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公立 名古屋市立大学 2015年 第2問\begin{mawarikomi}{45mm}{
（図は省略）
}
右図に示す$8$つの領域にわかれた円を塗り分ける．そのさい各領域には$1$つの色を塗るものとし，境界を共有する隣り合った領域には互いに異なる色を塗る．ただし，円を${120}^\circ$の倍数の角度で回転させて一致する塗り方はすべて同じとみなす．次の問いに答えよ．
(1)異なる$8$色を用いた塗り方は何通りあるか．
(2)異なる$7$色を用いた塗り方は何通りあるか．
(3)異なる$6$色を用いた塗り方は何通りあるか．
\end{mawarikomi}
（図は省略）
}
右図に示す$8$つの領域にわかれた円を塗り分ける．そのさい各領域には$1$つの色を塗るものとし，境界を共有する隣り合った領域には互いに異なる色を塗る．ただし，円を${120}^\circ$の倍数の角度で回転させて一致する塗り方はすべて同じとみなす．次の問いに答えよ．
(1)異なる$8$色を用いた塗り方は何通りあるか．
(2)異なる$7$色を用いた塗り方は何通りあるか．
(3)異なる$6$色を用いた塗り方は何通りあるか．
\end{mawarikomi}
公立 名古屋市立大学 2015年 第4問空間内の点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}_1$，$\mathrm{A}_2$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$を考える．このとき，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OA}_1}$，$\overrightarrow{\mathrm{OA}_2}$はともに長さが$1$で，角度$\displaystyle \theta \left( 0<\theta \leqq \frac{\pi}{2} \right)$をなす．また点$\mathrm{B}$は$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}_1$，$\mathrm{A}_2$を含む平面$\mathrm{H}$上に存在せず，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$は，$\overrightarrow{\mathrm{OA}_1} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}=c_1$，$\overrightarrow{\mathrm{OA}_2} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}=c_2$を満たす（ただし$c_1,\ c_2$はいずれも$0$でない実数であるとする）．さらにベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$は，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=c_1 \overrightarrow{\mathrm{OA}_1}+c_2 \overrightarrow{\mathrm{OA}_2}$のように表され，かつベクトル$\overrightarrow{\mathrm{CB}}$と垂直である．このとき，次の問いに答えよ．
(1)角度$\theta$を求めよ．
(2)$|\overrightarrow{\mathrm{OB}}|^2>{c_1}^2+{c_2}^2$が成り立つことを示せ．ただし，$|\overrightarrow{\mathrm{OB}}|$はベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$の長さを表す．
(3)$c_1=c_2=c$，$|\overrightarrow{\mathrm{OB}}|=b$とする．また，$\overrightarrow{\mathrm{OD}_1}=c \overrightarrow{\mathrm{OA}_1}$，$\overrightarrow{\mathrm{OD}_2}=c \overrightarrow{\mathrm{OA}_2}$となるように，空間上に点$\mathrm{D}_1$，$\mathrm{D}_2$を与える．四面体$\mathrm{D}_1 \mathrm{D}_2 \mathrm{CB}$の体積を，$b,\ c$を用いて表せ．
(4)$(3)$の条件の下で$3$点$\mathrm{D}_1$，$\mathrm{D}_2$，$\mathrm{B}$により定まる平面に対し，点$\mathrm{C}$から垂線を引いたとき，垂線と平面の交点を$\mathrm{T}$とする．このとき，$\mathrm{CT}$の長さを$b,\ c$で表せ．
(1)角度$\theta$を求めよ．
(2)$|\overrightarrow{\mathrm{OB}}|^2>{c_1}^2+{c_2}^2$が成り立つことを示せ．ただし，$|\overrightarrow{\mathrm{OB}}|$はベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$の長さを表す．
