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私立 旭川大学 2015年 第3問四面体$\mathrm{ABCD}$において，$\mathrm{AB}=2$，$\mathrm{AC}=\mathrm{BC}=\mathrm{AD}=\mathrm{BD}=4$，$\mathrm{CD}=5$であるとする．$\mathrm{E}$を辺$\mathrm{AB}$の中点とし，$\angle \mathrm{CED}=\theta$とおく．
(1)$\cos \theta$の値を求めよ．
(2)四面体$\mathrm{ABCD}$の体積を求めよ．
(1)$\cos \theta$の値を求めよ．
(2)四面体$\mathrm{ABCD}$の体積を求めよ．
私立 日本女子大学 2015年 第2問$\triangle \mathrm{ABC}$において$\angle \mathrm{C}={90}^\circ$，$\angle \mathrm{B}={30}^\circ$とする．辺$\mathrm{BC}$を$1:1$に内分する点を$\mathrm{P}$，辺$\mathrm{CA}$を$t:(1-t)$に内分する点を$\mathrm{Q}$，辺$\mathrm{AB}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{R}$とする．ただし，$0<t<1$とする．また，線分$\mathrm{AP}$と線分$\mathrm{QR}$の交点を$\mathrm{X}$とする．
(1)線分$\mathrm{AP}$と線分$\mathrm{QR}$が垂直になるように，実数$t$の値を定めよ．
(2)$(1)$で定めた$t$の値に対して，面積の比$\triangle \mathrm{ARX}:\triangle \mathrm{ABC}$を求めよ．
(1)線分$\mathrm{AP}$と線分$\mathrm{QR}$が垂直になるように，実数$t$の値を定めよ．
(2)$(1)$で定めた$t$の値に対して，面積の比$\triangle \mathrm{ARX}:\triangle \mathrm{ABC}$を求めよ．
私立 日本獣医生命科学大学 2015年 第1問三角形$\mathrm{ABC}$において$\mathrm{AB}=3$，$\mathrm{BC}=5$，$\mathrm{CA}=x$，$\angle \mathrm{ABC}$の二等分線と辺$\mathrm{AC}$との交点を$\mathrm{D}$とするとき，以下の各問いに答えよ．
(1)$x$の値の範囲を求めよ．
(2)$\cos \angle \mathrm{BCA}$を$x$を用いて表せ．
(3)$\mathrm{BD}=\mathrm{CD}$が成り立つとき，$x$の値を求め，三角形$\mathrm{ABC}$の面積$S$の値を求めよ．
(1)$x$の値の範囲を求めよ．
(2)$\cos \angle \mathrm{BCA}$を$x$を用いて表せ．
(3)$\mathrm{BD}=\mathrm{CD}$が成り立つとき，$x$の値を求め，三角形$\mathrm{ABC}$の面積$S$の値を求めよ．
私立 旭川大学 2015年 第1問次の各設問に答えなさい．
(1)$\displaystyle 3+\frac{n-2}{2}<\frac{n}{3}$を満たす最大の整数$n$を求めよ．
(2)$a,\ b,\ c$を定数とする．ただし$a \neq 0$とする．$2$次関数$y=ax^2+bx+c$のグラフが$3$点$(-1,\ 2)$，$(2,\ 1)$，$(3,\ -6)$を通るとき，$a,\ b,\ c$の値を求めよ．
(3)$5$個の数字$0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4$を使ってできる$4$桁の整数は全部で$[ア]$通りであり，その中で$2015$以下の整数は$[イ]$通りである．ただし，同じ数字は繰り返し使わないものとする．
(4)$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\displaystyle \frac{8}{\sin A}=\frac{7}{\sin B}=\frac{5}{\sin C}$である．このとき，$\angle \mathrm{B}$の大きさを求めよ．
(5)方程式$|x^2-2|=x$の解を求めよ．
(1)$\displaystyle 3+\frac{n-2}{2}<\frac{n}{3}$を満たす最大の整数$n$を求めよ．
