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国立 岩手大学 2013年 第1問次の問いに答えよ．
(1)$3$次方程式$x^3-3x^2-px-1=0$が$2$重解$\displaystyle -\frac{1}{2}$をもつとき，他の解と実数$p$の値を求めよ．
(2)三角形$\mathrm{ABC}$において，$\angle \mathrm{A}$，$\angle \mathrm{B}$，$\angle \mathrm{C}$の大きさをそれぞれ$A,\ B,\ C$で表し，辺$\mathrm{BC}$，辺$\mathrm{CA}$，辺$\mathrm{AB}$の長さをそれぞれ$a,\ b,\ c$で表すとき
\[ (a \sin A-b \sin B)\cos (A+B)=0 \]
ならば，$\triangle \mathrm{ABC}$はどのような三角形か．
(3)関数$f(x)=ax^r+b \ (x>0)$において，$f(2)=27$，$f(4)=87$，$f(8)=387$を満たすとき，$a,\ b$の値を求めよ．
(1)$3$次方程式$x^3-3x^2-px-1=0$が$2$重解$\displaystyle -\frac{1}{2}$をもつとき，他の解と実数$p$の値を求めよ．
(2)三角形$\mathrm{ABC}$において，$\angle \mathrm{A}$，$\angle \mathrm{B}$，$\angle \mathrm{C}$の大きさをそれぞれ$A,\ B,\ C$で表し，辺$\mathrm{BC}$，辺$\mathrm{CA}$，辺$\mathrm{AB}$の長さをそれぞれ$a,\ b,\ c$で表すとき
\[ (a \sin A-b \sin B)\cos (A+B)=0 \]
ならば，$\triangle \mathrm{ABC}$はどのような三角形か．
(3)関数$f(x)=ax^r+b \ (x>0)$において，$f(2)=27$，$f(4)=87$，$f(8)=387$を満たすとき，$a,\ b$の値を求めよ．
国立 岩手大学 2013年 第1問次の問いに答えよ．
(1)$3$次方程式$x^3-3x^2-px-1=0$が$2$重解$\displaystyle -\frac{1}{2}$をもつとき，他の解と実数$p$の値を求めよ．
(2)三角形$\mathrm{ABC}$において，$\angle \mathrm{A}$，$\angle \mathrm{B}$，$\angle \mathrm{C}$の大きさをそれぞれ$A,\ B,\ C$で表し，辺$\mathrm{BC}$，辺$\mathrm{CA}$，辺$\mathrm{AB}$の長さをそれぞれ$a,\ b,\ c$で表すとき
\[ (a \sin A-b \sin B)\cos (A+B)=0 \]
ならば，$\triangle \mathrm{ABC}$はどのような三角形か．
(3)関数$f(x)=ax^r+b \ (x>0)$において，$f(2)=27$，$f(4)=87$，$f(8)=387$を満たすとき，$a,\ b$の値を求めよ．
(1)$3$次方程式$x^3-3x^2-px-1=0$が$2$重解$\displaystyle -\frac{1}{2}$をもつとき，他の解と実数$p$の値を求めよ．
(2)三角形$\mathrm{ABC}$において，$\angle \mathrm{A}$，$\angle \mathrm{B}$，$\angle \mathrm{C}$の大きさをそれぞれ$A,\ B,\ C$で表し，辺$\mathrm{BC}$，辺$\mathrm{CA}$，辺$\mathrm{AB}$の長さをそれぞれ$a,\ b,\ c$で表すとき
\[ (a \sin A-b \sin B)\cos (A+B)=0 \]
ならば，$\triangle \mathrm{ABC}$はどのような三角形か．
(3)関数$f(x)=ax^r+b \ (x>0)$において，$f(2)=27$，$f(4)=87$，$f(8)=387$を満たすとき，$a,\ b$の値を求めよ．
国立 高知大学 2013年 第2問円に内接する四角形$\mathrm{ABCD}$において，$\mathrm{AB}=1$，$\mathrm{BC}=2$，$\mathrm{CD}=3$，$\mathrm{DA}=4$とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)$\mathrm{AC}$を求めよ．
(2)$\sin \angle \mathrm{ABC}$を求めよ．
(3)$\mathrm{A}$から直線$\mathrm{BC}$に下ろした垂線$\mathrm{AE}$の長さを求めよ．
(4)$\sin \angle \mathrm{ACB}$を求めよ．
(5)四角形$\mathrm{ABCD}$の面積を求めよ．
(1)$\mathrm{AC}$を求めよ．
(2)$\sin \angle \mathrm{ABC}$を求めよ．
(3)$\mathrm{A}$から直線$\mathrm{BC}$に下ろした垂線$\mathrm{AE}$の長さを求めよ．
(4)$\sin \angle \mathrm{ACB}$を求めよ．
(5)四角形$\mathrm{ABCD}$の面積を求めよ．
