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私立 西南学院大学 2014年 第5問円$\mathrm{O}$に内接する四角形$\mathrm{ABCD}$の$3$つの頂点の座標が，$\mathrm{B}(1,\ 1)$，$\mathrm{C}(8,\ 2)$，$\mathrm{D}(8,\ 8)$で与えられている．$\mathrm{AD}$と$\mathrm{BC}$の延長が$\mathrm{CD}$の右側で交わるように点$\mathrm{A}$をとる．$\mathrm{AD}$と$\mathrm{BC}$の延長が交わる点を$\mathrm{E}$とし，$\tan \angle \mathrm{CDE}=2$のとき，以下の問に答えよ．
(1)円$\mathrm{O}$の中心の座標を求めよ．
(2)点$\mathrm{A}$の座標を求めよ．
(3)$\mathrm{AB}$を通る直線の式を求めよ．
(1)円$\mathrm{O}$の中心の座標を求めよ．
(2)点$\mathrm{A}$の座標を求めよ．
(3)$\mathrm{AB}$を通る直線の式を求めよ．
私立 北海道医療大学 2014年 第2問三角形$\mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=\mathrm{AC}=l$，$\angle \mathrm{BAC}={108}^\circ$である．ただし，$l$は正の定数とする．この三角形の辺$\mathrm{BC}$上に点$\mathrm{D}$を$\mathrm{DA}=\mathrm{DB}$となるようにとり，$\angle \mathrm{ABC}=\theta$，$\mathrm{BD}=x$とするとき，以下の問に答えよ．
(1)以下の角度の値を求めよ．
$① \theta$ \qquad $② \angle \mathrm{CAD}$ \qquad $③ \angle \mathrm{CDA}$
(2)点$\mathrm{D}$から辺$\mathrm{AB}$へ下ろした垂線を$\mathrm{DE}$とするとき，三角形$\mathrm{BDE}$に着目して，$\cos \theta$を$x$と$l$を用いて表せ．
(3)点$\mathrm{A}$から辺$\mathrm{BC}$へ下ろした垂線を$\mathrm{AF}$とするとき，三角形$\mathrm{BAF}$に着目して，$\cos \theta$を$x$と$l$を用いて表せ．
(4)$x$を$l$を用いて表せ．
(5)$\cos \theta$の値を求めよ．
(6)三角形$\mathrm{ABC}$の外接円の半径と内接円の半径をそれぞれ$R,\ r$とするとき，次の$①$と$②$の値を分母を有理化して求めよ．
$\displaystyle ① \frac{R^2}{l^2}$ \qquad $\displaystyle ② \frac{r^2}{l^2}$
(1)以下の角度の値を求めよ．
$① \theta$ \qquad $② \angle \mathrm{CAD}$ \qquad $③ \angle \mathrm{CDA}$
(2)点$\mathrm{D}$から辺$\mathrm{AB}$へ下ろした垂線を$\mathrm{DE}$とするとき，三角形$\mathrm{BDE}$に着目して，$\cos \theta$を$x$と$l$を用いて表せ．
(3)点$\mathrm{A}$から辺$\mathrm{BC}$へ下ろした垂線を$\mathrm{AF}$とするとき，三角形$\mathrm{BAF}$に着目して，$\cos \theta$を$x$と$l$を用いて表せ．
(4)$x$を$l$を用いて表せ．
(5)$\cos \theta$の値を求めよ．
(6)三角形$\mathrm{ABC}$の外接円の半径と内接円の半径をそれぞれ$R,\ r$とするとき，次の$①$と$②$の値を分母を有理化して求めよ．
$\displaystyle ① \frac{R^2}{l^2}$ \qquad $\displaystyle ② \frac{r^2}{l^2}$
私立 西南学院大学 2014年 第4問半径$R$の円に内接する鋭角三角形$\mathrm{ABC}$の頂点$\mathrm{A}$から底辺$\mathrm{BC}$に下した垂線の足を$\mathrm{H}$とする．$\angle \mathrm{A}={45}^\circ$，$\mathrm{BH}=3$，$\mathrm{CH}=2$のとき，以下の値を求めよ．
(1)$\displaystyle \tan \angle \mathrm{BAH}=\frac{[ネ]}{[ノ]}$
(2)$\displaystyle \cos \angle \mathrm{CAH}=\frac{[ハ] \sqrt{[ヒフ]}}{[ヘホ]}$
(3)$\displaystyle R=\frac{[マ] \sqrt{[ミ]}}{[ム]}$
(1)$\displaystyle \tan \angle \mathrm{BAH}=\frac{[ネ]}{[ノ]}$
(2)$\displaystyle \cos \angle \mathrm{CAH}=\frac{[ハ] \sqrt{[ヒフ]}}{[ヘホ]}$
(3)$\displaystyle R=\frac{[マ] \sqrt{[ミ]}}{[ム]}$
私立 日本福祉大学 2014年 第1問直角三角形$\mathrm{ABC}$において$\theta=\angle \mathrm{ABC}$とする．$\mathrm{BC}=3 \sqrt{2}$，$\angle \mathrm{BCA}={90}^\circ$，$\displaystyle \tan \theta=\frac{1}{2}$のとき，$\mathrm{AB}$，$\mathrm{AC}$の長さを求めよ．
私立 愛知学院大学 2014年 第3問平行四辺形$\mathrm{ABCD}$において，$\mathrm{AB}=6$，$\mathrm{BC}=4$，$\displaystyle \cos \angle \mathrm{ABC}=\frac{1}{16}$とする．