(3)$c_1=c_2=c$，$|\overrightarrow{\mathrm{OB}}|=b$とする．また，$\overrightarrow{\mathrm{OD}_1}=c \overrightarrow{\mathrm{OA}_1}$，$\overrightarrow{\mathrm{OD}_2}=c \overrightarrow{\mathrm{OA}_2}$となるように，空間上に点$\mathrm{D}_1$，$\mathrm{D}_2$を与える．四面体$\mathrm{D}_1 \mathrm{D}_2 \mathrm{CB}$の体積を，$b,\ c$を用いて表せ．
(4)$(3)$の条件の下で$3$点$\mathrm{D}_1$，$\mathrm{D}_2$，$\mathrm{B}$により定まる平面に対し，点$\mathrm{C}$から垂線を引いたとき，垂線と平面の交点を$\mathrm{T}$とする．このとき，$\mathrm{CT}$の長さを$b,\ c$で表せ．
公立 名古屋市立大学 2015年 第4問空間内の点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}_1$，$\mathrm{A}_2$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$を考える．このとき，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OA}_1}$，$\overrightarrow{\mathrm{OA}_2}$はともに長さが$1$で，角度$\displaystyle \theta \left( 0<\theta \leqq \frac{\pi}{2} \right)$をなす．また点$\mathrm{B}$は$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}_1$，$\mathrm{A}_2$を含む平面$\mathrm{H}$上に存在せず，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$は，$\overrightarrow{\mathrm{OA}_1} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}=c_1$，$\overrightarrow{\mathrm{OA}_2} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}=c_2$を満たす（ただし$c_1,\ c_2$はいずれも$0$でない実数であるとする）．さらにベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$は，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=c_1 \overrightarrow{\mathrm{OA}_1}+c_2 \overrightarrow{\mathrm{OA}_2}$のように表され，かつベクトル$\overrightarrow{\mathrm{CB}}$と垂直である．このとき，次の問いに答えよ．
(1)角度$\theta$を求めよ．
(2)$|\overrightarrow{\mathrm{OB}}|^2>{c_1}^2+{c_2}^2$が成り立つことを示せ．ただし，$|\overrightarrow{\mathrm{OB}}|$はベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$の長さを表す．
(3)$c_1=c_2=c$，$|\overrightarrow{\mathrm{OB}}|=b$とする．また，$\overrightarrow{\mathrm{OD}_1}=c \overrightarrow{\mathrm{OA}_1}$，$\overrightarrow{\mathrm{OD}_2}=c \overrightarrow{\mathrm{OA}_2}$となるように，空間上に点$\mathrm{D}_1$，$\mathrm{D}_2$を与える．四面体$\mathrm{D}_1 \mathrm{D}_2 \mathrm{CB}$の体積を，$b,\ c$を用いて表せ．
(4)$(3)$の条件の下で$3$点$\mathrm{D}_1$，$\mathrm{D}_2$，$\mathrm{B}$により定まる平面に対し，点$\mathrm{C}$から垂線を引いたとき，垂線と平面の交点を$\mathrm{T}$とする．このとき，$\mathrm{CT}$の長さを$b,\ c$で表せ．
(1)角度$\theta$を求めよ．
(2)$|\overrightarrow{\mathrm{OB}}|^2>{c_1}^2+{c_2}^2$が成り立つことを示せ．ただし，$|\overrightarrow{\mathrm{OB}}|$はベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$の長さを表す．
