「角度」について
タグ「角度」の検索結果
（4ページ目：全901問中31問～40問を表示）
国立 香川大学 2016年 第3問平行四辺形$\mathrm{ABCD}$は，$\mathrm{AB}=2$，$\mathrm{AD}=3$，$\displaystyle \cos \angle \mathrm{BAD}=\frac{1}{3}$を満たしているとする．直線$\mathrm{BC}$上に$\mathrm{BC} \perp \mathrm{AP}$となる点$\mathrm{P}$をとり，直線$\mathrm{BD}$上に$\mathrm{BD} \perp \mathrm{AQ}$となる点$\mathrm{Q}$をとる．$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{AD}}=\overrightarrow{b}$とおくとき，次の問に答えよ．
(1)内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$を求めよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AQ}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$で表せ．
(3)$|\overrightarrow{\mathrm{AP|}}$と$|\overrightarrow{\mathrm{AQ|}}$を求めよ．
(4)$|\overrightarrow{\mathrm{PQ|}}$を求めよ．
(1)内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$を求めよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AQ}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$で表せ．
(3)$|\overrightarrow{\mathrm{AP|}}$と$|\overrightarrow{\mathrm{AQ|}}$を求めよ．
(4)$|\overrightarrow{\mathrm{PQ|}}$を求めよ．
国立 熊本大学 2016年 第1問下図のように，$\triangle \mathrm{ABC}$の外部に$3$点$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$，$\mathrm{F}$を$\triangle \mathrm{ABD}$，$\triangle \mathrm{BCE}$，$\triangle \mathrm{CAF}$がそれぞれ正三角形になるようにとる．$\triangle \mathrm{ABC}$の面積を$S$，$3$辺の長さを$\mathrm{BC}=a$，$\mathrm{CA}=b$，$\mathrm{AB}=c$とおくとき，以下の問いに答えよ．
（図は省略）
(1)$\angle \mathrm{BAC}=\theta$とおくとき，$\sin \theta$を$b,\ c,\ S$を用いて，$\cos \theta$を$a,\ b,\ c$を用いて表せ．
(2)$\mathrm{DC}^2$を$a,\ b,\ c,\ S$を用いて表し，$\mathrm{DC}^2=\mathrm{EA}^2=\mathrm{FB}^2$が成り立つことを示せ．
(3)$3$つの正三角形の面積の平均を$T$とおくとき，$\mathrm{DC}^2$を$S$と$T$を用いて表せ．
（図は省略）
(1)$\angle \mathrm{BAC}=\theta$とおくとき，$\sin \theta$を$b,\ c,\ S$を用いて，$\cos \theta$を$a,\ b,\ c$を用いて表せ．
(2)$\mathrm{DC}^2$を$a,\ b,\ c,\ S$を用いて表し，$\mathrm{DC}^2=\mathrm{EA}^2=\mathrm{FB}^2$が成り立つことを示せ．
(3)$3$つの正三角形の面積の平均を$T$とおくとき，$\mathrm{DC}^2$を$S$と$T$を用いて表せ．
国立 香川大学 2016年 第3問平行四辺形$\mathrm{ABCD}$は，$\mathrm{AB}=2$，$\mathrm{AD}=3$，$\displaystyle \cos \angle \mathrm{BAD}=\frac{1}{3}$を満たしているとする．直線$\mathrm{BC}$上に$\mathrm{BC} \perp \mathrm{AP}$となる点$\mathrm{P}$をとり，直線$\mathrm{BD}$上に$\mathrm{BD} \perp \mathrm{AQ}$となる点$\mathrm{Q}$をとる．$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{AD}}=\overrightarrow{b}$とおくとき，次の問に答えよ．
(1)内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$を求めよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AQ}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$で表せ．
(3)$|\overrightarrow{\mathrm{AP|}}$と$|\overrightarrow{\mathrm{AQ|}}$を求めよ．
(4)$|\overrightarrow{\mathrm{PQ|}}$を求めよ．
(1)内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$を求めよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AQ}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$で表せ．
(3)$|\overrightarrow{\mathrm{AP|}}$と$|\overrightarrow{\mathrm{AQ|}}$を求めよ．
(4)$|\overrightarrow{\mathrm{PQ|}}$を求めよ．
