「角度」について
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私立 安田女子大学 2013年 第3問円に内接する四角形$\mathrm{ABCD}$において，$\mathrm{AB}=2$，$\mathrm{BC}=3$，$\mathrm{CD}=4$，$\mathrm{DA}=5$とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)$\cos \angle \mathrm{BAD}$の値を求めよ．
(2)四角形$\mathrm{ABCD}$の面積を求めよ．
(1)$\cos \angle \mathrm{BAD}$の値を求めよ．
(2)四角形$\mathrm{ABCD}$の面積を求めよ．
私立 安田女子大学 2013年 第2問$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=5$，$\mathrm{BC}=12$，$\mathrm{CA}=13$のとき，次の問いに答えよ．
(1)$\sin \angle \mathrm{B}$の値を求めよ．
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$の外接円の半径を求めよ．
(3)$\triangle \mathrm{ABC}$の内接円の半径を求めよ．
(1)$\sin \angle \mathrm{B}$の値を求めよ．
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$の外接円の半径を求めよ．
(3)$\triangle \mathrm{ABC}$の内接円の半径を求めよ．
私立 安田女子大学 2013年 第2問$\triangle \mathrm{ABC}$が中心$\mathrm{O}$，半径$r$の円に内接している．$\angle \mathrm{ACB}={15}^\circ$であり，線分$\mathrm{AB}$の長さを$c$とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)$\angle \mathrm{AOB}$を求めよ．
(2)$\angle \mathrm{OAB}$を求めよ．
(3)$c^2$を求めよ．
(1)$\angle \mathrm{AOB}$を求めよ．
(2)$\angle \mathrm{OAB}$を求めよ．
(3)$c^2$を求めよ．
私立 安田女子大学 2013年 第2問$\triangle \mathrm{ABC}$が中心$\mathrm{O}$，半径$r$の円に内接している．$\angle \mathrm{ACB}={15}^\circ$であり，線分$\mathrm{AB}$の長さを$c$とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)$\angle \mathrm{AOB}$を求めよ．
(2)$\angle \mathrm{OAB}$を求めよ．
(3)$c^2$を求めよ．
(1)$\angle \mathrm{AOB}$を求めよ．
(2)$\angle \mathrm{OAB}$を求めよ．
(3)$c^2$を求めよ．
私立 吉備国際大学 2013年 第2問水平面に高さ$10 \, \mathrm{m}$の線分$\mathrm{AB}$が垂直に立っている（点$\mathrm{A}$が水平面上）．
(1)水平面上の点$\mathrm{P}$から$\mathrm{B}$を見上げる角度が${30}^\circ$のとき，$\mathrm{AP}$を求めよ．
(2)水平面上の点$\mathrm{Q}$から$\mathrm{B}$を見上げる角度が${30}^\circ$以上${60}^\circ$以下であるとき，$\mathrm{Q}$の存在する領域の面積を求めよ．
(3)水平面上$1 \, \mathrm{m}$の高さの点$\mathrm{R}$から$\mathrm{B}$を見上げる角度が${30}^\circ$以上${60}^\circ$以下であるとき，$\mathrm{R}$の存在する領域の面積を求めよ．
(1)水平面上の点$\mathrm{P}$から$\mathrm{B}$を見上げる角度が${30}^\circ$のとき，$\mathrm{AP}$を求めよ．
(2)水平面上の点$\mathrm{Q}$から$\mathrm{B}$を見上げる角度が${30}^\circ$以上${60}^\circ$以下であるとき，$\mathrm{Q}$の存在する領域の面積を求めよ．
(3)水平面上$1 \, \mathrm{m}$の高さの点$\mathrm{R}$から$\mathrm{B}$を見上げる角度が${30}^\circ$以上${60}^\circ$以下であるとき，$\mathrm{R}$の存在する領域の面積を求めよ．
私立 吉備国際大学 2013年 第1問次の問いに答えよ．
(1)$x^2+4xy+3y^2-2x-8y-3$を因数分解せよ．
(2)$1,\ 1,\ 1,\ 1,\ 2,\ 2,\ 3,\ 3$の$8$個の数字を用いて作ることができる$8$桁の整数の個数を求めよ．
(3)$\mathrm{AB}=4$，$\mathrm{BC}=5$，$\mathrm{CA}=7$のとき$\cos \angle \mathrm{B}$を求めよ．