\[ \mathrm{AC}=[ア],\quad \sin \angle \mathrm{ABC}=\frac{\sqrt{[イ][ウ][エ]}}{[オ][カ]} \]
であり，$\triangle \mathrm{ABC}$の外接円$\mathrm{O}$の半径を$R$，平行四辺形$\mathrm{ABCD}$の面積を$S$とすると，
\[ R=\frac{[キ][ク] \sqrt{[ケ][コ][サ]}}{[シ][ス][セ]},\quad S=\frac{[ソ]}{[タ]} \sqrt{[チ][ツ][テ]} \]
である．また
\[ \cos \angle \mathrm{BAD}=\frac{[ト][ナ]}{[ニ][ヌ]},\quad \mathrm{BD}=\sqrt{[ネノ]} \]
である．
\[ \mathrm{AC}=[ア],\quad \sin \angle \mathrm{ABC}=\frac{\sqrt{[イ][ウ][エ]}}{[オ][カ]} \]
であり，$\triangle \mathrm{ABC}$の外接円$\mathrm{O}$の半径を$R$，平行四辺形$\mathrm{ABCD}$の面積を$S$とすると，
\[ R=\frac{[キ][ク] \sqrt{[ケ][コ][サ]}}{[シ][ス][セ]},\quad S=\frac{[ソ]}{[タ]} \sqrt{[チ][ツ][テ]} \]
である．また
\[ \cos \angle \mathrm{BAD}=\frac{[ト][ナ]}{[ニ][ヌ]},\quad \mathrm{BD}=\sqrt{[ネノ]} \]
である．
公立 首都大学東京 2014年 第2問原点を$\mathrm{O}$とする座標平面において，点$\mathrm{A}$の座標を$(2,\ 0)$とし，点$\mathrm{P}$は直線$y=\sqrt{3}x$上にあるものとする．このとき，以下の問いに答えなさい．
(1)三角形$\mathrm{AOP}$の外接円の半径が$5$となるときの点$\mathrm{P}$の座標を求めなさい．
(2)$\angle \mathrm{P}={45}^\circ$となるときの点$\mathrm{P}$の座標を求めなさい．
(3)$\angle \mathrm{A}={45}^\circ$となるときの三角形$\mathrm{AOP}$の面積を求めなさい．
(1)三角形$\mathrm{AOP}$の外接円の半径が$5$となるときの点$\mathrm{P}$の座標を求めなさい．
(2)$\angle \mathrm{P}={45}^\circ$となるときの点$\mathrm{P}$の座標を求めなさい．
(3)$\angle \mathrm{A}={45}^\circ$となるときの三角形$\mathrm{AOP}$の面積を求めなさい．
公立 大阪市立大学 2014年 第3問図のような三角柱$\mathrm{ABC}$-$\mathrm{DEF}$が中心$\mathrm{O}$，半径$1$の球に内接している．すなわち，三角柱の頂点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$，$\mathrm{F}$はすべて，中心$\mathrm{O}$，半径$1$の球面上にある．また，三角形$\mathrm{ABC}$と三角形$\mathrm{DEF}$は合同な正三角形で，四角形$\mathrm{ADEB}$，四角形$\mathrm{BEFC}$，四角形$\mathrm{CFDA}$は合同な長方形であるとする．$\angle \mathrm{AOD}=2 \alpha$，$\angle \mathrm{AOB}=2 \beta$とおく．ただし，$\displaystyle 0<\alpha<\frac{\pi}{2}$，$\displaystyle 0<\beta<\frac{\pi}{3}$とする．次の問いに答えよ．
（図は省略）
(1)$\displaystyle \frac{\sin \beta}{\cos \alpha}$の値を求めよ．
(2)三角柱$\mathrm{ABC}$-$\mathrm{DEF}$の体積$V$を$\alpha$を用いて表せ．
(3)$V$の最大値を求めよ．
（図は省略）
(1)$\displaystyle \frac{\sin \beta}{\cos \alpha}$の値を求めよ．
(2)三角柱$\mathrm{ABC}$-$\mathrm{DEF}$の体積$V$を$\alpha$を用いて表せ．
(3)$V$の最大値を求めよ．
公立 札幌医科大学 2014年 第1問三角形$\mathrm{ABC}$に内接する半径$R$の円がある．内接円と辺$\mathrm{BC}$，$\mathrm{CA}$，$\mathrm{AB}$との接点をそれぞれ$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$，$\mathrm{F}$とする．また$\alpha=\angle \mathrm{A}$，$\beta=\angle \mathrm{B}$，$\gamma=\angle \mathrm{C}$とする．三角形$\mathrm{ABC}$の面積を$S_1$，三角形$\mathrm{DEF}$の面積を$S_2$とする．
(1)$S_1$を$\displaystyle R,\ \tan \frac{\alpha}{2},\ \tan \frac{\beta}{2},\ \tan \frac{\gamma}{2}$を用いて表せ．
(2)$S_2$を$\displaystyle R,\ \cos \frac{\alpha}{2},\ \cos \frac{\beta}{2},\ \cos \frac{\gamma}{2}$を用いて表せ．
以後$\displaystyle \gamma=\frac{\pi}{2}$とする．
(3)$\displaystyle \frac{S_2}{S_1}$を$\sin \alpha$と$\cos \alpha$を用いて表せ．
(4)$\displaystyle \frac{S_2}{S_1}$の最大値を求めよ．
