平面上に異なる2点$\mathrm{A},\ \mathrm{B}$がある．$\mathrm{A}$を通る直線$\ell_1,\ \ell_2,\ \ell_3$ \\
と$\mathrm{B}$を通る直線$m_1,\ m_2,\ m_3$が図のように交わっており， \\
直線$\ell_1$と$m_1$の交点を$\mathrm{P}$，$\ell_2$と$m_2$の交点を$\mathrm{Q}$，$\ell_3$と$m_3$の \\
交点を$\mathrm{R}$とする．ただし，$\ell_1$と$\ell_3$，$\ell_2$と$\ell_3$，$m_1$と$m_2$，$m_2$ \\
と$m_3$のなす角はすべて$\displaystyle \frac{\pi}{3}$であり，$\displaystyle 0<\angle \mathrm{PAB}<\frac{\pi}{3}$， \\
$\displaystyle 0<\angle \mathrm{PBA}<\frac{\pi}{3}$である．$\alpha=\angle \mathrm{PAB}$，$\beta=\angle \mathrm{PBA}$として，次の問いに答えなさい．
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(1)$\angle \mathrm{APB}+\angle \mathrm{AQB}$を求めなさい．
(2)5点$\mathrm{A}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{P}$が同一円周上にあることを示しなさい．
(3)5点$\mathrm{A}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{P}$を通る円の半径が1であるとき，五角形$\mathrm{AQRBP}$の面積を$\sin \alpha$，$\sin \beta$，$\sin 2 \alpha$，$\sin 2 \beta$を用いて表しなさい．

点$\mathrm{O}$を原点とする空間内に2点$\mathrm{P}(1,\ 1,\ 2)$，$\mathrm{Q}(-1,\ a,\ b)$があり，$\mathrm{OP}=\mathrm{OQ}$かつ$\angle \mathrm{POQ}=60^\circ$が成り立っている．ただし，$a<0$とする．このとき，次の問いに答えなさい．

(1)$a,\ b$の値を求めなさい．
(2)3点$\mathrm{O}$，$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$を含む平面上において，$\mathrm{Q}$とは異なる点$\mathrm{R}(x,\ y,\ z)$が$\mathrm{OP}=\mathrm{OR}$かつ$\angle \mathrm{POR}=60^\circ$をみたすように$x,\ y,\ z$の値を定めなさい．

行列$A=\left( \begin{array}{cc}
2 & -3 \\
3 & 2
\end{array} \right)$で表される1次変換を$f$とする．$f$によって，点$\mathrm{P}_0(1,\ 0)$が移る点を$\mathrm{P}_1(x_1,\ y_1)$，正の整数$n$に対して点$\mathrm{P}_n(x_n,\ y_n)$が移る点を$\mathrm{P}_{n+1}(x_{n+1},\ y_{n+1})$とする．原点を$\mathrm{O}$として，以下の問いに答えよ．

(1)$\cos \angle \mathrm{P}_n \mathrm{OP}_{n+1}$の値を求めよ．
(2)2以上の整数$n$で，直線$\mathrm{OP}_n$が線分$\mathrm{P}_0 \mathrm{P}_1$と交わる最小の$n$を求めよ．
(3)$i$を虚数単位とする．0でない整数$n$に対して，実数$a_n,\ b_n$を$(2+3i)^n=a_n+b_ni$により定める．このとき次の等式
\[ A^n=\left( \begin{array}{cc}
a_n & -b_n \\
b_n & a_n
\end{array} \right) \]
が0でないすべての整数$n$に対して成り立つことを証明せよ．ただし，正の整数$m$に対し$A^{-m}=(A^m)^{-1}$とする．

三角形$\mathrm{ABC}$において，辺$\mathrm{BC}$，$\mathrm{CA}$，$\mathrm{AB}$それぞれの中点を$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$，$\mathrm{F}$とする．また，$p$を$0<p<1$を満たす数として，線分$\mathrm{EF}$，$\mathrm{FD}$，$\mathrm{DE}$をそれぞれ$p:1-p$に内分する点を$\mathrm{G}$，$\mathrm{H}$，$\mathrm{I}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{AF}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{AE}}=\overrightarrow{b}$として，次の問いに答えよ．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{AG}}$，$\overrightarrow{\mathrm{AH}}$をそれぞれ$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$p$を用いて表せ．
(2)$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{G}$，$\mathrm{H}$が一直線上にあるときの$p$の値を求めよ．
(3)$p$が(2)で求めた値であるとし，$|\overrightarrow{\mathrm{AB}}|=4$，$|\overrightarrow{\mathrm{AC}}|=2$，$\angle \mathrm{BAC}=60^\circ$であるとき，$|\overrightarrow{\mathrm{GH}}|^2$を求めよ．

$\angle \mathrm{ACB}$が直角の$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\angle \mathrm{BAC}$の二等分線と辺$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{D}$とする．また，$\mathrm{AB}=20$，$\mathrm{BD}=15$とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)$\displaystyle \frac{\mathrm{CD}}{\mathrm{AC}}$の値を求めよ．
(2)線分$\mathrm{AD}$の長さを求めよ．
(3)$\triangle \mathrm{ABD}$の内接円の半径$r$と，外接円の半径$R$を求めよ．

