「角度」について
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国立 群馬大学 2014年 第4問座標平面において，$4$直線$y=2$，$y=-4$，$x=-3$，$x=5$上にそれぞれ点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$をとる．この$4$点を頂点とする四角形が$\displaystyle \angle \mathrm{ABC}=\frac{\pi}{2}$となる正方形であるとき，点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$の座標を求めよ．
国立 群馬大学 2014年 第2問座標平面において，$4$直線$y=2$，$y=-4$，$x=-3$，$x=5$上にそれぞれ点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$をとる．この$4$点を頂点とする四角形が$\displaystyle \angle \mathrm{ABC}=\frac{\pi}{2}$となる正方形であるとき，点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$の座標を求めよ．
国立 群馬大学 2014年 第5問座標平面において，$4$直線$y=2$，$y=-4$，$x=-3$，$x=5$上にそれぞれ点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$をとる．この$4$点を頂点とする四角形が$\displaystyle \angle \mathrm{ABC}=\frac{\pi}{2}$となる正方形であるとき，点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$の座標を求めよ．
国立 群馬大学 2014年 第4問座標平面において，$4$直線$y=2$，$y=-4$，$x=-3$，$x=5$上にそれぞれ点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$をとる．この$4$点を頂点とする四角形が$\displaystyle \angle \mathrm{ABC}=\frac{\pi}{2}$となる正方形であるとき，点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$の座標を求めよ．
国立 福井大学 2014年 第2問$\triangle \mathrm{OAB}$は$\mathrm{OA}=\mathrm{OB}=1$を満たす二等辺三角形とする．$t$を$\displaystyle \frac{1}{2}<t<1$を満たす定数とし，辺$\mathrm{AB}$を$t:1$に内分する点を$\mathrm{M}$，$1:t$に内分する点を$\mathrm{N}$としたとき，$\angle \mathrm{AOB}=3 \angle \mathrm{AOM}$が成り立つとする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)$\displaystyle \mathrm{ON}=\frac{1-t}{t}$であることを証明せよ．
(2)$x=\cos \angle \mathrm{AOB}$，$y=\cos \angle \mathrm{AOM}$とするとき，$x,\ y$を$t$を用いて表せ．
(3)$x=-y^2$が成り立つときの，$t$の値と辺$\mathrm{AB}$の長さを求めよ．
(1)$\displaystyle \mathrm{ON}=\frac{1-t}{t}$であることを証明せよ．
(2)$x=\cos \angle \mathrm{AOB}$，$y=\cos \angle \mathrm{AOM}$とするとき，$x,\ y$を$t$を用いて表せ．
(3)$x=-y^2$が成り立つときの，$t$の値と辺$\mathrm{AB}$の長さを求めよ．
国立 山形大学 2014年 第1問三角形$\mathrm{ABC}$の各辺$\mathrm{AB}$，$\mathrm{BC}$，$\mathrm{CA}$を$1:2$に内分する点をそれぞれ$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$とする．$\mathrm{AQ}$と$\mathrm{CP}$の交点を$\mathrm{S}$，$\mathrm{BR}$と$\mathrm{AQ}$の交点を$\mathrm{T}$，$\mathrm{CP}$と$\mathrm{BR}$の交点を$\mathrm{U}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{c}$とするとき，次の問に答えよ．
（図は省略）
(1)$\overrightarrow{\mathrm{AQ}}$を$\overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(2)点$\mathrm{Q}$を通り辺$\mathrm{AC}$と平行な直線と，$\mathrm{BR}$の交点を$\mathrm{V}$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{VQ}}$を$\overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{AT}}$を$\overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(4)$\overrightarrow{\mathrm{AS}}$を$\overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(5)$|\overrightarrow{b}|=1$，$|\overrightarrow{c}|=\sqrt{3}$，$\angle \mathrm{BAC}={90}^\circ$であるとき，$|\overrightarrow{\mathrm{ST}}|$，$|\overrightarrow{\mathrm{SU}}|$，$\angle \mathrm{TSU}$および三角形$\mathrm{STU}$の面積を求めよ．