国立 宇都宮大学 2013年 第3問$\triangle \mathrm{ABC}$において，内部の点を$\mathrm{P}$とし，直線$\mathrm{AP}$と辺$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{D}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{PB}}+2 \overrightarrow{\mathrm{PC}}=\overrightarrow{\mathrm{AP}}$であるとき，次の問いに答えよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$を$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$を用いて表せ．
(2)比$\mathrm{AP}:\mathrm{PD}$と$\mathrm{BD}:\mathrm{DC}$を求めよ．
(3)直線$\mathrm{AP}$が$\triangle \mathrm{PBC}$の外接円の中心を通るとする．その外接円の半径を$1$とし，$\angle \mathrm{BPC}=120^\circ$とするとき，辺$\mathrm{BC}$の長さを求めよ．
(4)(3)と同じ条件のもとで，$\overrightarrow{\mathrm{PB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{PC}}$の内積を求めよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$を$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$を用いて表せ．
(2)比$\mathrm{AP}:\mathrm{PD}$と$\mathrm{BD}:\mathrm{DC}$を求めよ．
(3)直線$\mathrm{AP}$が$\triangle \mathrm{PBC}$の外接円の中心を通るとする．その外接円の半径を$1$とし，$\angle \mathrm{BPC}=120^\circ$とするとき，辺$\mathrm{BC}$の長さを求めよ．
(4)(3)と同じ条件のもとで，$\overrightarrow{\mathrm{PB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{PC}}$の内積を求めよ．
国立 滋賀大学 2013年 第1問円に内接する四角形$\mathrm{ABCD}$において，$\mathrm{AD}=2 \mathrm{AB}$とする．また，対角線$\mathrm{AC}$と$\mathrm{BD}$の交点$\mathrm{E}$が$\mathrm{BD}$を$3:2$に内分するとき，次の問いに答えよ．
(1)$\triangle \mathrm{ABC}$の面積を$S_1$，$\triangle \mathrm{ACD}$の面積を$S_2$とするとき，$S_1:S_2$を求めよ．
(2)$\mathrm{BC}:\mathrm{CD}$を求めよ．
(3)$\angle \mathrm{BAD}={120}^\circ$，$\mathrm{AB}=2$とするとき，四角形$\mathrm{ABCD}$の面積を求めよ．
(1)$\triangle \mathrm{ABC}$の面積を$S_1$，$\triangle \mathrm{ACD}$の面積を$S_2$とするとき，$S_1:S_2$を求めよ．
(2)$\mathrm{BC}:\mathrm{CD}$を求めよ．
(3)$\angle \mathrm{BAD}={120}^\circ$，$\mathrm{AB}=2$とするとき，四角形$\mathrm{ABCD}$の面積を求めよ．
国立 岩手大学 2013年 第1問次の問いに答えよ．
(1)$x>0$のとき，$\displaystyle e^{2x}>\frac{x^2}{2}$となることを示せ．
(2)$A=\left( \begin{array}{cc}
0 & p \\
1 & 0
\end{array} \right)$（$p$は実数）について，$A^4=E$かつ$A^2 \neq E$のとき，$p$の値を求めよ．ただし，$E$は単位行列とする．
(3)関数$f(x)=ax^r+b \ (x>0)$において，$f(2)=27$，$f(4)=87$，$f(8)=387$を満たすとき，$a,\ b$の値を求めよ．
(4)$\mathrm{O}$を原点とする座標平面上に$2$点$\mathrm{A}(2,\ 2 \sqrt{3})$，$\mathrm{B}(1,\ 0)$をとる．点$\mathrm{A}$を通り，直線$\mathrm{OA}$に直交する直線上に$\mathrm{OA}=\mathrm{AC}$となる点$\mathrm{C}$をとる．$\angle \mathrm{COB}=\theta$とするとき，$\tan \theta$の値を求めよ．ただし，$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$とする．
