円周上の点$\mathrm{A}$での接線を$\ell$とする．直線が接線$\ell$と点$\mathrm{B}$で，円と$2$点$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$で$\mathrm{BC}=9$，$\mathrm{BD}=4$となるように交わっている．$\angle \mathrm{ABC}=\theta$とする．
（図は省略）

(1)線分$\mathrm{AB}$の長さは$[　]$である．
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$の面積を$\theta$を用いて表すと$[　]$である．

次の問いに答えなさい．

実数$t$に対し，一辺の長さが$1$の正三角形$\mathrm{OAB}$の辺$\mathrm{OA}$を$t:(1-t)$に内分する点を$\mathrm{P}$，辺$\mathrm{AB}$を$2t:(1-2t)$に内分する点を$\mathrm{Q}$，辺$\mathrm{BO}$を$3t:(1-3t)$に内分する点を$\mathrm{R}$とする．ただし，$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$は正三角形$\mathrm{OAB}$の辺上にあり，いずれの頂点とも一致しないものとする．

(1)$t$がとる値の範囲は$[　]$である．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とする．

(i) $\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=[　]$である．
(ii) $\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$を$t,\ \overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を使って表すと，$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}=[　]$となる．
(iii) $\displaystyle \angle \mathrm{QPR}=\frac{\pi}{2}$となるのは，$t=[　]$のときである．

(3)三角形$\mathrm{PQR}$の面積を$S$とする．$S$を$t$を使って表し，また$S$の最小値を求めなさい．

$xy$平面に正三角形$\mathrm{ABC}$があり，$3$頂点の座標はそれぞれ$\mathrm{A}(0,\ \sqrt{3})$，$\mathrm{B}(-1,\ 0)$，$\mathrm{C}(1,\ 0)$となっている．線分$\mathrm{BC}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{D}$，線分$\mathrm{CA}$の中点を$\mathrm{E}$とする．また$\mathrm{P}$は辺$\mathrm{AB}$上を動く点とし，$\mathrm{Q}$は辺$\mathrm{AC}$上を動く点とする．

(1)直線$\mathrm{AB}$に関して$\mathrm{D}$と対称な点$\mathrm{T}$の座標は$([ア],\ [イ])$である．
(2)線分$\mathrm{TE}$を$s:1-s$の比に内分する点を$\mathrm{R}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{BR}}=m \overrightarrow{\mathrm{BA}}+n \overrightarrow{\mathrm{BC}}$と表すと$m=[ウ]$，$n=[エ]$となる．ただし$m,\ n$は$s$の$1$次式である．また$s=[オ]$のとき$\mathrm{R}$は線分$\mathrm{AB}$上にある．
(3)$\mathrm{DP}+\mathrm{PE}$の最小値は$[カ]$である．またそのとき$\mathrm{BP}=[キ]$となる．
(4)$\mathrm{DP}+\mathrm{PQ}+\mathrm{QD}$の最小値は$[ク]$である．またそのとき$\tan \angle \mathrm{BPQ}=[ケ]$となる．

$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\mathrm{BC}=1+\sqrt{6}$，$\mathrm{CA}=2$，$\displaystyle \angle \mathrm{C}=\frac{\pi}{3}$とする．

(1)$\triangle \mathrm{ABC}$の面積$S$を求めよ．
(2)辺$\mathrm{AB}$の長さを求めよ．
(3)$\triangle \mathrm{ABC}$の内接円の半径$r$を求めよ．

$\triangle \mathrm{OAB}$において，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とし，$|\overrightarrow{a}|=\sqrt{3}$，$\displaystyle |\overrightarrow{b}|=\frac{2}{\sqrt{3}}$，$\displaystyle \angle \mathrm{AOB}=\frac{\pi}{3}$とする．さらに，辺$\mathrm{OA}$の中点を$\mathrm{M}$，辺$\mathrm{OB}$の中点を$\mathrm{N}$とし，点$\mathrm{M}$を通り辺$\mathrm{OA}$に垂直な直線と点$\mathrm{N}$を通り辺$\mathrm{OB}$に垂直な直線との交点を$\mathrm{P}$とする．このとき，次の空所を埋めよ．

(1)$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=[ア]$である．
(2)$x,\ y$を実数とし，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=x \overrightarrow{a}+y \overrightarrow{b}$とおくと，$\overrightarrow{\mathrm{MP}}=(x-[イ]) \overrightarrow{a}+y \overrightarrow{b}$と表されるので，$\overrightarrow{\mathrm{MP}} \perp \overrightarrow{a}$より$x,\ y$の関係式は$3x+y=[ウ]$である．
また，$\overrightarrow{\mathrm{NP}} \perp \overrightarrow{b}$より，$x,\ y$の関係式は$[エ]=2$である．したがって，$x=[オ]$，$y=[カ]$である．

