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私立 学習院大学 2013年 第1問円に内接する四角形$\mathrm{ABCD}$が条件
\[ \mathrm{AB}=3,\quad \mathrm{BC}=4,\quad \mathrm{CD}=5,\quad \angle \mathrm{ADC}=60^\circ \]
を満たしている．
(1)対角線$\mathrm{AC}$の長さを求めよ．
(2)辺$\mathrm{AD}$の長さを求めよ．
(3)四角形$\mathrm{ABCD}$が内接している円の半径を求めよ．
\[ \mathrm{AB}=3,\quad \mathrm{BC}=4,\quad \mathrm{CD}=5,\quad \angle \mathrm{ADC}=60^\circ \]
を満たしている．
(1)対角線$\mathrm{AC}$の長さを求めよ．
(2)辺$\mathrm{AD}$の長さを求めよ．
(3)四角形$\mathrm{ABCD}$が内接している円の半径を求めよ．
私立 広島修道大学 2013年 第3問$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\mathrm{BC}=a$，$\mathrm{CA}=b$，$\mathrm{AB}=c$とする．$\angle \mathrm{A}$の二等分線が辺$\mathrm{BC}$と交わる点を$\mathrm{D}$とし，$\theta=\angle \mathrm{BAD}$とするとき，次の問に答えよ．
(1)$\cos \theta$の値を$a,\ b,\ c$の式で表せ．
(2)$\displaystyle \mathrm{AD}=\frac{2bc}{b+c} \cos \theta$であることを示せ．
(3)$a=3,\ b=4,\ c=2$のとき，線分$\mathrm{AD}$の長さを求めよ．
(1)$\cos \theta$の値を$a,\ b,\ c$の式で表せ．
(2)$\displaystyle \mathrm{AD}=\frac{2bc}{b+c} \cos \theta$であることを示せ．
(3)$a=3,\ b=4,\ c=2$のとき，線分$\mathrm{AD}$の長さを求めよ．
私立 広島修道大学 2013年 第3問$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\mathrm{BC}=a$，$\mathrm{CA}=b$，$\mathrm{AB}=c$とする．$\angle \mathrm{A}$の二等分線が辺$\mathrm{BC}$と交わる点を$\mathrm{D}$とし，$\theta=\angle \mathrm{BAD}$とするとき，次の問に答えよ．
(1)$\cos \theta$の値を$a,\ b,\ c$の式で表せ．
(2)$\displaystyle \mathrm{AD}=\frac{2bc}{b+c} \cos \theta$であることを示せ．
(3)$a=3,\ b=4,\ c=2$のとき，線分$\mathrm{AD}$の長さを求めよ．
(1)$\cos \theta$の値を$a,\ b,\ c$の式で表せ．
(2)$\displaystyle \mathrm{AD}=\frac{2bc}{b+c} \cos \theta$であることを示せ．
(3)$a=3,\ b=4,\ c=2$のとき，線分$\mathrm{AD}$の長さを求めよ．
私立 日本女子大学 2013年 第3問平面上に$2$点$\mathrm{O}(0,\ 0)$，$\mathrm{A}(0,\ 1)$がある．$t$を$\displaystyle 0 \leqq t<\frac{1}{2}$を満たす実数とする．点$\mathrm{P}$を線分$\mathrm{OA}$上で$\mathrm{AP}=t$となるようにとる．直線$y=1$上の$\mathrm{A}$より右側の部分に点$\mathrm{S}$を$\mathrm{PO}=\mathrm{PS}$となるようにとる．$\angle \mathrm{OPS}$の二等分線が$x$軸と交わる点を$\mathrm{R}$とする．
(1)$\mathrm{AS}$の長さを$t$で表せ．
(2)$\mathrm{OR}$の長さを$t$で表せ．
(3)$t$が$\displaystyle 0 \leqq t<\frac{1}{2}$の範囲を動くとき，$\mathrm{PR}$の長さの最小値を求めよ．また，$\mathrm{PR}$の長さを最小にする$t$の値を求めよ．
（図は省略）
(1)$\mathrm{AS}$の長さを$t$で表せ．
(2)$\mathrm{OR}$の長さを$t$で表せ．
(3)$t$が$\displaystyle 0 \leqq t<\frac{1}{2}$の範囲を動くとき，$\mathrm{PR}$の長さの最小値を求めよ．また，$\mathrm{PR}$の長さを最小にする$t$の値を求めよ．
（図は省略）
私立 金沢工業大学 2013年 第2問次の問いに答えよ．
(1)角度$\theta$が$\displaystyle \frac{\pi}{2}<\theta<\pi$であって$\displaystyle \sin \theta+\cos \theta=-\frac{1}{5}$を満たすとき，
\[ \sum_{n=1}^\infty \sin^n \theta=\frac{[シ]}{[ス]},\quad \sum_{n=1}^\infty \cos^n \theta=\frac{[セ][ソ]}{[タ]} \]
