次の問いに答えよ．

(1)$(x^2+2x+3)(x^2-2x+3)$を展開せよ．
(2)$x^2-4ax-5a^2$を因数分解せよ．
(3)$\displaystyle x=\frac{1}{\sqrt{3}+2},\ y=\frac{1}{\sqrt{3}-2}$のとき，式$x^2+y^2$の値を求めよ．
(4)$|3x+1| \geqq 2$を解け．
(5)集合$A$を$1$から$12$までの自然数の集合，集合$B$を素数全体の集合とするとき，$A \cap B$の要素を書き並べて表せ．
(6)次の$[　]$にあてはまるものとして，「必要条件である」，「十分条件である」，「必要十分条件である」，「必要条件でも十分条件でもない」のうち，最も適切なものを選べ．
$x^2=16$は$x=4$であるための$[　]$．
(7)$\displaystyle \sin \theta=\frac{3}{\sqrt{13}}$であるとき，$\cos^2 \theta-\sin^2 \theta$の値を求めよ．
(8)$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\angle \mathrm{A}={135}^\circ$，$\mathrm{AB}=2$，$\mathrm{AC}=\sqrt{2}$のとき，$\mathrm{BC}$を求めよ．

$\triangle \mathrm{OAB}$において，辺$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{C}$，辺$\mathrm{AB}$を$1:3$に内分する点を$\mathrm{D}$とする．$|\overrightarrow{\mathrm{OC}}|=2$，$|\overrightarrow{\mathrm{OD}}|=2$，$\angle \mathrm{COD}={60}^\circ$とするとき，次の空所を埋めよ．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{OC}},\ \overrightarrow{\mathrm{OD}}$を，$\overrightarrow{\mathrm{OA}},\ \overrightarrow{\mathrm{OB}}$を用いて表すと，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=[ア] \overrightarrow{\mathrm{OA}}+[イ] \overrightarrow{\mathrm{OB}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OD}}=[ウ] \overrightarrow{\mathrm{OA}}+[エ] \overrightarrow{\mathrm{OB}}$である．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OA}},\ \overrightarrow{\mathrm{OB}}$を，$\overrightarrow{\mathrm{OC}},\ \overrightarrow{\mathrm{OD}}$を用いて表すと，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=[オ] \overrightarrow{\mathrm{OC}}+[カ] \overrightarrow{\mathrm{OD}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=[キ] \overrightarrow{\mathrm{OC}}+[ク] \overrightarrow{\mathrm{OD}}$である．
(3)$|\overrightarrow{\mathrm{OA}}|=[ケ]$であり，$|\overrightarrow{\mathrm{OB}}|=[コ]$である．
(4)$\triangle \mathrm{OAB}$の面積は$[サ]$である．

$xy$平面上に$\triangle \mathrm{OAB}$がある．ただし，点$\mathrm{O}$は原点，点$\mathrm{A}$の座標は$(5,\ 0)$，点$\mathrm{B}$の$y$座標は正であり，$\mathrm{OB}=4$，$\angle \mathrm{AOB}=\theta$であるとする．さらに，$\triangle \mathrm{OAB}$の外側に，辺$\mathrm{AB}$を共有する正方形$\mathrm{ABCD}$がある．

(1)$\theta$を用いて表すと，$\mathrm{B}$の座標は$[ア]$であり，$\mathrm{C}$の座標は$[イ]$である．
(2)$\mathrm{C}$の$x$座標は$\theta=[ウ]$のとき最大値をとり，$\mathrm{C}$の$y$座標は$\theta=[エ]$のとき最大値をとる．
以下では，$3$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$が一直線上にあるとする．
(3)$\mathrm{AB}=[オ]$である．$\triangle \mathrm{OAB}$の内接円の半径は$[カ]$である．
(4)$\triangle \mathrm{OAD}$の外接円の半径を求めよ．

辺$\mathrm{AD}$と辺$\mathrm{BC}$が平行な台形$\mathrm{ABCD}$において，$\mathrm{AB}=4$，$\mathrm{BC}=8$，$\mathrm{CD}=3$，$\mathrm{DA}=5$とする．

(1)$\angle \mathrm{ABC}=\theta$とするとき，$\displaystyle \cos \theta=\frac{[ケ]}{[コ]}$である．

(2)台形$\mathrm{ABCD}$の面積は，$\displaystyle \frac{[サシ] \sqrt{[ス]}}{[セ]}$である．

$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\angle \mathrm{A}={60}^\circ$，$\mathrm{AB}=3$，$\mathrm{BC}=7$のとき，$\mathrm{AC}$は$[ケ]$である．さらに，$\triangle \mathrm{ABC}$の面積は$[コ] \sqrt{[サ]}$である．