半径$2$の円に内接する四角形$\mathrm{ABCD}$において，$\mathrm{BD}$がこの円の直径であるとする．$\mathrm{AD}=3$，$\mathrm{CD}=2$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)四角形$\mathrm{ABCD}$の面積を求めよ．
(2)$\mathrm{AC}$の長さを求めよ．
(3)$\mathrm{AC}$と$\mathrm{BD}$の交点を$\mathrm{E}$とし，$\angle \mathrm{AEB}=\theta$とする．このとき，$\sin \theta$の値を求めよ．

座標平面上の放物線$y=x^2$に点$\mathrm{P}(a,\ b)$（ただし，$b<a^2$）から異なる$2$本の接線を引き，放物線との接点をそれぞれ$\mathrm{Q}(q,\ q^2)$，$\mathrm{R}(r,\ r^2)$（ただし，$q<r$）とする．

(1)$2$本の接線の方程式を$a,\ b$を用いて表せ．
(2)$\angle \mathrm{QPR}=45^\circ$を満たす点$\mathrm{P}$の軌跡を求めて図示せよ．

円周上の点Aにおける円の接線上に点Aと異なる点Pをとる．点Pを通る直線が点Pから近い順に2点B，Cで円と交わっている．$\angle \text{APB}$の二等分線と線分AB，ACとの交点をそれぞれD，Eとする．$\text{PA}:\text{PB}=r:1-r$とおき，$\text{BD}=s,\ \text{CE}=t$とおく．ただし，$0<r<1$とする．

(1)線分ADの長さを$r$と$s$で表しなさい．
(2)$\text{PB}:\text{PC}=2:3$となるとき，$r$の値を求めなさい．
(3)(2)のとき，線分AEの長さを$t$で表しなさい．

点$\mathrm{O}$を原点とする空間内に$2$点$\mathrm{P}(1,\ 1,\ 2)$，$\mathrm{Q}(-1,\ a,\ b)$があり，$\mathrm{OP}=\mathrm{OQ}$かつ$\angle \mathrm{POQ}={60}^\circ$が成り立っている．ただし，$a<0$とする．このとき，次の問いに答えなさい．

(1)$a,\ b$の値を求めなさい．
(2)$3$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$を含む平面上において，$\mathrm{Q}$とは異なる点$\mathrm{R}(x,\ y,\ z)$が$\mathrm{OP}=\mathrm{OR}$かつ$\angle \mathrm{POR}={60}^\circ$をみたすように$x,\ y,\ z$の値を定めなさい．

$x$-$y$平面上に$3$点$\mathrm{O}(0,\ 0)$，$\displaystyle \mathrm{A} \left( \frac{1}{\sqrt{2}},\ 0 \right)$，$\displaystyle \mathrm{B} \left( 0,\ \frac{1}{\sqrt{2}} \right)$をとり，図のように，$\triangle \mathrm{OAB}$の各辺上または内部に，$\mathrm{DE} \para \mathrm{OB}$かつ$\angle \mathrm{DCE}$を直角とする二等辺三角形$\mathrm{CDE}$をとる．点$\mathrm{C}$，$\mathrm{E}$はそれぞれ$\mathrm{OB}$，$\mathrm{AB}$上の点とする．線分$\mathrm{CE}$の長さを$m (>0)$とおくとき，次の各問に答えよ．

(1)$m$の最大値を求めよ．
(2)$s,\ t$を正数とし，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OC}}+s \overrightarrow{\mathrm{CD}}+t \overrightarrow{\mathrm{CE}}$を$[ア] \overrightarrow{\mathrm{OA}}+[イ] \overrightarrow{\mathrm{OB}}$と表すとき，空欄$[ア]$，$[イ]$をそれぞれ$s,\ t$および$m$の式で表せ.
(3)等式$\overrightarrow{\mathrm{OC}}+s \overrightarrow{\mathrm{CD}}+t \overrightarrow{\mathrm{CE}}=s \overrightarrow{\mathrm{OA}}+t \overrightarrow{\mathrm{OB}}$をみたす$s$，$t$をそれぞれ$m$の式で表せ．
(4)(3)で求めた$s,\ t$を用いて，点$\mathrm{P}(x,\ y)$を$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=s \overrightarrow{\mathrm{OA}}+t \overrightarrow{\mathrm{OB}}$によって定める．このとき，$\displaystyle \frac{y}{x}$を$\displaystyle \frac{1}{m}$の式で表せ．
(5)(4)における点$\mathrm{P}(x,\ y)$の軌跡は$x,\ y$の方程式
\[ (x+[ウ])^2+(y-[エ])^2=[オ] \]
で表される．このとき，空欄$[ウ]$，$[エ]$，$[オ]$にあてはまる数値を求めよ．
（図は省略）