である．
(2)初項$7$，公差$9$の等差数列$\{a_n\}$について，
\[ S_n=\frac{1}{a_1a_2}+\frac{1}{a_2a_3}+\frac{1}{a_3a_4}+\cdots +\frac{1}{a_na_{n+1}} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
とすると，$\displaystyle S_n=\frac{1}{[チ]} \left( \frac{1}{[ツ]}-\frac{1}{[テ]n+[ト]} \right)$であって，$\displaystyle \lim_{n \to \infty}S_n=\frac{1}{[ナ][ニ]}$である．
(1)角度$\theta$が$\displaystyle \frac{\pi}{2}<\theta<\pi$であって$\displaystyle \sin \theta+\cos \theta=-\frac{1}{5}$を満たすとき，
\[ \sum_{n=1}^\infty \sin^n \theta=\frac{[シ]}{[ス]},\quad \sum_{n=1}^\infty \cos^n \theta=\frac{[セ][ソ]}{[タ]} \]
である．
(2)初項$7$，公差$9$の等差数列$\{a_n\}$について，
\[ S_n=\frac{1}{a_1a_2}+\frac{1}{a_2a_3}+\frac{1}{a_3a_4}+\cdots +\frac{1}{a_na_{n+1}} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
とすると，$\displaystyle S_n=\frac{1}{[チ]} \left( \frac{1}{[ツ]}-\frac{1}{[テ]n+[ト]} \right)$であって，$\displaystyle \lim_{n \to \infty}S_n=\frac{1}{[ナ][ニ]}$である．
私立 神奈川大学 2013年 第1問次の空欄$[ ]$を適当に補え．
(1)三角形$\mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AC}=7$，$\mathrm{AB}=3$，$\angle \mathrm{BAC}=120^\circ$のとき，$\mathrm{BC}=[ア]$である．
(2)方程式$3 \log_8x+\log_2(x-8)=7$を解くと，$x=[イ]$である．
(3)$3+i$をかけると$1+17i$となる複素数を，$a+bi$の形で表すと$[ウ]$である．ただし，$a,\ b$は実数，$i$は虚数単位である．
(4)$1$つのサイコロを$6$回投げて，$1$の目と$2$の目がそれぞれちょうど$2$回ずつ出る確率は$\displaystyle [エ]$である．
(1)三角形$\mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AC}=7$，$\mathrm{AB}=3$，$\angle \mathrm{BAC}=120^\circ$のとき，$\mathrm{BC}=[ア]$である．
(2)方程式$3 \log_8x+\log_2(x-8)=7$を解くと，$x=[イ]$である．
(3)$3+i$をかけると$1+17i$となる複素数を，$a+bi$の形で表すと$[ウ]$である．ただし，$a,\ b$は実数，$i$は虚数単位である．
(4)$1$つのサイコロを$6$回投げて，$1$の目と$2$の目がそれぞれちょうど$2$回ずつ出る確率は$\displaystyle [エ]$である．
私立 東北工業大学 2013年 第3問円に内接する四角形$\mathrm{ABCD}$があり，$\mathrm{AD}=5$，$\mathrm{BC}=10$，対角線$\mathrm{BD}=\sqrt{91}$，$\angle \mathrm{BAD}=120^\circ$である．
(1)$\mathrm{AB}=[][]$であり，三角形$\mathrm{ABD}$の面積は$\displaystyle S_1=\frac{[][] \sqrt{3}}{2}$である．
(2)三角形$\mathrm{BCD}$の面積が$\displaystyle S_2=\frac{45 \sqrt{3}}{2}$であれば，$\mathrm{DC}=[][]$である．
(3)この円の半径は$\displaystyle \frac{\sqrt{273}}{[][]}$である．
(4)この円の中心を$\mathrm{O}$としたとき，三角形$\mathrm{BOD}$の面積は$\displaystyle S_3=\frac{91 \sqrt{3}}{[][]}$である．
(1)$\mathrm{AB}=[][]$であり，三角形$\mathrm{ABD}$の面積は$\displaystyle S_1=\frac{[][] \sqrt{3}}{2}$である．
(2)三角形$\mathrm{BCD}$の面積が$\displaystyle S_2=\frac{45 \sqrt{3}}{2}$であれば，$\mathrm{DC}=[][]$である．
(3)この円の半径は$\displaystyle \frac{\sqrt{273}}{[][]}$である．
(4)この円の中心を$\mathrm{O}$としたとき，三角形$\mathrm{BOD}$の面積は$\displaystyle S_3=\frac{91 \sqrt{3}}{[][]}$である．