三角形$\mathrm{ABC}$において$\mathrm{AB}=6$，$\angle \mathrm{A}={60}^\circ$，$\angle \mathrm{A}$の$2$等分線と$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{D}$とする．三角形$\mathrm{ABD}$と三角形$\mathrm{ADC}$の面積比が$2:3$のとき，次の値を求めよ．

(1)$\mathrm{AC}$の長さ$=[　]$
(2)$\mathrm{BD}$の長さ$=[　]$

$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=2$，$\mathrm{AC}=3$，$\angle \mathrm{A}$は鋭角である．$\triangle \mathrm{ABC}$の面積が$2 \sqrt{2}$のとき，次の各問に答えよ．

(1)内積$\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}$を求めよ．
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$の内部の点$\mathrm{P}$が$3 \overrightarrow{\mathrm{PA}}+2 \overrightarrow{\mathrm{PB}}+\overrightarrow{\mathrm{PC}}=\overrightarrow{\mathrm{0}}$を満たすとき，線分$\mathrm{PA}$の長さを求めよ．

$xy$平面上に$2$点$\mathrm{P}_1(1,\ 1)$，$\mathrm{P}_2(1,\ 2)$があり，以下の条件$(ⅰ)$，$(ⅱ)$，$(ⅲ)$をすべて満たすように$\mathrm{P}_3(x_3,\ y_3)$，$\mathrm{P}_4(x_4,\ y_4)$，$\mathrm{P}_5(x_5,\ y_5)$，$\cdots$を定めるものとする．

$(ⅰ)$ $\displaystyle |\overrightarrow{\mathrm{P}_{n-1} \mathrm{P}_n}|=\frac{1}{3} |\overrightarrow{\mathrm{P}_{n-2} \mathrm{P}_{n-1}}| \quad (n=3,\ 4,\ 5,\ \cdots)$
$(ⅱ)$ $\displaystyle \angle \mathrm{P}_{n-2} \mathrm{P}_{n-1} \mathrm{P}_n=\frac{\pi}{4} \quad (n=3,\ 4,\ 5,\ \cdots)$
$(ⅲ)$ $x_n \geqq x_{n-1} \quad (n=3,\ 4,\ 5,\ \cdots)$

このとき，以下の問いに答えなさい．

(1)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{P}_3 \mathrm{P}_4}$を成分で表しなさい．
(2)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{P}_{2k-1} \mathrm{P}_{2k}} (k=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$の成分を$k$を用いた式で表しなさい．
(3)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{P}_{2k} \mathrm{P}_{2k+1}} (k=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$の成分を$k$を用いた式で表しなさい．
(4)$\displaystyle \lim_{n \to \infty}x_n=X$，$\displaystyle \lim_{n \to \infty}y_n=Y$とおく．このとき$n$を限りなく大きくすると，点$\mathrm{P}_n$は点$\mathrm{P}(X,\ Y)$に限りなく近づいていく．$X,\ Y$を求めなさい．

三角形$\mathrm{ABC}$は$\displaystyle \mathrm{AB}=\mathrm{AC}$，$\displaystyle \angle \mathrm{BAC}=2\theta \left( 0<\theta<\frac{\pi}{2} \right)$を満たすものとする．

三角形$\mathrm{ABC}$の内接円を$\mathrm{O}_1$とし，その半径を$a$とする．また，円$\mathrm{O}_n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$より半径が短く，辺$\mathrm{AB}$，辺$\mathrm{AC}$，円$\mathrm{O}_n$に接する円を$\mathrm{O}_{n+1}$とする．このとき，以下の問いに答えなさい．ただし，円周率は$\pi$を用いるものとする．

\begin{mawarikomi}{55mm}{
（図は省略）
}


(1)三角形$\mathrm{ABC}$の周の長さ$L$を$a$と$\theta$を用いて表しなさい．ただし，$L=\mathrm{AB}+\mathrm{BC}+\mathrm{CA}$である．
(2)円$\mathrm{O}_n$の周の長さを$W_n$で表すとき，
\[ W=\sum_{n=1}^\infty W_n \]
を$a$と$\theta$を用いて表しなさい．
(3)$L=W$が成り立つとき，$\sin \theta$，$\cos \theta$の値をそれぞれ求めなさい．

\end{mawarikomi}

$1$辺の長さが$1$の正六角形$\mathrm{ABCDEF}$において，辺$\mathrm{BC}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{M}$，辺$\mathrm{CD}$上の点を$\mathrm{N}$とし，$\mathrm{MF}$と$\mathrm{AN}$の交点を$\mathrm{P}$とする．次の各問に答えよ．

(1)$\cos \angle \mathrm{AFM}$の値を求めよ．
(2)$\mathrm{AP}:\mathrm{PN}=20:13$のとき，$\mathrm{CN}:\mathrm{ND}$を求めよ．