「角度」について
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私立 自治医科大学 2014年 第12問辺$\mathrm{AB}$の長さが$3$，辺$\mathrm{AC}$の長さが$2$，$\angle \mathrm{BAC}=60^\circ$である$\triangle \mathrm{ABC}$について考える．$\triangle \mathrm{ABC}$の外接円の中心を$\mathrm{O}$とする．$\triangle \mathrm{ABC}$の面積を$S_1$，$\triangle \mathrm{OAB}$の面積を$S_2$としたとき，$\displaystyle \frac{S_1}{S_2}$の値を求めよ．
私立 北星学園大学 2014年 第3問$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=3$，$\mathrm{BC}=7$，$\mathrm{CA}=5$とする．以下の問に答えよ．
(1)$\angle \mathrm{A}$の大きさを求めよ．
(2)外接円の半径を求めよ．
(3)$\angle \mathrm{A}$の$2$等分線と$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{D}$とするとき，$\mathrm{AD}$の長さを求めよ．
(1)$\angle \mathrm{A}$の大きさを求めよ．
(2)外接円の半径を求めよ．
(3)$\angle \mathrm{A}$の$2$等分線と$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{D}$とするとき，$\mathrm{AD}$の長さを求めよ．
私立 東北医科薬科大学 2014年 第3問三角形$\mathrm{OAB}$において線分$\mathrm{OA}$を$2:5$に内分する点を$\mathrm{C}$，線分$\mathrm{OB}$を$1:3$に内分する点を$\mathrm{D}$とおく．このとき，次の問に答えなさい．
(1)$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{CD}}=\frac{[アイ]}{[ウ]} \overrightarrow{\mathrm{OA}}+\frac{[エ]}{[オ]} \overrightarrow{\mathrm{OB}}$である．
(2)線分$\mathrm{CD}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{E}$とおくと$\overrightarrow{\mathrm{OE}}=\frac{[カ]}{[キク]} \overrightarrow{\mathrm{OA}}+\frac{[ケ]}{[コ]} \overrightarrow{\mathrm{OB}}$である．
(3)三角形$\mathrm{OAB}$は$3$辺の長さの比が$\mathrm{OA}:\mathrm{OB}:\mathrm{AB}=5:4:7$で，外接円の半径が$\displaystyle \frac{35 \sqrt{6}}{12}$とする．このとき$\displaystyle \cos \angle \mathrm{AOB}=\frac{[サシ]}{[ス]}$であり，また三角形$\mathrm{OAB}$の面積は$[セソ] \sqrt{[タ]}$である．
(4)$\alpha,\ \beta$は実数で，点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$は$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\alpha \overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=\beta \overrightarrow{\mathrm{OB}}$を満たす点とする．$3$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{E}$，$\mathrm{Q}$が同一直線上にあり，$\overrightarrow{\mathrm{PD}}$と$\overrightarrow{\mathrm{CQ}}$が平行である．ただし点$\mathrm{P}$は点$\mathrm{C}$と異なるとするとき$\displaystyle \alpha=\frac{[チ]}{[ツ]}$，$\displaystyle \beta=\frac{[テ]}{[ト]}$である．
(1)$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{CD}}=\frac{[アイ]}{[ウ]} \overrightarrow{\mathrm{OA}}+\frac{[エ]}{[オ]} \overrightarrow{\mathrm{OB}}$である．
(2)線分$\mathrm{CD}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{E}$とおくと$\overrightarrow{\mathrm{OE}}=\frac{[カ]}{[キク]} \overrightarrow{\mathrm{OA}}+\frac{[ケ]}{[コ]} \overrightarrow{\mathrm{OB}}$である．
(3)三角形$\mathrm{OAB}$は$3$辺の長さの比が$\mathrm{OA}:\mathrm{OB}:\mathrm{AB}=5:4:7$で，外接円の半径が$\displaystyle \frac{35 \sqrt{6}}{12}$とする．このとき$\displaystyle \cos \angle \mathrm{AOB}=\frac{[サシ]}{[ス]}$であり，また三角形$\mathrm{OAB}$の面積は$[セソ] \sqrt{[タ]}$である．
