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国立 鳥取大学 2013年 第1問平面上の$4$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$が，$\mathrm{OA}=5$，$\mathrm{OB}=3$，$\angle \mathrm{AOB}=75^\circ$，$4 \overrightarrow{\mathrm{OC}}+3 \overrightarrow{\mathrm{CA}}+5 \overrightarrow{\mathrm{CB}}=\overrightarrow{\mathrm{0}}$を満たしている．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とするとき，次の問いに答えよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(2)$2$直線$\mathrm{AB}$，$\mathrm{OC}$の交点を$\mathrm{D}$とするとき，$\mathrm{AD}:\mathrm{DB}$および$\mathrm{OD}:\mathrm{DC}$を求めよ．
(3)四角形$\mathrm{OACB}$および三角形$\mathrm{OAC}$の面積を求めよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(2)$2$直線$\mathrm{AB}$，$\mathrm{OC}$の交点を$\mathrm{D}$とするとき，$\mathrm{AD}:\mathrm{DB}$および$\mathrm{OD}:\mathrm{DC}$を求めよ．
(3)四角形$\mathrm{OACB}$および三角形$\mathrm{OAC}$の面積を求めよ．
国立 奈良女子大学 2013年 第1問半径$1$の外接円をもつ三角形$\mathrm{ABC}$の外心を$\mathrm{O}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とおく．$2 \overrightarrow{a}+3 \overrightarrow{b}+3 \overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{0}}$であるとき，次の問いに答えよ．
(1)内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$を求めよ．
(2)辺$\mathrm{AB}$，$\mathrm{AC}$の長さをそれぞれ求めよ．
(3)$\angle \mathrm{BAC}=\theta$とおく．$\cos \theta$の値を求めよ．
(1)内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$を求めよ．
(2)辺$\mathrm{AB}$，$\mathrm{AC}$の長さをそれぞれ求めよ．
(3)$\angle \mathrm{BAC}=\theta$とおく．$\cos \theta$の値を求めよ．
国立 琉球大学 2013年 第2問$\triangle \mathrm{ABC}$の$3$辺の長さが$\mathrm{AB}=6$，$\mathrm{BC}=5$，$\mathrm{CA}=4$であるとき，次の問いに答えよ．
(1)$\cos \angle \mathrm{BAC}$を求めよ．
(2)$\angle \mathrm{BAC}$の二等分線と辺$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{L}$とする．線分$\mathrm{AL}$の長さを求めよ．
(1)$\cos \angle \mathrm{BAC}$を求めよ．
(2)$\angle \mathrm{BAC}$の二等分線と辺$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{L}$とする．線分$\mathrm{AL}$の長さを求めよ．
国立 鹿児島大学 2013年 第1問次の各問いに答えよ．
(1)四角形$\mathrm{ABCD}$において，線分$\mathrm{AC}$と線分$\mathrm{BD}$の交点を$\mathrm{P}$とし，$\angle \mathrm{DAC}=\angle \mathrm{CBD}$，$\mathrm{AC}=8$，$\mathrm{AP}=2$，$\mathrm{PD}=4$とする．このとき$\mathrm{BD}$の長さを求めよ．
(2)平面上で$2$つの円を考える．共通接線がちょうど$3$本引けるような$2$つの円の位置関係の例を図示せよ．また，$3$本の共通接線も描け．
(3)$3$個のさいころを同時に投げるとき，$3$個の目の積が$3$の倍数である確率を求めよ．
(4)$a,\ b$を実数とする．命題「$ab=0$ならば，$a=0$かつ$b=0$」の逆と対偶を書き，それぞれの真偽を答えよ．
(1)四角形$\mathrm{ABCD}$において，線分$\mathrm{AC}$と線分$\mathrm{BD}$の交点を$\mathrm{P}$とし，$\angle \mathrm{DAC}=\angle \mathrm{CBD}$，$\mathrm{AC}=8$，$\mathrm{AP}=2$，$\mathrm{PD}=4$とする．このとき$\mathrm{BD}$の長さを求めよ．
(2)平面上で$2$つの円を考える．共通接線がちょうど$3$本引けるような$2$つの円の位置関係の例を図示せよ．また，$3$本の共通接線も描け．
(3)$3$個のさいころを同時に投げるとき，$3$個の目の積が$3$の倍数である確率を求めよ．
(4)$a,\ b$を実数とする．命題「$ab=0$ならば，$a=0$かつ$b=0$」の逆と対偶を書き，それぞれの真偽を答えよ．