(1)$S_1$を$\displaystyle R,\ \tan \frac{\alpha}{2},\ \tan \frac{\beta}{2},\ \tan \frac{\gamma}{2}$を用いて表せ．
(2)$S_2$を$\displaystyle R,\ \cos \frac{\alpha}{2},\ \cos \frac{\beta}{2},\ \cos \frac{\gamma}{2}$を用いて表せ．
以後$\displaystyle \gamma=\frac{\pi}{2}$とする．
(3)$\displaystyle \frac{S_2}{S_1}$を$\sin \alpha$と$\cos \alpha$を用いて表せ．
(4)$\displaystyle \frac{S_2}{S_1}$の最大値を求めよ．
公立 福島県立医科大学 2014年 第2問$\mathrm{OA}=\mathrm{OB}=1$，$\displaystyle \angle \mathrm{AOB}<\frac{\pi}{2}$の$\triangle \mathrm{OAB}$を含む平面を$H$とする．平面$H$上に無い点$\mathrm{C}$から平面$H$，直線$\mathrm{OA}$，直線$\mathrm{OB}$に下ろした垂線の足をそれぞれ$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$，$\mathrm{F}$とする．$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}$，$\overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}$，$p=\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$，$q=\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}$，$r=\overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{a}$として，以下の問いに答えよ．ただし，$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$は$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$の内積である．
(1)$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{\mathrm{DE}}=0$であることを示せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OE}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OF}}$をそれぞれ$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$および$p,\ q,\ r$で表せ．
(3)$\mathrm{EF}$の長さを$p,\ q,\ r$で表せ．
(4)$\displaystyle p=\frac{1}{5}$，$q=1$，$r=2$であるとき，$\mathrm{OD}$の長さを求めよ．
(1)$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{\mathrm{DE}}=0$であることを示せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OE}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OF}}$をそれぞれ$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$および$p,\ q,\ r$で表せ．
(3)$\mathrm{EF}$の長さを$p,\ q,\ r$で表せ．
(4)$\displaystyle p=\frac{1}{5}$，$q=1$，$r=2$であるとき，$\mathrm{OD}$の長さを求めよ．
公立 兵庫県立大学 2014年 第4問$2$つの数列$\{x_n\}$，$\{y_n\}$を，$x_1=1$，$y_1=0$，かつ，各自然数$n$に対して，
\[ x_{n+1}=x_n-y_n,\quad y_{n+1}=x_n+y_n \]
として定める．次の問に答えなさい．
(1)各自然数$n$に対して，${x_n}^2+{y_n}^2={2}^{n-1}$が成り立つことを示しなさい．
(2)各自然数$n$に対して，$x_{n+1}x_n+y_{n+1}y_n$および$x_{n+2}x_n+y_{n+2}y_n$の値を求めなさい．
(3)各自然数$n$に対して，$xy$平面上に点$\mathrm{P}_n(x_n,\ y_n)$をとる．このとき，$\angle \mathrm{P}_{n+1} \mathrm{OP}_n$と$\angle \mathrm{P}_{n+2} \mathrm{OP}_n$の大きさを求めなさい．ただし，点$\mathrm{O}$は$xy$平面の原点である．
(4)一般項$x_n,\ y_n$を各々求めなさい．
\[ x_{n+1}=x_n-y_n,\quad y_{n+1}=x_n+y_n \]
として定める．次の問に答えなさい．
(1)各自然数$n$に対して，${x_n}^2+{y_n}^2={2}^{n-1}$が成り立つことを示しなさい．
(2)各自然数$n$に対して，$x_{n+1}x_n+y_{n+1}y_n$および$x_{n+2}x_n+y_{n+2}y_n$の値を求めなさい．
(3)各自然数$n$に対して，$xy$平面上に点$\mathrm{P}_n(x_n,\ y_n)$をとる．このとき，$\angle \mathrm{P}_{n+1} \mathrm{OP}_n$と$\angle \mathrm{P}_{n+2} \mathrm{OP}_n$の大きさを求めなさい．ただし，点$\mathrm{O}$は$xy$平面の原点である．
(4)一般項$x_n,\ y_n$を各々求めなさい．