$\triangle \mathrm{OAB}$において，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とし，$|\overrightarrow{a}|=\sqrt{3}$，$\displaystyle |\overrightarrow{b}|=\frac{2}{\sqrt{3}}$，$\displaystyle \angle \mathrm{AOB}=\frac{\pi}{3}$とする．さらに，辺$\mathrm{OA}$の中点を$\mathrm{M}$，辺$\mathrm{OB}$の中点を$\mathrm{N}$とし，点$\mathrm{M}$を通り辺$\mathrm{OA}$に垂直な直線と点$\mathrm{N}$を通り辺$\mathrm{OB}$に垂直な直線との交点を$\mathrm{P}$とする．このとき，次の空所を埋めよ．

(1)$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=[ア]$である．
(2)$x,\ y$を実数とし，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=x \overrightarrow{a}+y \overrightarrow{b}$とおくと，$\overrightarrow{\mathrm{MP}}=(x-[イ]) \overrightarrow{a}+y \overrightarrow{b}$と表されるので，$\overrightarrow{\mathrm{MP}} \perp \overrightarrow{a}$より$x,\ y$の関係式は$3x+y=[ウ]$である．
また，$\overrightarrow{\mathrm{NP}} \perp \overrightarrow{b}$より，$x,\ y$の関係式は$[エ]=2$である．したがって，$x=[オ]$，$y=[カ]$である．

空欄にあてはまる適切な数，式，記号などを記入しなさい．

(1)$100$円，$50$円，$10$円の硬貨がそれぞれたくさんあるとする．ある品物を買うのに$2300$円かかるとき，このお金による支払い方の総数は$[　]$である．
(2)整式$P(x)$を$x^2-4x+3$で割ったときの余りは$x+1$であり，$x^2-3x+2$で割ったときの余りは$3x-1$である．$P(x)$を$x^3-6x^2+11x-6$で割ったときの余りは$[　]$である．
(3)数列の極限$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{\sum_{k=1}^{2n} (k+n)^2}{\sum_{k=1}^{2n} k^2}$の値は$[　]$である．
(4)$\sqrt{x}+\sqrt{y}=1$で表される座標平面上の曲線を$C$とする．曲線$C$上の$x$座標が$s (0<s<1)$である点における接線を$\ell$とする．接線$\ell$と曲線$C$および$x$軸，$y$軸とで囲まれた部分を，$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積の最小値は$[　]$である．また，そのときの$s$の値は$[　]$である．
(5)原点を$\mathrm{O}$とする座標平面上の$2$点$\mathrm{A}(1,\ 0)$，$\mathrm{B}(0,\ 1)$を結ぶ線分上に点$\mathrm{P}$がある．$\theta=\angle \mathrm{AOP}$とし，線分$\mathrm{OP}$の長さを$r$とするとき，$r$は$\theta$の関数として$r=f(\theta)$と表せる．このとき定積分$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} f(\theta) \, d\theta$の値は$[　]$であり，$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} f(\theta)^2 \cos \theta \, d\theta$の値は$[　]$である．
(6)$\mathrm{A}$が$1$枚のカードを，$\mathrm{B}$が$4$枚のカードを持っている．表が出る確率と裏が出る確率がそれぞれ$\displaystyle \frac{1}{2}$の偏りのないコインを投げて，表が出れば$\mathrm{A}$は$\mathrm{B}$からカードを$1$枚もらう．裏が出れば$\mathrm{A}$は$\mathrm{B}$にカードを$1$枚わたす．ただし，手もとにカードがなければわたさなくてよい．この試行を$4$回くり返した後，$\mathrm{A}$の手もとに残るカードの枚数の期待値は$[　]$である．

$\triangle \mathrm{ABC}$において，
\[ \overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BC}}=-5,\quad \overrightarrow{\mathrm{BC}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{CA}}=-6,\quad \overrightarrow{\mathrm{CA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AB}}=-3,\quad \angle \mathrm{BAC}=\theta \]
であるとき，$\triangle \mathrm{ABC}$の面積を求める．空欄にあてはまる値を解答欄に記入せよ．

条件より，$\mathrm{AB}=[ア]$，$\mathrm{AC}=[イ]$となるから，$\cos \theta=[ウ]$となる．よって，$\sin \theta=[エ]$となるので，$\triangle \mathrm{ABC}$の面積は$[オ]$となる．

$\triangle \mathrm{ABC}$の面積を$S$，$\angle \mathrm{BAC}=\alpha$とし，辺$\mathrm{BC}$，$\mathrm{CA}$，$\mathrm{AB}$の長さをそれぞれ$a,\ b,\ c$とする．さらに，辺$\mathrm{BC}$，$\mathrm{CA}$，$\mathrm{AB}$を$1$辺とする正三角形の面積をそれぞれ$S_A,\ S_B,\ S_C$とする．ただし，$\alpha \neq {90}^\circ$とする．

(1)$a$を用いて$S_A$を表せ．
(2)次の等式が成り立つことを証明せよ．
\[ S_A=S_B+S_C-\frac{\sqrt{3}}{\tan \alpha}S \]

座標平面における放物線$\displaystyle C_1:y=\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{2}$，および円$C_2:x^2+y^2=2$について，以下の設問に答えよ．

(1)$C_1$と$C_2$の交点を$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$とするとき，$\angle \mathrm{POQ}$を求めよ．ただし，$\mathrm{O}$は座標平面における原点をあらわす．
(2)$C_1$と$C_2$で囲まれた部分の面積を求めよ．