国立 佐賀大学 2016年 第2問空間に$3$点$\mathrm{A}(1,\ 2,\ 6)$，$\mathrm{B}(7,\ 0,\ 9)$，$\mathrm{C}(s,\ t,\ 0)$がある．ただし，$s,\ t$は実数とする．このとき，次の問に答えよ．
(1)内積$\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}$を$s$と$t$を用いて表せ．
(2)$|\overrightarrow{\mathrm{AB|}}=|\overrightarrow{\mathrm{AC|}}$となるとき，$s$と$t$の関係式を求めよ．
(3)$\triangle \mathrm{ABC}$が$\angle \mathrm{BAC}={90}^\circ$の直角二等辺三角形となるとき，$s$と$t$の値を求めよ．
(1)内積$\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}$を$s$と$t$を用いて表せ．
(2)$|\overrightarrow{\mathrm{AB|}}=|\overrightarrow{\mathrm{AC|}}$となるとき，$s$と$t$の関係式を求めよ．
(3)$\triangle \mathrm{ABC}$が$\angle \mathrm{BAC}={90}^\circ$の直角二等辺三角形となるとき，$s$と$t$の値を求めよ．
国立 熊本大学 2016年 第1問$\triangle \mathrm{ABC}$と，$\mathrm{A}$を通り$\mathrm{BC}$に平行な直線$\ell$を考える．$k$を正の数とし，直線$\ell$上に点$\mathrm{P}$を$\overrightarrow{\mathrm{AP}}=k \overrightarrow{\mathrm{BC}}$となるようにとる．また直線$\ell$上に点$\mathrm{Q}$を，線分$\mathrm{PB}$と線分$\mathrm{QC}$が$1$点で交わるようにとる．その交点を$\mathrm{R}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{c}$とおき，また$m$を$\overrightarrow{\mathrm{AQ}}=m \overrightarrow{\mathrm{AP}}$により定める．以下の問いに答えよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{AR}}$を$\overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c},\ k,\ m$を用いて表せ．
(2)$|\overrightarrow{b|}=1$，$|\overrightarrow{c|}=2$，$\displaystyle \cos \angle \mathrm{BAC}=\frac{3}{4}$，$m=-1$とする．$\overrightarrow{\mathrm{BR}}$と$\overrightarrow{\mathrm{CR}}$が直交するとき，$k$の値を求めよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{AR}}$を$\overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c},\ k,\ m$を用いて表せ．
(2)$|\overrightarrow{b|}=1$，$|\overrightarrow{c|}=2$，$\displaystyle \cos \angle \mathrm{BAC}=\frac{3}{4}$，$m=-1$とする．$\overrightarrow{\mathrm{BR}}$と$\overrightarrow{\mathrm{CR}}$が直交するとき，$k$の値を求めよ．
国立 和歌山大学 2016年 第5問複素数平面上に原点$\mathrm{O}$と$3$点$\mathrm{A}(5)$，$\mathrm{B}(-10-5i)$，$\mathrm{C}(3+4i)$をとる．$\triangle \mathrm{OAB}$を，点$\mathrm{O}$が点$\mathrm{C}$に重なるように平行移動し，さらに点$\mathrm{C}$のまわりに$\theta$だけ回転した．このとき，点$\mathrm{A}$は点$\mathrm{A}^\prime(\alpha)$に，点$\mathrm{B}$は点$\mathrm{B}^\prime(\beta)$に移った．ただし，$\displaystyle -\frac{\pi}{2}<\theta \leqq \frac{\pi}{2}$とし，$\alpha,\ \beta$は複素数とする．$3$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{A}^\prime$が一直線上にあるとき，次の問いに答えよ．
(1)$\alpha,\ \sin \theta$の値を求めよ．
(2)$\beta$の値を求めよ．
(3)$\angle \mathrm{B}^\prime \mathrm{OA}^\prime$の大きさを求めよ．
(1)$\alpha,\ \sin \theta$の値を求めよ．
(2)$\beta$の値を求めよ．
(3)$\angle \mathrm{B}^\prime \mathrm{OA}^\prime$の大きさを求めよ．
国立 宮崎大学 2016年 第5問$k>0$，$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$とする．座標平面上の原点$\mathrm{O}$，点$\mathrm{A}(0,\ 1)$に対し，第一象限の点$\mathrm{P}$を，$\angle \mathrm{AOP}=\theta$を満たすように円$D:x^2+y^2=1$上にとり，直線$\mathrm{OP}$と直線$x=k \theta$との交点を$\mathrm{Q}$とする．$\theta$を$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$の範囲で動かすときの点$\mathrm{Q}$の軌跡を曲線$y=f(x)$とし，関数$\displaystyle y=g(x)=\frac{f(x)}{x}$で定める曲線を$C$とする．このとき，次の各問に答えよ．