(3)$c_1=c_2=c$，$|\overrightarrow{\mathrm{OB}}|=b$とする．また，$\overrightarrow{\mathrm{OD}_1}=c \overrightarrow{\mathrm{OA}_1}$，$\overrightarrow{\mathrm{OD}_2}=c \overrightarrow{\mathrm{OA}_2}$となるように，空間上に点$\mathrm{D}_1$，$\mathrm{D}_2$を与える．四面体$\mathrm{D}_1 \mathrm{D}_2 \mathrm{CB}$の体積を，$b,\ c$を用いて表せ．
(4)$(3)$の条件の下で$3$点$\mathrm{D}_1$，$\mathrm{D}_2$，$\mathrm{B}$により定まる平面に対し，点$\mathrm{C}$から垂線を引いたとき，垂線と平面の交点を$\mathrm{T}$とする．このとき，$\mathrm{CT}$の長さを$b,\ c$で表せ．
公立 福岡女子大学 2015年 第2問$\mathrm{AC}=1$，$\angle \mathrm{B}={30}^\circ$，$\angle \mathrm{C}={90}^\circ$の$\triangle \mathrm{ABC}$がある．辺$\mathrm{AB}$上の点列$\mathrm{P}_1,\ \mathrm{P}_2,\ \cdots$，辺$\mathrm{AC}$上の点列$\mathrm{Q}_1,\ \mathrm{Q}_2,\ \cdots$，辺$\mathrm{BC}$上の点列$\mathrm{R}_1,\ \mathrm{R}_2,\ \cdots$を$\mathrm{R}_1 \to \mathrm{P}_1 \to \mathrm{Q}_1 \to \mathrm{R}_2 \to \mathrm{P}_2 \to \mathrm{Q}_2 \to \cdots$の順で以下を満たすように定める．
$(\mathrm{a})$ $\mathrm{R}_1=\mathrm{C}$
$(\mathrm{b})$ $\mathrm{R}_n \mathrm{P}_n \perp \mathrm{AB}$
$(\mathrm{c})$ $\mathrm{P}_n \mathrm{Q}_n \para\, \mathrm{BC}$
$(\mathrm{d})$ $\mathrm{Q}_n \mathrm{R}_{n+1} \para\, \mathrm{AB}$
ただし，$n$は自然数である．下図は点$\mathrm{R}_1 \to \mathrm{P}_1 \to \cdots \to \mathrm{Q}_3$を示している．$x_n=\mathrm{AQ}_n$とおくとき，以下の問に答えなさい．
(1)$\mathrm{BR}_{n+1}$と$\mathrm{BP}_{n+1}$をそれぞれ$x_n$の式で表しなさい．
(2)$x_{n+1}$を$x_n$の式で表しなさい．
(3)$x_n$を$n$の式で表しなさい．
（図は省略）
$(\mathrm{a})$ $\mathrm{R}_1=\mathrm{C}$
$(\mathrm{b})$ $\mathrm{R}_n \mathrm{P}_n \perp \mathrm{AB}$
$(\mathrm{c})$ $\mathrm{P}_n \mathrm{Q}_n \para\, \mathrm{BC}$
$(\mathrm{d})$ $\mathrm{Q}_n \mathrm{R}_{n+1} \para\, \mathrm{AB}$
ただし，$n$は自然数である．下図は点$\mathrm{R}_1 \to \mathrm{P}_1 \to \cdots \to \mathrm{Q}_3$を示している．$x_n=\mathrm{AQ}_n$とおくとき，以下の問に答えなさい．
(1)$\mathrm{BR}_{n+1}$と$\mathrm{BP}_{n+1}$をそれぞれ$x_n$の式で表しなさい．
(2)$x_{n+1}$を$x_n$の式で表しなさい．
(3)$x_n$を$n$の式で表しなさい．
（図は省略）
公立 福岡女子大学 2015年 第2問$\mathrm{AC}=1$，$\angle \mathrm{B}={30}^\circ$，$\angle \mathrm{C}={90}^\circ$の$\triangle \mathrm{ABC}$がある．辺$\mathrm{AB}$上の点列$\mathrm{P}_1,\ \mathrm{P}_2,\ \cdots$，辺$\mathrm{AC}$上の点列$\mathrm{Q}_1,\ \mathrm{Q}_2,\ \cdots$，辺$\mathrm{BC}$上の点列$\mathrm{R}_1,\ \mathrm{R}_2,\ \cdots$を$\mathrm{R}_1 \to \mathrm{P}_1 \to \mathrm{Q}_1 \to \mathrm{R}_2 \to \mathrm{P}_2 \to \mathrm{Q}_2 \to \cdots$の順で以下を満たすように定める．
$(\mathrm{a})$ $\mathrm{R}_1=\mathrm{C}$
$(\mathrm{b})$ $\mathrm{R}_n \mathrm{P}_n \perp \mathrm{AB}$
$(\mathrm{c})$ $\mathrm{P}_n \mathrm{Q}_n \para\, \mathrm{BC}$
$(\mathrm{d})$ $\mathrm{Q}_n \mathrm{R}_{n+1} \para\, \mathrm{AB}$