(4)放物線$y=x^2+2x-1$を原点に関して，対称移動したときの放物線の式を求めよ．
(5)$2$次関数$y=-x^2+6x-9$の最大値，最小値があれば，それを求めなさい．
(1)$x^2+4xy+3y^2-2x-8y-3$を因数分解せよ．
(2)$1,\ 1,\ 1,\ 1,\ 2,\ 2,\ 3,\ 3$の$8$個の数字を用いて作ることができる$8$桁の整数の個数を求めよ．
(3)$\mathrm{AB}=4$，$\mathrm{BC}=5$，$\mathrm{CA}=7$のとき$\cos \angle \mathrm{B}$を求めよ．
(4)放物線$y=x^2+2x-1$を原点に関して，対称移動したときの放物線の式を求めよ．
(5)$2$次関数$y=-x^2+6x-9$の最大値，最小値があれば，それを求めなさい．
私立 吉備国際大学 2013年 第3問$\angle \mathrm{A}={36}^\circ$，$\mathrm{AB}=\mathrm{AC}$の二等辺三角形$\mathrm{ABC}$の底角$\mathrm{C}$の二等分線が$\mathrm{AB}$と交わる点を$\mathrm{D}$とする．
(1)$\mathrm{BC}=2$のとき，辺$\mathrm{BD}$と$\mathrm{CA}$の長さを求めよ．
(2)$(1)$の結果を使って，$\sin {18}^\circ$と$\cos {36}^\circ$の値を求めよ．
(1)$\mathrm{BC}=2$のとき，辺$\mathrm{BD}$と$\mathrm{CA}$の長さを求めよ．
(2)$(1)$の結果を使って，$\sin {18}^\circ$と$\cos {36}^\circ$の値を求めよ．
私立 大阪歯科大学 2013年 第4問$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$が点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円周上にあり，$13 \overrightarrow{\mathrm{OA}}+12 \overrightarrow{\mathrm{OB}}+5 \overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{\mathrm{0}}$を満たしている．
(1)$\mathrm{OB}$と$\mathrm{OC}$は垂直であることを示せ．
(2)$\angle \mathrm{AOB}=\alpha$，$\angle \mathrm{AOC}=\beta$とおく．$\cos \alpha$および$\cos \beta$の値を求めよ．
(3)$\mathrm{A}$から$\mathrm{BC}$にひいた垂線と$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{H}$とする．線分$\mathrm{AH}$の長さを求めよ．
(1)$\mathrm{OB}$と$\mathrm{OC}$は垂直であることを示せ．
(2)$\angle \mathrm{AOB}=\alpha$，$\angle \mathrm{AOC}=\beta$とおく．$\cos \alpha$および$\cos \beta$の値を求めよ．
(3)$\mathrm{A}$から$\mathrm{BC}$にひいた垂線と$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{H}$とする．線分$\mathrm{AH}$の長さを求めよ．
私立 聖マリアンナ医科大学 2013年 第3問$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円周上に相異なる$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$がある．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とおき，$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c} \neq \overrightarrow{\mathrm{0}}$とする．線分$\mathrm{AB}$，$\mathrm{BC}$，$\mathrm{CA}$の中点を，それぞれ$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$とし，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\overrightarrow{p}$，$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=\overrightarrow{q}$，$\overrightarrow{\mathrm{OR}}=\overrightarrow{r}$とおく．
このとき，以下の$[$1$]$～$[$6$]$について適切な値を，$[イ]$には適切な式を解答欄に答えなさい．また，$[ア]$，$[ウ]$には下部の選択肢からもっともふさわしいものを選択して，解答欄に記入しなさい．
ベクトル$\displaystyle \overrightarrow{d}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})$とすると，