(1)$x>0$のとき，$\displaystyle e^{2x}>\frac{x^2}{2}$となることを示せ．
(2)$A=\left( \begin{array}{cc}
0 & p \\
1 & 0
\end{array} \right)$（$p$は実数）について，$A^4=E$かつ$A^2 \neq E$のとき，$p$の値を求めよ．ただし，$E$は単位行列とする．
(3)関数$f(x)=ax^r+b \ (x>0)$において，$f(2)=27$，$f(4)=87$，$f(8)=387$を満たすとき，$a,\ b$の値を求めよ．
(4)$\mathrm{O}$を原点とする座標平面上に$2$点$\mathrm{A}(2,\ 2 \sqrt{3})$，$\mathrm{B}(1,\ 0)$をとる．点$\mathrm{A}$を通り，直線$\mathrm{OA}$に直交する直線上に$\mathrm{OA}=\mathrm{AC}$となる点$\mathrm{C}$をとる．$\angle \mathrm{COB}=\theta$とするとき，$\tan \theta$の値を求めよ．ただし，$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$とする．
国立 福島大学 2013年 第2問直角三角形$\mathrm{ABC}$があり，$\displaystyle \angle \mathrm{A}=\frac{\pi}{2}$，$\angle \mathrm{B}=\theta$，$\mathrm{BC}=a$である．頂点$\mathrm{A}$から辺$\mathrm{BC}$に垂線$\mathrm{AP}_1$を下ろし，点$\mathrm{P}_1$から辺$\mathrm{AB}$に垂線$\mathrm{P}_1 \mathrm{Q}_1$を下ろす．同様に，点$\mathrm{Q}_1$から辺$\mathrm{BC}$に垂線$\mathrm{Q}_1 \mathrm{P}_2$を下ろし，点$\mathrm{P}_2$から辺$\mathrm{AB}$に垂線$\mathrm{P}_2 \mathrm{Q}$を下ろす．この操作を繰り返し，辺$\mathrm{BC}$上に点$\mathrm{P}_1$，$\mathrm{P}_2$，$\mathrm{P}_3$を，辺$\mathrm{AB}$上に点$\mathrm{Q}_1$，$\mathrm{Q}_2$，$\mathrm{Q}_3$をそれぞれ定める．また，$\mathrm{AP}_1$と$\mathrm{CQ}_1$の交点を$\mathrm{R}_1$，$\mathrm{Q}_1 \mathrm{P}_2$と$\mathrm{P}_1 \mathrm{Q}_2$の交点を$\mathrm{R}_2$，$\mathrm{Q}_2 \mathrm{P}_3$と$\mathrm{P}_2 \mathrm{Q}_3$の交点を$\mathrm{R}_3$とする．以下の問いに答えよ．
(1)$\mathrm{AP}_1$，$\mathrm{P}_1 \mathrm{Q}_1$の長さを求めよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{CR}}_1$を$\overrightarrow{\mathrm{CP}}_1$と$\overrightarrow{\mathrm{CA}}$を用いて表せ．
(3)$\triangle \mathrm{R}_1 \mathrm{P}_1 \mathrm{C}$の面積$S_1$を求めよ．
(4)$\triangle \mathrm{R}_3 \mathrm{P}_3 \mathrm{P}_2$の面積$S_3$を求めよ．
(1)$\mathrm{AP}_1$，$\mathrm{P}_1 \mathrm{Q}_1$の長さを求めよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{CR}}_1$を$\overrightarrow{\mathrm{CP}}_1$と$\overrightarrow{\mathrm{CA}}$を用いて表せ．
(3)$\triangle \mathrm{R}_1 \mathrm{P}_1 \mathrm{C}$の面積$S_1$を求めよ．
(4)$\triangle \mathrm{R}_3 \mathrm{P}_3 \mathrm{P}_2$の面積$S_3$を求めよ．
国立 佐賀大学 2013年 第3問$x$軸，$y$軸，$z$軸を座標軸，原点を$\mathrm{O}$とする座標空間において，$z$軸 \\
を中心軸とする半径$1$の円柱を考える．次に，$x$軸を含み$xy$平面と \\
のなす角が$\displaystyle \frac{\pi}{4}$となる平面を$\alpha$とし，平面$\alpha$による円柱の切り口の \\
曲線を$C$とする．また，点$\mathrm{A}(1,\ 0,\ 0)$とする．さらに，曲線$C$上 \\
の点$\mathrm{P}$から$xy$平面に下ろした垂線を$\mathrm{PQ}$とし，$\angle \mathrm{AOQ}=\theta$ \ \\
$(0 \leqq \theta<2\pi)$とする．このとき，次の問に答えよ．
\img{711_2927_2013_1}{48}