国立 福井大学 2013年 第4問双曲線$\displaystyle C:\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1$上に点$\displaystyle \mathrm{A} \left( \frac{4}{\cos \theta},\ 3 \tan \theta \right)$，$\mathrm{B}(4,\ 0)$をとる．ただし，$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$とする．$\mathrm{A}$における$C$の接線と$\mathrm{B}$における$C$の接線との交点を$\mathrm{D}$とし，$C$の焦点のうち$x$座標が正であるものを$\mathrm{F}$とおく．このとき，以下の問いに答えよ．
(1)$\mathrm{D}$の座標を求めよ．
(2)$\displaystyle \tan \frac{\theta}{2}=m$とおく．$\tan \angle \mathrm{DFB}$を$m$を用いて表せ．
(3)直線$\mathrm{DF}$は$\angle \mathrm{AFB}$を$2$等分することを証明せよ．
(1)$\mathrm{D}$の座標を求めよ．
(2)$\displaystyle \tan \frac{\theta}{2}=m$とおく．$\tan \angle \mathrm{DFB}$を$m$を用いて表せ．
(3)直線$\mathrm{DF}$は$\angle \mathrm{AFB}$を$2$等分することを証明せよ．
国立 山形大学 2013年 第2問$\triangle \mathrm{OAB}$は，$\angle \mathrm{AOB}=90^\circ$，$\mathrm{OA}=\mathrm{OB}=1$を満たす．$3$辺$\mathrm{OA}$，$\mathrm{AB}$，$\mathrm{BO}$を$t:(1-t) \ (0<t<1)$に内分する点を，それぞれ$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$とし，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とするとき，次の問いに答えよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OE}}$，$\overrightarrow{\mathrm{CE}}$を$t,\ \overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$で表せ．
(2)$|\overrightarrow{\mathrm{OD}}|^2$，$|\overrightarrow{\mathrm{CE}}|^2$を$t$の式で表せ．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{OD}} \perp \overrightarrow{\mathrm{CE}}$を示せ．
(4)$\triangle \mathrm{CDE}$の面積を$S(t)$とする．
(i) $\displaystyle S(t)=\frac{3t^2-3t+1}{2}$を示せ．
(ii) $t$が$0<t<1$の範囲を動くとき，$S(t)$の最小値を求めよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OE}}$，$\overrightarrow{\mathrm{CE}}$を$t,\ \overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$で表せ．
(2)$|\overrightarrow{\mathrm{OD}}|^2$，$|\overrightarrow{\mathrm{CE}}|^2$を$t$の式で表せ．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{OD}} \perp \overrightarrow{\mathrm{CE}}$を示せ．
(4)$\triangle \mathrm{CDE}$の面積を$S(t)$とする．
(i) $\displaystyle S(t)=\frac{3t^2-3t+1}{2}$を示せ．
(ii) $t$が$0<t<1$の範囲を動くとき，$S(t)$の最小値を求めよ．
国立 群馬大学 2013年 第5問座標平面において，原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円周$C$上に定点$\mathrm{A}(-1,\ 0)$，$\mathrm{B}(1,\ 0)$をとる．$C$の上半円周（$y$座標が正の部分）上を動く点を$\mathrm{P}$，下半円周（$y$座標が負の部分）上を動く点を$\mathrm{Q}$とする．$\displaystyle \angle \mathrm{PAB}=\alpha \ \left( 0<\alpha<\frac{\pi}{2} \right)$，$\displaystyle \angle \mathrm{QAB}=\beta \ \left( 0<\beta<\frac{\pi}{2} \right)$とし，直線$\mathrm{PQ}$と$x$軸との交点を$\mathrm{R}(t,\ 0)$とする．
(1)$t$を$\alpha,\ \beta$を用いて表せ．
(2)$\displaystyle \alpha+\beta=\frac{\pi}{4}$のとき，$t$のとり得る値の範囲を求めよ．
(3)線分$\mathrm{PR}$の長さと線分$\mathrm{RQ}$の長さの比が$2:1$のとき，$t$を$\alpha$を用いて表せ．
(1)$t$を$\alpha,\ \beta$を用いて表せ．
(2)$\displaystyle \alpha+\beta=\frac{\pi}{4}$のとき，$t$のとり得る値の範囲を求めよ．
(3)線分$\mathrm{PR}$の長さと線分$\mathrm{RQ}$の長さの比が$2:1$のとき，$t$を$\alpha$を用いて表せ．