\[ |\overrightarrow{d}-\overrightarrow{p}|=|\overrightarrow{d}-\overrightarrow{q}|=|\overrightarrow{d}-\overrightarrow{r}|=[$1$] \]
となり，$\overrightarrow{\mathrm{OD}}=\overrightarrow{d}$によって定まる点$\mathrm{D}$は$\triangle \mathrm{PQR}$の$[ア]$となることがわかる．
いま，線分$\mathrm{AB}$の長さを$1$，線分$\mathrm{AC}$の長さを$\sqrt{3}$とし，$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$は，どの$2$つも平行ではないとする．このとき，線分$\mathrm{BC}$の長さは$[$2$]$であり，$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c}=[$3$]$である．また，$\overrightarrow{b}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{c}$で表すと，$\overrightarrow{b}=[イ]$となる．
また，$\triangle \mathrm{PQR}$について，$\angle \mathrm{QPR}$の二等分線と辺$\mathrm{QR}$の交点を$\mathrm{S}$とおき，$\overrightarrow{\mathrm{PS}}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{c}$で表すと，
\[ \overrightarrow{\mathrm{PS}}=[$4$] \overrightarrow{a}+[$5$] \overrightarrow{c} \]
とかける．同様にして，$\angle \mathrm{PQR}$の二等分線と辺$\mathrm{PR}$の交点を$\mathrm{T}$とおく．線分$\mathrm{PS}$と線分$\mathrm{QT}$の交点を$\mathrm{U}$とおくと，$\mathrm{U}$は$\triangle \mathrm{PQR}$の$[ウ]$となり，
\[ \overrightarrow{\mathrm{OU}}=[$6$] \overrightarrow{b} \]
となることがわかる．
\begin{screen}
選択肢： \quad 重心， \quad 内心， \quad 外心
\end{screen}
このとき，以下の$[$1$]$～$[$6$]$について適切な値を，$[イ]$には適切な式を解答欄に答えなさい．また，$[ア]$，$[ウ]$には下部の選択肢からもっともふさわしいものを選択して，解答欄に記入しなさい．
ベクトル$\displaystyle \overrightarrow{d}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})$とすると，
\[ |\overrightarrow{d}-\overrightarrow{p}|=|\overrightarrow{d}-\overrightarrow{q}|=|\overrightarrow{d}-\overrightarrow{r}|=[$1$] \]
となり，$\overrightarrow{\mathrm{OD}}=\overrightarrow{d}$によって定まる点$\mathrm{D}$は$\triangle \mathrm{PQR}$の$[ア]$となることがわかる．
いま，線分$\mathrm{AB}$の長さを$1$，線分$\mathrm{AC}$の長さを$\sqrt{3}$とし，$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$は，どの$2$つも平行ではないとする．このとき，線分$\mathrm{BC}$の長さは$[$2$]$であり，$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c}=[$3$]$である．また，$\overrightarrow{b}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{c}$で表すと，$\overrightarrow{b}=[イ]$となる．
また，$\triangle \mathrm{PQR}$について，$\angle \mathrm{QPR}$の二等分線と辺$\mathrm{QR}$の交点を$\mathrm{S}$とおき，$\overrightarrow{\mathrm{PS}}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{c}$で表すと，
\[ \overrightarrow{\mathrm{PS}}=[$4$] \overrightarrow{a}+[$5$] \overrightarrow{c} \]
