightarrow{\mathrm{DB}}$，$\overrightarrow{\mathrm{DC}}$，$\overrightarrow{\mathrm{DM}}$について，$\overrightarrow{\mathrm{DA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{DB}}=\overrightarrow{\mathrm{DA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{DC}}=[イ]$であり，$\overrightarrow{\mathrm{DA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{DM}}=[ウ]$である．
(3)$\displaystyle \cos \angle \mathrm{ADM}=\frac{\sqrt{[エ]}}{[オ]}$である．
(4)$\triangle \mathrm{BCD}$を底面とする四面体$\mathrm{ABCD}$の高さは$\displaystyle \frac{\sqrt{[カ]}}{[キ]}$である．
(5)四面体$\mathrm{ABCD}$の体積は$\displaystyle \frac{\sqrt{[ク]}}{[ケ]}$である．
(1)$\mathrm{DA}=\sqrt{[ア]}$である．
(2)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{DA}}$，$\overrightarrow{\mathrm{DB}}$，$\overrightarrow{\mathrm{DC}}$，$\overrightarrow{\mathrm{DM}}$について，$\overrightarrow{\mathrm{DA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{DB}}=\overrightarrow{\mathrm{DA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{DC}}=[イ]$であり，$\overrightarrow{\mathrm{DA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{DM}}=[ウ]$である．
(3)$\displaystyle \cos \angle \mathrm{ADM}=\frac{\sqrt{[エ]}}{[オ]}$である．
(4)$\triangle \mathrm{BCD}$を底面とする四面体$\mathrm{ABCD}$の高さは$\displaystyle \frac{\sqrt{[カ]}}{[キ]}$である．
(5)四面体$\mathrm{ABCD}$の体積は$\displaystyle \frac{\sqrt{[ク]}}{[ケ]}$である．
私立 東京理科大学 2012年 第1問次の問いに答えよ．
(1)$1$枚の硬貨をくり返し投げるゲームを行う．このゲームを，表がちょうど$4$回出たところ，または，裏がちょうど$4$回出たところで終了することにする．ただし，硬貨を投げたとき，表が出る確率と裏が出る確率はいずれも$\displaystyle \frac{1}{2}$である．
(i) 硬貨を$k$回投げたところで終了する確率を$p_k$とすると，
\[ p_4=\frac{[ア]}{[イ]},\quad p_5=\frac{[ウ]}{[エ]},\quad p_7=\frac{[オ]}{[カ][キ]} \]
である．
(ii) このゲームが終了するまでに硬貨を投げる回数の期待値は
\[ \frac{[ク][ケ]}{[コ][サ]} \]
である．
(2)$0^\circ \leqq \theta \leqq 180^\circ$の$\theta$に対して，$x$に関する$2$次方程式
\[ x^2+(\sqrt{2} \sin 2\theta)x+2 \cos \theta=0 \]
を考える．
(i) この方程式が異なる$2$つの実数解をもつのは，
\[ [ア][イ]^\circ<\theta \leqq [ウ][エ][オ]^\circ \]
のときである．
以下，この方程式が異なる$2$つの実数解をもつ場合について考え，この$2$つの実数解を$\alpha,\ \beta$とする．
(ii) 無限等比級数
\[ 1+\left( \frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta} \right)+\left( \frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta} \right)^2+\cdots +\left( \frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta} \right)^n+\cdots \]
が収束するのは，
\[ [カ][キ][ク]^\circ<\theta \leqq [ケ][コ][サ]^\circ \]
のときである．
(iii) 無限等比級数
\[ 1+\left( \frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta} \right)+\left( \frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta} \right)^2+\cdots +\left( \frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta} \right)^n+\cdots \]
が収束して，その和が$2-\sqrt{2}$となるのは，
\[ \theta=[シ][ス][セ]^\circ \]
のときである．
(3)$\triangle \mathrm{OAB}$において，辺$\mathrm{AB}$を$2:1$の比に内分する点を$\mathrm{C}$（$\mathrm{AC}:\mathrm{CB}=2:1$），線分$\mathrm{OC}$を$1:2$の比に内分する点を$\mathrm{D}$（$\mathrm{OD}:\mathrm{DC}=1:2$）とする．辺$\mathrm{OA}$上に点$\mathrm{P}$を，辺$\mathrm{OB}$上に点$\mathrm{Q}$を，線分$\mathrm{PQ}$が点$\mathrm{D}$を通るようにとる．
(i) $\displaystyle \frac{\mathrm{OA}}{\mathrm{OP}}+2 \times \frac{\mathrm{OB}}{\mathrm{OQ}}=[ア]$である．
以下，$\mathrm{OA}=2$，$\mathrm{OB}=3$，$\angle \mathrm{AOB}=60^\circ$とする．
(ii) $\mathrm{OP}=1$のとき，$\triangle \mathrm{OPQ}$の面積は
\[ \frac{[イ]}{[ウ][エ]} \times \sqrt{[オ]} \]
である．
(iii) 線分$\mathrm{OP}$の長さと線分$\mathrm{OQ}$の長さの和$\mathrm{OP}+\mathrm{OQ}$がもっとも小さくなるように点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$をとるとき，
\[ \mathrm{OP}=\frac{[カ]+[キ] \sqrt{[ク]}}{[ケ]} \]