ただし，$n$は自然数である．下図は点$\mathrm{R}_1 \to \mathrm{P}_1 \to \cdots \to \mathrm{Q}_3$を示している．$x_n=\mathrm{AQ}_n$とおくとき，以下の問に答えなさい．
(1)$\mathrm{BR}_{n+1}$と$\mathrm{BP}_{n+1}$をそれぞれ$x_n$の式で表しなさい．
(2)$x_{n+1}$を$x_n$の式で表しなさい．
(3)$x_n$を$n$の式で表しなさい．
（図は省略）
$(\mathrm{a})$ $\mathrm{R}_1=\mathrm{C}$
$(\mathrm{b})$ $\mathrm{R}_n \mathrm{P}_n \perp \mathrm{AB}$
$(\mathrm{c})$ $\mathrm{P}_n \mathrm{Q}_n \para\, \mathrm{BC}$
$(\mathrm{d})$ $\mathrm{Q}_n \mathrm{R}_{n+1} \para\, \mathrm{AB}$
ただし，$n$は自然数である．下図は点$\mathrm{R}_1 \to \mathrm{P}_1 \to \cdots \to \mathrm{Q}_3$を示している．$x_n=\mathrm{AQ}_n$とおくとき，以下の問に答えなさい．
(1)$\mathrm{BR}_{n+1}$と$\mathrm{BP}_{n+1}$をそれぞれ$x_n$の式で表しなさい．
(2)$x_{n+1}$を$x_n$の式で表しなさい．
(3)$x_n$を$n$の式で表しなさい．
（図は省略）
公立 北九州市立大学 2015年 第4問$1$個のサイコロを$3$回続けて投げる．$xy$平面上で，原点$\mathrm{O}$を起点とし$1$回目に出た目と同じ数だけ$x$座標を増加させた点を$\mathrm{A}$とする．次に，点$\mathrm{A}$を起点とし$2$回目に出た目と同じ数だけ$y$座標を増加させた点を$\mathrm{B}$とする．さらに，点$\mathrm{B}$を起点とし$3$回目に出た目と同じ数だけ$x$座標を減少させた点を$\mathrm{C}$とする．また，四角形$\mathrm{OABC}$の面積を$S$とおく．以下の問題に答えよ．
(1)四角形$\mathrm{OABC}$が正方形になる確率を求めよ．
(2)線分$\mathrm{OA}$，$\mathrm{AB}$，$\mathrm{BC}$の長さがすべて異なる確率を求めよ．
(3)$\angle \mathrm{COA}={45}^\circ$になる確率を求めよ．
(4)面積$S$が整数になる確率を求めよ．
(5)面積$S$が$25$以上になる確率を求めよ．
(1)四角形$\mathrm{OABC}$が正方形になる確率を求めよ．
(2)線分$\mathrm{OA}$，$\mathrm{AB}$，$\mathrm{BC}$の長さがすべて異なる確率を求めよ．
(3)$\angle \mathrm{COA}={45}^\circ$になる確率を求めよ．
(4)面積$S$が整数になる確率を求めよ．
(5)面積$S$が$25$以上になる確率を求めよ．
公立 尾道市立大学 2015年 第3問$\triangle \mathrm{ABC}$は$1$辺の長さが$3$の正三角形とする．辺$\mathrm{BC}$の延長線上に$\mathrm{BC}=\mathrm{CD}$である点$\mathrm{D}$をとり，直線$\mathrm{AD}$と$\angle \mathrm{B}$の二等分線との交点を$\mathrm{E}$とする．このとき次の問いに答えなさい．
(1)線分$\mathrm{AD}$の長さを求めなさい．
(2)線分$\mathrm{AE}$，$\mathrm{ED}$の長さを求めなさい．
(3)線分$\mathrm{BE}$の長さを求めなさい．
(1)線分$\mathrm{AD}$の長さを求めなさい．
(2)線分$\mathrm{AE}$，$\mathrm{ED}$の長さを求めなさい．
(3)線分$\mathrm{BE}$の長さを求めなさい．
公立 大阪府立大学 2015年 第4問座標平面上に，原点$\mathrm{O}$および$2$点$\mathrm{A}(2,\ 1)$，$\mathrm{B}(0,\ -1)$がある．原点$\mathrm{O}$を通り，$\overrightarrow{u}=(2,\ -1)$を方向ベクトルとする直線を$\ell$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とおき，$s,\ t$を実数として，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\overrightarrow{a}+s \overrightarrow{u}$で与えられる点$\mathrm{P}$および$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=\overrightarrow{b}+t \overrightarrow{u}$で与えられる点$\mathrm{Q}$を考える．このとき，次の問いに答えよ．
(1)$\overrightarrow{u}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(2)$\angle \mathrm{POQ}$が直角となる$s,\ t$の条件を求めよ．