とかける．同様にして，$\angle \mathrm{PQR}$の二等分線と辺$\mathrm{PR}$の交点を$\mathrm{T}$とおく．線分$\mathrm{PS}$と線分$\mathrm{QT}$の交点を$\mathrm{U}$とおくと，$\mathrm{U}$は$\triangle \mathrm{PQR}$の$[ウ]$となり，
\[ \overrightarrow{\mathrm{OU}}=[$6$] \overrightarrow{b} \]
となることがわかる．
\begin{screen}
選択肢： \quad 重心， \quad 内心， \quad 外心
\end{screen}
私立 杏林大学 2013年 第2問動点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$は，時刻$t=0$においてすべて点$\mathrm{A}(3,\ 0)$にあり，原点$\mathrm{O}(0,\ 0)$を中心とする半径$3$の円周上を反時計まわりに移動する．時刻$t$において$\angle \mathrm{AOP}=t$，$\angle \mathrm{AOQ}=2t$，$\angle \mathrm{AOR}=3t$である．以下，$t$は$0<t<\pi$を満たすものとする．
(1)時刻$t$において，三角形$\mathrm{PQR}$の面積$S$は，
\[ S=[ア] \sin t-\frac{[イ]}{[ウ]} \sin \left( [エ] t \right) \]
と表わせる．面積$S$は$\displaystyle t=\frac{[オ]}{[カ]} \pi$のとき最大値$\displaystyle \frac{[キク]}{[ケ]} \sqrt{[コ]}$をとる．
(2)点$\mathrm{R}$から直線$\mathrm{PQ}$に下ろした垂線の足を$\mathrm{H}$とする．時刻$t$において，行列
$\left( \begin{array}{cc}
\cos \displaystyle\frac{3}{2}t & \sin \displaystyle\frac{3}{2}t \\
-\sin \displaystyle\frac{3}{2}t & \cos \displaystyle\frac{3}{2}t
\end{array} \right)$で表わされる$1$次変換により，点$\mathrm{H}$は
\[ \left( 3 \cos \left( \frac{[サ]}{[シ]} t \right),\ 3 \sin \left( \frac{[ス]}{[セ]} t \right) \right) \]
に移動する．$\mathrm{OH}^2$は$\displaystyle \cos t=\frac{\sqrt{[ソ]}}{[タ]}$を満たす時刻$t$において最大値$[チ]+[ツ] \sqrt{[テ]}$をとる．
(3)時刻$t$の変化にともない，線分$\mathrm{PR}$の中点が描く軌跡を$C$とする．点$\mathrm{O}$を極とし，半直線$\alpha \overrightarrow{\mathrm{OA}} (\alpha \geqq 0)$を始線としたとき，曲線$C$の極方程式は，極座標$(r,\ \theta)$を用いて
\[ r=[ト] \cos \left( \frac{[ナ]}{[ニ]} \theta \right) \]
と表わされる．
(1)時刻$t$において，三角形$\mathrm{PQR}$の面積$S$は，
\[ S=[ア] \sin t-\frac{[イ]}{[ウ]} \sin \left( [エ] t \right) \]
と表わせる．面積$S$は$\displaystyle t=\frac{[オ]}{[カ]} \pi$のとき最大値$\displaystyle \frac{[キク]}{[ケ]} \sqrt{[コ]}$をとる．
(2)点$\mathrm{R}$から直線$\mathrm{PQ}$に下ろした垂線の足を$\mathrm{H}$とする．時刻$t$において，行列
$\left( \begin{array}{cc}
\cos \displaystyle\frac{3}{2}t & \sin \displaystyle\frac{3}{2}t \\
-\sin \displaystyle\frac{3}{2}t & \cos \displaystyle\frac{3}{2}t
\end{array} \right)$で表わされる$1$次変換により，点$\mathrm{H}$は
\[ \left( 3 \cos \left( \frac{[サ]}{[シ]} t \right),\ 3 \sin \left( \frac{[ス]}{[セ]} t \right) \right) \]
に移動する．$\mathrm{OH}^2$は$\displaystyle \cos t=\frac{\sqrt{[ソ]}}{[タ]}$を満たす時刻$t$において最大値$[チ]+[ツ] \sqrt{[テ]}$をとる．
(3)時刻$t$の変化にともない，線分$\mathrm{PR}$の中点が描く軌跡を$C$とする．点$\mathrm{O}$を極とし，半直線$\alpha \overrightarrow{\mathrm{OA}} (\alpha \geqq 0)$を始線としたとき，曲線$C$の極方程式は，極座標$(r,\ \theta)$を用いて
\[ r=[ト] \cos \left( \frac{[ナ]}{[ニ]} \theta \right) \]
と表わされる．