である．このとき，
\[ \mathrm{OP}+\mathrm{OQ}=\frac{[コ]+[サ] \sqrt{[シ]}}{[ス]} \]
である．
(1)$1$枚の硬貨をくり返し投げるゲームを行う．このゲームを，表がちょうど$4$回出たところ，または，裏がちょうど$4$回出たところで終了することにする．ただし，硬貨を投げたとき，表が出る確率と裏が出る確率はいずれも$\displaystyle \frac{1}{2}$である．
(i) 硬貨を$k$回投げたところで終了する確率を$p_k$とすると，
\[ p_4=\frac{[ア]}{[イ]},\quad p_5=\frac{[ウ]}{[エ]},\quad p_7=\frac{[オ]}{[カ][キ]} \]
である．
(ii) このゲームが終了するまでに硬貨を投げる回数の期待値は
\[ \frac{[ク][ケ]}{[コ][サ]} \]
である．
(2)$0^\circ \leqq \theta \leqq 180^\circ$の$\theta$に対して，$x$に関する$2$次方程式
\[ x^2+(\sqrt{2} \sin 2\theta)x+2 \cos \theta=0 \]
を考える．
(i) この方程式が異なる$2$つの実数解をもつのは，
\[ [ア][イ]^\circ<\theta \leqq [ウ][エ][オ]^\circ \]
のときである．
以下，この方程式が異なる$2$つの実数解をもつ場合について考え，この$2$つの実数解を$\alpha,\ \beta$とする．
(ii) 無限等比級数
\[ 1+\left( \frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta} \right)+\left( \frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta} \right)^2+\cdots +\left( \frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta} \right)^n+\cdots \]
が収束するのは，
\[ [カ][キ][ク]^\circ<\theta \leqq [ケ][コ][サ]^\circ \]
のときである．
(iii) 無限等比級数
\[ 1+\left( \frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta} \right)+\left( \frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta} \right)^2+\cdots +\left( \frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta} \right)^n+\cdots \]
が収束して，その和が$2-\sqrt{2}$となるのは，
\[ \theta=[シ][ス][セ]^\circ \]
のときである．
(3)$\triangle \mathrm{OAB}$において，辺$\mathrm{AB}$を$2:1$の比に内分する点を$\mathrm{C}$（$\mathrm{AC}:\mathrm{CB}=2:1$），線分$\mathrm{OC}$を$1:2$の比に内分する点を$\mathrm{D}$（$\mathrm{OD}:\mathrm{DC}=1:2$）とする．辺$\mathrm{OA}$上に点$\mathrm{P}$を，辺$\mathrm{OB}$上に点$\mathrm{Q}$を，線分$\mathrm{PQ}$が点$\mathrm{D}$を通るようにとる．
(i) $\displaystyle \frac{\mathrm{OA}}{\mathrm{OP}}+2 \times \frac{\mathrm{OB}}{\mathrm{OQ}}=[ア]$である．
以下，$\mathrm{OA}=2$，$\mathrm{OB}=3$，$\angle \mathrm{AOB}=60^\circ$とする．
(ii) $\mathrm{OP}=1$のとき，$\triangle \mathrm{OPQ}$の面積は
\[ \frac{[イ]}{[ウ][エ]} \times \sqrt{[オ]} \]
である．
(iii) 線分$\mathrm{OP}$の長さと線分$\mathrm{OQ}$の長さの和$\mathrm{OP}+\mathrm{OQ}$がもっとも小さくなるように点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$をとるとき，
\[ \mathrm{OP}=\frac{[カ]+[キ] \sqrt{[ク]}}{[ケ]} \]
である．このとき，
\[ \mathrm{OP}+\mathrm{OQ}=\frac{[コ]+[サ] \sqrt{[シ]}}{[ス]} \]
である．
私立 関西大学 2012年 第2問座標空間に$3$点$\mathrm{A}(0,\ 2,\ 0)$，$\mathrm{B}(1,\ 0,\ 1)$，$\mathrm{C}(0,\ 1,\ 1)$がある．次の$[ ]$をうめよ．
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$の内積$\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}$は$[$①$]$であり，$\angle \mathrm{BAC}=[$②$]^\circ$である．$\triangle \mathrm{ABC}$の面積は$[$③$]$であり，$\triangle \mathrm{ABC}$の重心$\mathrm{G}$の座標は$[$④$]$である．
点$\mathrm{D}$を$\mathrm{DG} \perp \mathrm{AB}$，$\mathrm{DG} \perp \mathrm{AC}$かつ$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$が四面体の頂点をなすようにとる．四面体$\mathrm{ABCD}$の体積が$1$になるとき，$\mathrm{DG}$の長さは$[$⑤$]$であり，$\mathrm{D}$の$x$座標が正となるときの$\mathrm{D}$の座標は$[$⑥$]$である．
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$の内積$\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}$は$[$①$]$であり，$\angle \mathrm{BAC}=[$②$]^\circ$である．$\triangle \mathrm{ABC}$の面積は$[$③$]$であり，$\triangle \mathrm{ABC}$の重心$\mathrm{G}$の座標は$[$④$]$である．
点$\mathrm{D}$を$\mathrm{DG} \perp \mathrm{AB}$，$\mathrm{DG} \perp \mathrm{AC}$かつ$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$が四面体の頂点をなすようにとる．四面体$\mathrm{ABCD}$の体積が$1$になるとき，$\mathrm{DG}$の長さは$[$⑤$]$であり，$\mathrm{D}$の$x$座標が正となるときの$\mathrm{D}$の座標は$[$⑥$]$である．