(3)直線$\mathrm{PQ}$と直線$\ell$の交点を$\mathrm{R}$とし，実数$k$を用いて，$\overrightarrow{\mathrm{OR}}=k \overrightarrow{u}$とする．このとき，$k$を$s,\ t$を用いて表せ．
(4)$\angle \mathrm{POQ}$が直角となる条件のもと，三角形$\mathrm{POQ}$の面積$F$が最小となるときの$k$の値を求めよ．
(1)$\overrightarrow{u}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(2)$\angle \mathrm{POQ}$が直角となる$s,\ t$の条件を求めよ．
(3)直線$\mathrm{PQ}$と直線$\ell$の交点を$\mathrm{R}$とし，実数$k$を用いて，$\overrightarrow{\mathrm{OR}}=k \overrightarrow{u}$とする．このとき，$k$を$s,\ t$を用いて表せ．
(4)$\angle \mathrm{POQ}$が直角となる条件のもと，三角形$\mathrm{POQ}$の面積$F$が最小となるときの$k$の値を求めよ．
国立 東京大学 2014年 第1問$1$辺の長さが$1$の正方形を底面とする四角柱$\mathrm{OABC}$-$\mathrm{DEFG}$を考える．$3$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$を，それぞれ辺$\mathrm{AE}$，辺$\mathrm{BF}$，辺$\mathrm{CG}$上に，$4$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$が同一平面上にあるようにとる．四角形$\mathrm{OPQR}$の面積を$S$とおく．また，$\angle \mathrm{AOP}$を$\alpha$，$\angle \mathrm{COR}$を$\beta$とおく．
(1)$S$を$\tan \alpha$と$\tan \beta$を用いて表せ．
(2)$\displaystyle \alpha+\beta=\frac{\pi}{4},\ S=\frac{7}{6}$であるとき，$\tan \alpha+\tan \beta$の値を求めよ．さらに，$\alpha \leqq \beta$のとき，$\tan \alpha$の値を求めよ．
（図は省略）
(1)$S$を$\tan \alpha$と$\tan \beta$を用いて表せ．
(2)$\displaystyle \alpha+\beta=\frac{\pi}{4},\ S=\frac{7}{6}$であるとき，$\tan \alpha+\tan \beta$の値を求めよ．さらに，$\alpha \leqq \beta$のとき，$\tan \alpha$の値を求めよ．
（図は省略）
国立 静岡大学 2014年 第1問三角形$\mathrm{OAB}$において，頂点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$におけるそれぞれの外角の二等分線の交点を$\mathrm{C}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とするとき，次の問いに答えよ．
(1)点$\mathrm{P}$が$\angle \mathrm{AOB}$の二等分線上にあるとき，
\[ \overrightarrow{\mathrm{OP}}=t \left( \frac{\overrightarrow{a}}{|\overrightarrow{a}|}+\frac{\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{b}|} \right) \]
となる実数$t$が存在することを示せ．
(2)$|\overrightarrow{a}|=7$，$|\overrightarrow{b}|=5$，$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=5$のとき，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$を$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(1)点$\mathrm{P}$が$\angle \mathrm{AOB}$の二等分線上にあるとき，
\[ \overrightarrow{\mathrm{OP}}=t \left( \frac{\overrightarrow{a}}{|\overrightarrow{a}|}+\frac{\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{b}|} \right) \]
となる実数$t$が存在することを示せ．
(2)$|\overrightarrow{a}|=7$，$|\overrightarrow{b}|=5$，$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=5$のとき，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$を$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．