(4)$\alpha,\ \beta$は実数で，点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$は$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\alpha \overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=\beta \overrightarrow{\mathrm{OB}}$を満たす点とする．$3$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{E}$，$\mathrm{Q}$が同一直線上にあり，$\overrightarrow{\mathrm{PD}}$と$\overrightarrow{\mathrm{CQ}}$が平行である．ただし点$\mathrm{P}$は点$\mathrm{C}$と異なるとするとき$\displaystyle \alpha=\frac{[チ]}{[ツ]}$，$\displaystyle \beta=\frac{[テ]}{[ト]}$である．
私立 近畿大学 2014年 第1問円$C_1$に内接する四角形$\mathrm{ABCD}$があり，$2$つの辺の長さが$\mathrm{AB}=1$，$\mathrm{BC}=2$となっている．$\angle \mathrm{ABC}=\theta$とおく．次の問に答えよ．
(1)$\mathrm{AC}^2=m+n \cos \theta$と表すと$m=[ア]$，$n=[イ]$である．ただし$m,\ n$は整数とする．
(2)四角形$\mathrm{ABCD}$の残りの辺の長さが$\mathrm{CD}=2$，$\mathrm{DA}=4$となっている．このとき$\cos \theta=[ウ]$，$\mathrm{AC}=[エ]$である．また円$C_1$の半径は$[オ]$，四角形$\mathrm{ABCD}$の面積は$[カ]$である．
(1)$\mathrm{AC}^2=m+n \cos \theta$と表すと$m=[ア]$，$n=[イ]$である．ただし$m,\ n$は整数とする．
(2)四角形$\mathrm{ABCD}$の残りの辺の長さが$\mathrm{CD}=2$，$\mathrm{DA}=4$となっている．このとき$\cos \theta=[ウ]$，$\mathrm{AC}=[エ]$である．また円$C_1$の半径は$[オ]$，四角形$\mathrm{ABCD}$の面積は$[カ]$である．
私立 近畿大学 2014年 第2問$s$を$0<s<1$の範囲にある実数とする．$\triangle \mathrm{ABC}$において辺$\mathrm{AC}$を$2:3$に内分する点を$\mathrm{D}$，辺$\mathrm{BC}$を$s:1-s$に内分する点を$\mathrm{E}$とする．また線分$\mathrm{BD}$と線分$\mathrm{AE}$の交点を$\mathrm{F}$とする．次の問に答えよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{AF}}=k \overrightarrow{\mathrm{AE}}$とおく．$k$を$s$を用いて表せ．
(2)$\triangle \mathrm{AFD}$の面積が$\triangle \mathrm{EFB}$の面積の$2$倍になるように$s$を定めよ．
(3)$\mathrm{AB}=3$，$\mathrm{AC}=2$，$\angle \mathrm{BAC}=60^\circ$とする．$\overrightarrow{\mathrm{AE}} \perp \overrightarrow{\mathrm{BC}}$となるように$s$を定めよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{AF}}=k \overrightarrow{\mathrm{AE}}$とおく．$k$を$s$を用いて表せ．
(2)$\triangle \mathrm{AFD}$の面積が$\triangle \mathrm{EFB}$の面積の$2$倍になるように$s$を定めよ．
(3)$\mathrm{AB}=3$，$\mathrm{AC}=2$，$\angle \mathrm{BAC}=60^\circ$とする．$\overrightarrow{\mathrm{AE}} \perp \overrightarrow{\mathrm{BC}}$となるように$s$を定めよ．
私立 福岡大学 2014年 第5問$4$点$\mathrm{O}(0,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{A}(\sqrt{2},\ 0,\ 0)$，$\mathrm{B}(0,\ y,\ 0)$，$\mathrm{C}(0,\ 0,\ \sqrt{5})$を頂点とする四面体$\mathrm{OABC}$において，$y>0$，$\displaystyle \angle \mathrm{ABC}=\frac{\pi}{3}$とする．このとき$y$の値を求めると$y=[ ]$である．また，原点$\mathrm{O}$から$\triangle \mathrm{ABC}$に下ろした垂線の足を$\mathrm{H}$とする．このとき，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$を成分で表すと$[ ]$である．
私立 京都薬科大学 2014年 第2問次の$[ ]$にあてはまる数を記入せよ．
$\triangle \mathrm{ABC}$において，頂点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$に向かい合う辺$\mathrm{BC}$，$\mathrm{CA}$，$\mathrm{AB}$の長さを，それぞれ$a,\ b,\ c$で表し，$\angle \mathrm{A}$，$\angle \mathrm{B}$，$\angle \mathrm{C}$の大きさを，それぞれ$A,\ B,\ C$で表す．