私立 北里大学 2013年 第3問次の$[ ]$にあてはまる答を求めよ．
(1)$\mathrm{AB}=5$，$\mathrm{BC}=6$，$\mathrm{CA}=4$である三角形$\mathrm{ABC}$を考える．$\cos \angle \mathrm{BAC}$の値は$[ ]$であり，三角形$\mathrm{ABC}$の面積は$[ ]$である．また，三角形$\mathrm{ABC}$の外接円の半径は$[ ]$である．さらに，三角形$\mathrm{ABC}$の内接円の中心を$\mathrm{I}$とし，直線$\mathrm{AI}$と辺$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{D}$とするとき，線分$\mathrm{AI}$の長さを線分$\mathrm{ID}$の長さで割った$\displaystyle \frac{\mathrm{AI}}{\mathrm{ID}}$の値は$[ ]$である．
(2)放物線$y=x^2-4x+3$を$C$とおく．点$(2,\ -5)$から$C$に引いた$2$本の接線の方程式は$y=[ ]$と$y=[ ]$である．これら$2$本の接線と$C$で囲まれた図形の面積は$[ ]$である．
(1)$\mathrm{AB}=5$，$\mathrm{BC}=6$，$\mathrm{CA}=4$である三角形$\mathrm{ABC}$を考える．$\cos \angle \mathrm{BAC}$の値は$[ ]$であり，三角形$\mathrm{ABC}$の面積は$[ ]$である．また，三角形$\mathrm{ABC}$の外接円の半径は$[ ]$である．さらに，三角形$\mathrm{ABC}$の内接円の中心を$\mathrm{I}$とし，直線$\mathrm{AI}$と辺$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{D}$とするとき，線分$\mathrm{AI}$の長さを線分$\mathrm{ID}$の長さで割った$\displaystyle \frac{\mathrm{AI}}{\mathrm{ID}}$の値は$[ ]$である．
(2)放物線$y=x^2-4x+3$を$C$とおく．点$(2,\ -5)$から$C$に引いた$2$本の接線の方程式は$y=[ ]$と$y=[ ]$である．これら$2$本の接線と$C$で囲まれた図形の面積は$[ ]$である．
私立 東京都市大学 2013年 第3問$1$辺の長さが$2$の正四面体$\mathrm{OABC}$について，辺$\mathrm{OA}$を$3:1$に内分する点を$\mathrm{P}$，辺$\mathrm{OB}$を$1:3$に内分する点を$\mathrm{Q}$，辺$\mathrm{OC}$を$x:1-x$に内分する点を$\mathrm{R}$とおく．ただし，$0<x<1$とする．次の問に答えよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$の内積を求めよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とおくとき，$\overrightarrow{\mathrm{QP}}$，$\overrightarrow{\mathrm{QR}}$を$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$，$x$を用いて表せ．
(3)$\angle \mathrm{PQR}=90^\circ$であるとき，$x$の値を求めよ．
(4)$\angle \mathrm{PQR}=90^\circ$であるとき，$\triangle \mathrm{PQR}$の面積を求めよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$の内積を求めよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とおくとき，$\overrightarrow{\mathrm{QP}}$，$\overrightarrow{\mathrm{QR}}$を$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$，$x$を用いて表せ．
(3)$\angle \mathrm{PQR}=90^\circ$であるとき，$x$の値を求めよ．
(4)$\angle \mathrm{PQR}=90^\circ$であるとき，$\triangle \mathrm{PQR}$の面積を求めよ．
私立 埼玉工業大学 2013年 第4問一辺の長さが$1$の正四面体$\mathrm{ABCD}$がある．辺$\mathrm{BC}$の中点を$\mathrm{M}$とし，$\angle \mathrm{ADM}=\theta$としたとき，$\cos \theta$の値は$\displaystyle \frac{\sqrt{[ ]}}{[ ]}$である．頂点$\mathrm{A}$から$\mathrm{MD}$へ下ろした垂線を$\mathrm{AH}$とすると，$\mathrm{AH}$の長さは$\displaystyle \frac{\sqrt{[ ]}}{[ ]}$であり，この正四面体の体積は$\displaystyle \frac{\sqrt{[ ]}}{[][]}$である．また，この正四面体に内接する球の半径は$\displaystyle \frac{\sqrt{[ ]}}{[][]}$である．