(1)点$\mathrm{P}$の座標を$\theta$を用いて表せ．
(2)点$\mathrm{A}$を通り$z$軸に平行な直線を$\ell$とする．$\ell$によって円柱の側面を切り開いた展開図の上に，曲線$C$の概形をかけ．
(3)図のように，平面$\alpha$と$yz$平面の交線を$Y$軸とする．$xY$平面における曲線$C$の方程式を求め，その概形をかけ．
（図は省略）
を中心軸とする半径$1$の円柱を考える．次に，$x$軸を含み$xy$平面と \\
のなす角が$\displaystyle \frac{\pi}{4}$となる平面を$\alpha$とし，平面$\alpha$による円柱の切り口の \\
曲線を$C$とする．また，点$\mathrm{A}(1,\ 0,\ 0)$とする．さらに，曲線$C$上 \\
の点$\mathrm{P}$から$xy$平面に下ろした垂線を$\mathrm{PQ}$とし，$\angle \mathrm{AOQ}=\theta$ \ \\
$(0 \leqq \theta<2\pi)$とする．このとき，次の問に答えよ．
\img{711_2927_2013_1}{48}
(1)点$\mathrm{P}$の座標を$\theta$を用いて表せ．
(2)点$\mathrm{A}$を通り$z$軸に平行な直線を$\ell$とする．$\ell$によって円柱の側面を切り開いた展開図の上に，曲線$C$の概形をかけ．
(3)図のように，平面$\alpha$と$yz$平面の交線を$Y$軸とする．$xY$平面における曲線$C$の方程式を求め，その概形をかけ．
（図は省略）
国立 小樽商科大学 2013年 第4問正方形$\mathrm{A}_1 \mathrm{B}_1 \mathrm{C}_1 \mathrm{D}_1$が下図のように与えられている．正方形$\mathrm{A}_2 \mathrm{B}_2 \mathrm{C}_2 \mathrm{D}_2$，正方形$\mathrm{A}_3 \mathrm{B}_3 \mathrm{C}_3 \mathrm{D}_3$，$\cdots$，正方形$\mathrm{A}_n \mathrm{B}_n \mathrm{C}_n \mathrm{D}_n$，正方形$\mathrm{A}_{n+1} \mathrm{B}_{n+1} \mathrm{C}_{n+1} \mathrm{D}_{n+1}$，$\cdots$を順に考える．ただし，$\mathrm{A}_{n+1}$，$\mathrm{B}_{n+1}$，$\mathrm{C}_{n+1}$，$\mathrm{D}_{n+1}$はそれぞれ順に$\mathrm{A}_n \mathrm{B}_n$，$\mathrm{B}_n \mathrm{C}_n$，$\mathrm{C}_n \mathrm{D}_n$，$\mathrm{D}_n \mathrm{A}_n$の中点，$\mathrm{O}$は$\mathrm{A}_1 \mathrm{C}_1$の中点である．正方形$\mathrm{A}_n \mathrm{B}_n \mathrm{C}_n \mathrm{D}_n$の面積を$S_n$とする．その時，$\displaystyle \frac{S_n}{S_1}$が初めて$\displaystyle \frac{1}{100}$以下となる$n$の値とその時の$\angle \mathrm{A}_1 \mathrm{OA}_n$を求めよ．$\log_{10}2=0.301$とする．
（図は省略）
（図は省略）
国立 鳥取大学 2013年 第1問平面上の$4$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$が，$\mathrm{OA}=5$，$\mathrm{OB}=3$，$\angle \mathrm{AOB}=75^\circ$，$4 \overrightarrow{\mathrm{OC}}+3 \overrightarrow{\mathrm{CA}}+5 \overrightarrow{\mathrm{CB}}=\overrightarrow{\mathrm{0}}$を満たしている．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とするとき，次の問いに答えよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(2)$2$直線$\mathrm{AB}$，$\mathrm{OC}$の交点を$\mathrm{D}$とするとき，$\mathrm{AD}:\mathrm{DB}$および$\mathrm{OD}:\mathrm{DC}$を求めよ．
(3)四角形$\mathrm{OACB}$および三角形$\mathrm{OAC}$の面積を求めよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(2)$2$直線$\mathrm{AB}$，$\mathrm{OC}$の交点を$\mathrm{D}$とするとき，$\mathrm{AD}:\mathrm{DB}$および$\mathrm{OD}:\mathrm{DC}$を求めよ．
(3)四角形$\mathrm{OACB}$および三角形$\mathrm{OAC}$の面積を求めよ．