（図は省略）
(1)$\overrightarrow{\mathrm{AQ}}$を$\overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(2)点$\mathrm{Q}$を通り辺$\mathrm{AC}$と平行な直線と，$\mathrm{BR}$の交点を$\mathrm{V}$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{VQ}}$を$\overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{AT}}$を$\overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(4)$\overrightarrow{\mathrm{AS}}$を$\overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(5)$|\overrightarrow{b}|=1$，$|\overrightarrow{c}|=\sqrt{3}$，$\angle \mathrm{BAC}={90}^\circ$であるとき，$|\overrightarrow{\mathrm{ST}}|$，$|\overrightarrow{\mathrm{SU}}|$，$\angle \mathrm{TSU}$および三角形$\mathrm{STU}$の面積を求めよ．
国立 山形大学 2014年 第4問座標平面上の$1$次変換$f$は点$(1,\ 2)$を点$\displaystyle \left( \frac{1}{2}-\sqrt{3},\ 1+\frac{\sqrt{3}}{2} \right)$に，点$(3,\ 4)$を点$\displaystyle \left( \frac{3}{2}-2 \sqrt{3},\ 2+\frac{3 \sqrt{3}}{2} \right)$に移すとする．$\mathrm{O}$を原点として，次の問に答えよ．
(1)$1$次変換$f$を表す行列$A$を求めよ．
(2)点$\mathrm{P}(1,\ 0)$が$f$により点$\mathrm{Q}$に移るとき，$\angle \mathrm{POQ}$を求めよ．また線分$\mathrm{OQ}$の長さを求めよ．
(3)点$\mathrm{R}$を$(2 \cos \theta,\ 2 \sin \theta)$で定める$\displaystyle \left( 0<\theta \leqq \frac{\pi}{2} \right)$．$f$により，点$\mathrm{R}$は点$\mathrm{S}$に，点$\mathrm{S}$は点$\mathrm{T}$に，点$\mathrm{T}$は点$\mathrm{U}$に，点$\mathrm{U}$は点$\mathrm{V}$に移るとする．
(i) 三角形$\mathrm{ORS}$の面積を求めよ．
(ii) 点$(2,\ 0)$と点$\mathrm{R}$，$\mathrm{S}$，$\mathrm{T}$，$\mathrm{U}$，$\mathrm{V}$を頂点とする六角形の面積$H(\theta)$の最大値と，そのときの$\theta$の値を求めよ．
(1)$1$次変換$f$を表す行列$A$を求めよ．
(2)点$\mathrm{P}(1,\ 0)$が$f$により点$\mathrm{Q}$に移るとき，$\angle \mathrm{POQ}$を求めよ．また線分$\mathrm{OQ}$の長さを求めよ．
(3)点$\mathrm{R}$を$(2 \cos \theta,\ 2 \sin \theta)$で定める$\displaystyle \left( 0<\theta \leqq \frac{\pi}{2} \right)$．$f$により，点$\mathrm{R}$は点$\mathrm{S}$に，点$\mathrm{S}$は点$\mathrm{T}$に，点$\mathrm{T}$は点$\mathrm{U}$に，点$\mathrm{U}$は点$\mathrm{V}$に移るとする．
(i) 三角形$\mathrm{ORS}$の面積を求めよ．
(ii) 点$(2,\ 0)$と点$\mathrm{R}$，$\mathrm{S}$，$\mathrm{T}$，$\mathrm{U}$，$\mathrm{V}$を頂点とする六角形の面積$H(\theta)$の最大値と，そのときの$\theta$の値を求めよ．
国立 小樽商科大学 2014年 第1問次の$[ ]$の中を適当に補いなさい．
(1)$1$回の操作で溶液の不純物の$25 \, \%$を除去出来る装置で不純物を除去するとき，この操作を複数回行い，元の不純物の$98 \, \%$以上を除去するには，最低何回以上この操作をする必要があるかを求めると$[ ]$回以上．ただし，$\log_{10}2=0.3010$，$\log_{10}3=0.4771$とする．