$\displaystyle \cos A=\frac{24}{25}$，$\displaystyle \cos B=\frac{20}{29}$，$c=92$のとき，$\sin A=[ア]$であり，$\sin B=[イ]$である．したがって，$\sin C=[ウ]$，$\cos C=[エ]$となる．これより$a=[オ]$，$b=[カ]$である．
$\triangle \mathrm{ABC}$において，頂点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$に向かい合う辺$\mathrm{BC}$，$\mathrm{CA}$，$\mathrm{AB}$の長さを，それぞれ$a,\ b,\ c$で表し，$\angle \mathrm{A}$，$\angle \mathrm{B}$，$\angle \mathrm{C}$の大きさを，それぞれ$A,\ B,\ C$で表す．
$\displaystyle \cos A=\frac{24}{25}$，$\displaystyle \cos B=\frac{20}{29}$，$c=92$のとき，$\sin A=[ア]$であり，$\sin B=[イ]$である．したがって，$\sin C=[ウ]$，$\cos C=[エ]$となる．これより$a=[オ]$，$b=[カ]$である．
私立 龍谷大学 2014年 第3問三角形$\mathrm{OAB}$において，$\mathrm{OA}=1$，$\mathrm{OB}=2$，$\mathrm{AB}=\sqrt{2}$とする．$\angle \mathrm{O}$の$2$等分線上の点$\mathrm{P}$を考える．
(1)内積$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}$の値を求めなさい．
(2)$\mathrm{OP}=1$とする．実数$s,\ t$を使って$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=s \overrightarrow{\mathrm{OA}}+t \overrightarrow{\mathrm{OB}}$と表すとき，$s,\ t$を求めなさい．
(1)内積$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}$の値を求めなさい．
(2)$\mathrm{OP}=1$とする．実数$s,\ t$を使って$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=s \overrightarrow{\mathrm{OA}}+t \overrightarrow{\mathrm{OB}}$と表すとき，$s,\ t$を求めなさい．
私立 大阪工業大学 2014年 第2問円$C:x^2+y^2=20$と直線$y=2x$の第$1$象限にある共有点を$\mathrm{P}$とし，$x$軸に関して点$\mathrm{P}$と対称な点を$\mathrm{Q}$とする．このとき，次の空所を埋めよ．
(1)点$\mathrm{P}$の座標は$([ア],\ [イ])$であり，点$\mathrm{Q}$の座標は$([ウ],\ [エ])$である．
(2)円$C$の点$\mathrm{P}$における接線$\ell$の方程式は$[オ]$である．
(3)$(2)$で求めた接線$\ell$と$x$軸の共有点$\mathrm{M}$の$x$座標は$[カ]$である．
(4)$\overrightarrow{\mathrm{MP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{MQ}}=[キ]$であり，$|\overrightarrow{\mathrm{MP}}|=[ク]$である．また，$\cos \angle \mathrm{PMQ}=[ケ]$である．
(1)点$\mathrm{P}$の座標は$([ア],\ [イ])$であり，点$\mathrm{Q}$の座標は$([ウ],\ [エ])$である．
(2)円$C$の点$\mathrm{P}$における接線$\ell$の方程式は$[オ]$である．
(3)$(2)$で求めた接線$\ell$と$x$軸の共有点$\mathrm{M}$の$x$座標は$[カ]$である．
(4)$\overrightarrow{\mathrm{MP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{MQ}}=[キ]$であり，$|\overrightarrow{\mathrm{MP}}|=[ク]$である．また，$\cos \angle \mathrm{PMQ}=[ケ]$である．
私立 京都薬科大学 2014年 第1問次の$[ ]$にあてはまる数または式を記入せよ．
(1)$a$を実数の定数として，放物線$y=2x^2-(a+3)x+a+1$のグラフの頂点は$([ア],\ [イ])$で，この点は$a$の値にかかわらず，放物線$y=[ウ]x^2+[エ]x-[オ]$上にある．
(2)平面上の直線$y=2x+1$と点$(0,\ 1)$において${45}^\circ$の角度で交わる直線は$2$つあり，これらの直線の方程式は，$[カ]$と$[キ]$である．
(3)$5$つの数$\sqrt[3]{4}$，$1$，$16^{\frac{1}{5}}$，$\log_43$，$\log_32$を小さいほうから順に並べると
\[ [ク]<[ケ]<[コ]<[サ]<[シ] \]
となる．
(4)方程式$7x+19y=2014$を満たす自然数の組$(x,\ y)$は$[ス]$個ある．
(1)$a$を実数の定数として，放物線$y=2x^2-(a+3)x+a+1$のグラフの頂点は$([ア],\ [イ])$で，この点は$a$の値にかかわらず，放物線$y=[ウ]x^2+[エ]x-[オ]$上にある．
(2)平面上の直線$y=2x+1$と点$(0,\ 1)$において${45}^\circ$の角度で交わる直線は$2$つあり，これらの直線の方程式は，$[カ]$と$[キ]$である．
(3)$5$つの数$\sqrt[3]{4}$，$1$，$16^{\frac{1}{5}}$，$\log_43$，$\log_32$を小さいほうから順に並べると
\[ [ク]<[ケ]<[コ]<[サ]<[シ] \]
となる．
(4)方程式$7x+19y=2014$を満たす自然数の組$(x,\ y)$は$[ス]$個ある．