国立 岐阜大学 2013年 第1問$a,\ b$を正の実数とする．$xy$平面上の放物線$y=x^2-2ax$と直線$y=bx$は原点$\mathrm{O}$と点$\mathrm{A}$の異なる$2$点で交わる．また，放物線の頂点を$\mathrm{B}$とし，三角形$\mathrm{OAB}$を考える．以下の問に答えよ．
(1)点$\mathrm{A}$および点$\mathrm{B}$の座標を求めよ．
(2)三角形$\mathrm{OAB}$が直角三角形のとき，$a$と$b$の満たすべき条件を求めよ．
(3)$a=b$のとき，$\cos \angle \mathrm{AOB}$を$a$を用いて表せ．
(4)$a=b$のとき，三角形$\mathrm{OAB}$の面積を$a$を用いて表せ．
(1)点$\mathrm{A}$および点$\mathrm{B}$の座標を求めよ．
(2)三角形$\mathrm{OAB}$が直角三角形のとき，$a$と$b$の満たすべき条件を求めよ．
(3)$a=b$のとき，$\cos \angle \mathrm{AOB}$を$a$を用いて表せ．
(4)$a=b$のとき，三角形$\mathrm{OAB}$の面積を$a$を用いて表せ．
国立 岐阜大学 2013年 第6問中心を点$\mathrm{O}$とする半径$1$の円に内接する正六角形$H_1$があり，その頂点を反時計回りに$\mathrm{A}_1$，$\mathrm{B}_1$，$\mathrm{C}_1$，$\mathrm{D}_1$，$\mathrm{E}_1$，$\mathrm{F}_1$とする．辺$\mathrm{A}_1 \mathrm{B}_1$上に点$\mathrm{A}_2$を$\angle \mathrm{A}_1 \mathrm{OA}_2=15^\circ$を満たすようにとり，辺$\mathrm{B}_1 \mathrm{C}_1$上に点$\mathrm{B}_2$を$\angle \mathrm{B}_1 \mathrm{OB}_2=15^\circ$を満たすようにとる．同様に，図のように辺$\mathrm{C}_1 \mathrm{D}_1$，$\mathrm{D}_1 \mathrm{E}_1$，$\mathrm{E}_1 \mathrm{F}_1$，$\mathrm{F}_1 \mathrm{A}_1$上にそれぞれ点$\mathrm{C}_2$，$\mathrm{D}_2$，$\mathrm{E}_2$，$\mathrm{F}_2$をとり，点$\mathrm{A}_2$から点$\mathrm{F}_2$を頂点とする正六角形を$H_2$とおく． \\
上の操作を再び正六角形$H_2$に対して行い，辺$\mathrm{A}_2 \mathrm{B}_2$，$\mathrm{B}_2 \mathrm{C}_2$，$\mathrm{C}_2 \mathrm{D}_2$，$\mathrm{D}_2 \mathrm{E}_2$，$\mathrm{E}_2 \mathrm{F}_2$，$\mathrm{F}_2 \mathrm{A}_2$上にそれぞれ点$\mathrm{A}_3$，$\mathrm{B}_3$，$\mathrm{C}_3$，$\mathrm{D}_3$，$\mathrm{E}_3$，$\mathrm{F}_3$をとり，これらを頂点とする正六角形を$H_3$とおく．同様に$3$以上の整数$n$に対して，上の操作を正六角形$H_n$に行うことにより得られる正六角形を$H_{n+1}$とおく．以下の問に答えよ．
（図は省略）
(1)辺$\mathrm{OA}_2$の長さを求めよ．
(2)正六角形$H_2$の面積$S_2$を求めよ．
(3)正六角形$H_n$の面積$S_n$を$n$を用いて表せ．
上の操作を再び正六角形$H_2$に対して行い，辺$\mathrm{A}_2 \mathrm{B}_2$，$\mathrm{B}_2 \mathrm{C}_2$，$\mathrm{C}_2 \mathrm{D}_2$，$\mathrm{D}_2 \mathrm{E}_2$，$\mathrm{E}_2 \mathrm{F}_2$，$\mathrm{F}_2 \mathrm{A}_2$上にそれぞれ点$\mathrm{A}_3$，$\mathrm{B}_3$，$\mathrm{C}_3$，$\mathrm{D}_3$，$\mathrm{E}_3$，$\mathrm{F}_3$をとり，これらを頂点とする正六角形を$H_3$とおく．同様に$3$以上の整数$n$に対して，上の操作を正六角形$H_n$に行うことにより得られる正六角形を$H_{n+1}$とおく．以下の問に答えよ．
（図は省略）
(1)辺$\mathrm{OA}_2$の長さを求めよ．
(2)正六角形$H_2$の面積$S_2$を求めよ．
(3)正六角形$H_n$の面積$S_n$を$n$を用いて表せ．
国立 鳴門教育大学 2013年 第3問$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$を円周上の相異なる$3$点とし，$\mathrm{AB}=\mathrm{AC}$とする．点$\mathrm{A}$を含まない弧$\mathrm{BC}$上に点$\mathrm{P}$をとる．$\angle \mathrm{BPA}$を$\theta$と書く．次の問いに答えよ．
(1)$\mathrm{AB}$を$\mathrm{AP}$，$\mathrm{BP}$，$\theta$を用いて表せ．
(2)$\displaystyle \frac{\mathrm{BP}+\mathrm{PC}}{\mathrm{AP}}$の値は，点$\mathrm{P}$の取り方によらず一定であることを証明せよ．
(3)$\mathrm{BP}+\mathrm{PC}$の値が最大となる点$\mathrm{P}$を求めよ．
(1)$\mathrm{AB}$を$\mathrm{AP}$，$\mathrm{BP}$，$\theta$を用いて表せ．
(2)$\displaystyle \frac{\mathrm{BP}+\mathrm{PC}}{\mathrm{AP}}$の値は，点$\mathrm{P}$の取り方によらず一定であることを証明せよ．
(3)$\mathrm{BP}+\mathrm{PC}$の値が最大となる点$\mathrm{P}$を求めよ．