(2)中心が$(0,\ 1)$で半径$1$の円がある．下図のように，この円の直径$\mathrm{AB}$と原点$\mathrm{O}(0,\ 0)$と，$x$軸上の点$\mathrm{C}(1,\ 0)$をとる．$\angle \mathrm{AOC}={60}^\circ$とする．点$\mathrm{A}$の$x$座標を$t$（ただし$t>0$）とし，$\triangle \mathrm{OAB}$の面積を$S$とするとき，$t$と$S$を求めると$(t,\ S)=[ ]$．
（図は省略）
(3)$4$桁の正の整数$n$に対し，千の位，百の位，十の位，一の位の数字をそれぞれ$a,\ b,\ c,\ d$とする．$a>b>c>d$を満たす$n$は全部で$p$個あり，$a>c$かつ$b>d$を満たす$n$は全部で$q$個ある．このとき，$p$と$q$を求めると$(p,\ q)=[ ]$．
(1)$1$回の操作で溶液の不純物の$25 \, \%$を除去出来る装置で不純物を除去するとき，この操作を複数回行い，元の不純物の$98 \, \%$以上を除去するには，最低何回以上この操作をする必要があるかを求めると$[ ]$回以上．ただし，$\log_{10}2=0.3010$，$\log_{10}3=0.4771$とする．
(2)中心が$(0,\ 1)$で半径$1$の円がある．下図のように，この円の直径$\mathrm{AB}$と原点$\mathrm{O}(0,\ 0)$と，$x$軸上の点$\mathrm{C}(1,\ 0)$をとる．$\angle \mathrm{AOC}={60}^\circ$とする．点$\mathrm{A}$の$x$座標を$t$（ただし$t>0$）とし，$\triangle \mathrm{OAB}$の面積を$S$とするとき，$t$と$S$を求めると$(t,\ S)=[ ]$．
（図は省略）
(3)$4$桁の正の整数$n$に対し，千の位，百の位，十の位，一の位の数字をそれぞれ$a,\ b,\ c,\ d$とする．$a>b>c>d$を満たす$n$は全部で$p$個あり，$a>c$かつ$b>d$を満たす$n$は全部で$q$個ある．このとき，$p$と$q$を求めると$(p,\ q)=[ ]$．
国立 福井大学 2014年 第1問$\triangle \mathrm{OAB}$は$\mathrm{OA}=\mathrm{OB}=1$を満たす二等辺三角形とする．$t$を$\displaystyle \frac{1}{2}<t<1$を満たす定数とし，辺$\mathrm{AB}$を$1:t$に内分する点を$\mathrm{P}$，$\angle \mathrm{AOP}$の二等分線と辺$\mathrm{AB}$との交点を$\mathrm{Q}$とする．$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}$，$k=\mathrm{OP}$とおくとき，以下の問いに答えよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$と$t$を用いて表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$と$t$，$k$を用いて表せ．
(3)$\mathrm{AQ}=\mathrm{BP}$が成り立つとする．$k$を$t$を用いて表せ．また内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$を$t$を用いて表せ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$と$t$を用いて表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$と$t$，$k$を用いて表せ．
(3)$\mathrm{AQ}=\mathrm{BP}$が成り立つとする．$k$を$t$を用いて表せ．また内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$を$t$を用いて表せ．
国立 和歌山大学 2014年 第3問立方体$\mathrm{ABCD}$-$\mathrm{EFGH}$がある．辺$\mathrm{AD}$，$\mathrm{AB}$をそれぞれ$1:3$に内分する点を$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$とする．辺$\mathrm{FG}$上に$\mathrm{FS}:\mathrm{SG}=t:(1-t) (0<t<1)$をみたす点$\mathrm{S}$をとる．また，$3$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{S}$を通る平面と辺$\mathrm{BF}$の交点を$\mathrm{R}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{x}$，$\overrightarrow{\mathrm{AD}}=\overrightarrow{y}$，$\overrightarrow{\mathrm{AE}}=\overrightarrow{z}$とするとき，次の問いに答えよ．
（図は省略）
(1)$\overrightarrow{\mathrm{QR}}$を$\overrightarrow{x}$，$\overrightarrow{y}$，$\overrightarrow{z}$および$t$を用いて表せ．
(2)$\angle \mathrm{QRS}={120}^\circ$となるときの$t$の値を求めよ．
（図は省略）
(1)$\overrightarrow{\mathrm{QR}}$を$\overrightarrow{x}$，$\overrightarrow{y}$，$\overrightarrow{z}$および$t$を用いて表せ．
(2)$\angle \mathrm{QRS}={120}^\circ$となるときの$t$の値を求めよ．