(1)$r(\theta)=\mathrm{OQ}$とするとき，$\displaystyle \lim_{\theta \to +0} r(\theta)$の値を求めよ．
(2)点$\mathrm{Q}$がつねに円$D$の内部にあるための$k$の条件を求めよ．
(3)関数$g(x)$の増減と凹凸を調べ，曲線$C$の概形をかけ．
(4)曲線$C$と$x$軸および$2$直線$\displaystyle x=\frac{\pi}{4}k$，$\displaystyle x=\frac{\pi}{3}k$とで囲まれた図形を$x$軸のまわりに$1$回転させてできる立体の体積を，$k$を用いて表せ．
(1)$r(\theta)=\mathrm{OQ}$とするとき，$\displaystyle \lim_{\theta \to +0} r(\theta)$の値を求めよ．
(2)点$\mathrm{Q}$がつねに円$D$の内部にあるための$k$の条件を求めよ．
(3)関数$g(x)$の増減と凹凸を調べ，曲線$C$の概形をかけ．
(4)曲線$C$と$x$軸および$2$直線$\displaystyle x=\frac{\pi}{4}k$，$\displaystyle x=\frac{\pi}{3}k$とで囲まれた図形を$x$軸のまわりに$1$回転させてできる立体の体積を，$k$を用いて表せ．
国立 お茶の水女子大学 2016年 第2問空間に$5$点$\mathrm{O}(0,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{A}(a,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{B}(b,\ c,\ 0)$，$\mathrm{C}(d,\ e,\ 4)$，$\mathrm{T}(d,\ e,\ t)$があり，このうちの$4$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$が正四面体の頂点になっているとする．ただし，$a,\ b,\ c,\ d,\ e$はいずれも正の実数で，$0<t<4$とする．
(1)$a,\ b,\ c,\ d,\ e$の値を求めよ．
(2)$\cos \angle \mathrm{OTA}$を$t$を用いて表せ．
(3)$\angle \mathrm{OTC}=\angle \mathrm{OTA}$となるときの$t$の値を求めよ．また，そのときの$\cos \angle \mathrm{OTA}$の値と三角形$\mathrm{OTA}$の面積を求めよ．
(1)$a,\ b,\ c,\ d,\ e$の値を求めよ．
(2)$\cos \angle \mathrm{OTA}$を$t$を用いて表せ．
(3)$\angle \mathrm{OTC}=\angle \mathrm{OTA}$となるときの$t$の値を求めよ．また，そのときの$\cos \angle \mathrm{OTA}$の値と三角形$\mathrm{OTA}$の面積を求めよ．
国立 お茶の水女子大学 2016年 第2問空間に$5$点$\mathrm{O}(0,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{A}(a,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{B}(b,\ c,\ 0)$，$\mathrm{C}(d,\ e,\ 4)$，$\mathrm{T}(d,\ e,\ t)$があり，このうちの$4$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$が正四面体の頂点になっているとする．ただし，$a,\ b,\ c,\ d,\ e$はいずれも正の実数で，$0<t<4$とする．
(1)$a,\ b,\ c,\ d,\ e$の値を求めよ．
(2)$\cos \angle \mathrm{OTA}$を$t$を用いて表せ．
(3)$\angle \mathrm{OTC}=\angle \mathrm{OTA}$となるときの$t$の値を求めよ．また，そのときの$\cos \angle \mathrm{OTA}$の値と三角形$\mathrm{OTA}$の面積を求めよ．
(1)$a,\ b,\ c,\ d,\ e$の値を求めよ．
(2)$\cos \angle \mathrm{OTA}$を$t$を用いて表せ．
(3)$\angle \mathrm{OTC}=\angle \mathrm{OTA}$となるときの$t$の値を求めよ．また，そのときの$\cos \angle \mathrm{OTA}$の値と三角形$\mathrm{OTA}$の面積を求めよ．
国立 お茶の水女子大学 2016年 第2問空間に$5$点$\mathrm{O}(0,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{A}(a,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{B}(b,\ c,\ 0)$，$\mathrm{C}(d,\ e,\ 4)$，$\mathrm{T}(d,\ e,\ t)$があり，このうちの$4$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$が正四面体の頂点になっているとする．ただし，$a,\ b,\ c,\ d,\ e$はいずれも正の実数で，$0<t<4$とする．
(1)$a,\ b,\ c,\ d,\ e$の値を求めよ．
(2)$\cos \angle \mathrm{OTA}$を$t$を用いて表せ．
(3)$\angle \mathrm{OTC}=\angle \mathrm{OTA}$となるときの$t$の値を求めよ．また，そのときの$\cos \angle \mathrm{OTA}$の値と三角形$\mathrm{OTA}$の面積を求めよ．
(1)$a,\ b,\ c,\ d,\ e$の値を求めよ．
(2)$\cos \angle \mathrm{OTA}$を$t$を用いて表せ．
(3)$\angle \mathrm{OTC}=\angle \mathrm{OTA}$となるときの$t$の値を求めよ．また，そのときの$\cos \angle \mathrm{OTA}$の値と三角形$\mathrm{OTA}$の面積を求めよ．