(2)$a,\ b,\ c$を定数とする．ただし$a \neq 0$とする．$2$次関数$y=ax^2+bx+c$のグラフが$3$点$(-1,\ 2)$，$(2,\ 1)$，$(3,\ -6)$を通るとき，$a,\ b,\ c$の値を求めよ．
(3)$5$個の数字$0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4$を使ってできる$4$桁の整数は全部で$[ア]$通りであり，その中で$2015$以下の整数は$[イ]$通りである．ただし，同じ数字は繰り返し使わないものとする．
(4)$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\displaystyle \frac{8}{\sin A}=\frac{7}{\sin B}=\frac{5}{\sin C}$である．このとき，$\angle \mathrm{B}$の大きさを求めよ．
(5)方程式$|x^2-2|=x$の解を求めよ．
私立 旭川大学 2015年 第1問次の各設問に答えなさい．
(1)$\displaystyle \frac{1}{1-a}+\frac{1}{1+a}+\frac{2}{1+a^2}+\frac{4}{1+a^4}+\frac{8}{1+a^8}$を計算しなさい．
(2)$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{5}-2}$の整数部分を$a$，小数部分を$b$とするとき，$a$と$b$の値を求めよ．
(3)$k$を正の定数とし，$2$つの放物線$y=-x^2+4x-2k$，$y=x^2+2kx+3k$をそれぞれ$C_1$，$C_2$とする．以下の問いに答えなさい．
(i) $C_1$の頂点の$y$座標が$1$であるとき，$k$の値を求めよ．
(ii) $C_2$が$x$軸と接するとき，$k$の値を求めよ．
(4)$\mathrm{AB}=5$，$\mathrm{AC}=4$，$\angle \mathrm{BAC}={60}^\circ$である$\triangle \mathrm{ABC}$がある．$\angle \mathrm{BAC}$の二等分線と辺$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{D}$とするとき，$\mathrm{AD}$の長さを求めよ．
(5)男子$4$人，女子$3$人が一列に並ぶとき，女子$3$人が続く並び方は，$[ア]$通りであり，両端に男子が並ぶのは$[イ]$通りである．
(1)$\displaystyle \frac{1}{1-a}+\frac{1}{1+a}+\frac{2}{1+a^2}+\frac{4}{1+a^4}+\frac{8}{1+a^8}$を計算しなさい．
(2)$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{5}-2}$の整数部分を$a$，小数部分を$b$とするとき，$a$と$b$の値を求めよ．
(3)$k$を正の定数とし，$2$つの放物線$y=-x^2+4x-2k$，$y=x^2+2kx+3k$をそれぞれ$C_1$，$C_2$とする．以下の問いに答えなさい．
(i) $C_1$の頂点の$y$座標が$1$であるとき，$k$の値を求めよ．
(ii) $C_2$が$x$軸と接するとき，$k$の値を求めよ．
(4)$\mathrm{AB}=5$，$\mathrm{AC}=4$，$\angle \mathrm{BAC}={60}^\circ$である$\triangle \mathrm{ABC}$がある．$\angle \mathrm{BAC}$の二等分線と辺$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{D}$とするとき，$\mathrm{AD}$の長さを求めよ．
(5)男子$4$人，女子$3$人が一列に並ぶとき，女子$3$人が続く並び方は，$[ア]$通りであり，両端に男子が並ぶのは$[イ]$通りである．
私立 広島経済大学 2015年 第4問$\mathrm{AB}=2 \sqrt{3}$，$\angle \mathrm{B}={60}^\circ$，$\angle \mathrm{C}={45}^\circ$の三角形$\mathrm{ABC}$について次の各問の空欄に当てはまる最も適切な数値を記入せよ．
(1)$\mathrm{AC}=[$28$] \sqrt{[$29$]}$，$\mathrm{BC}=\sqrt{[$30$]}+[$31$]$である．
(2)$\displaystyle \cos \angle \mathrm{BAC}=\frac{\sqrt{[$32$]}-\sqrt{[$33$]}}{[$34$]}$である．
(3)辺$\mathrm{AC}$上に$\mathrm{BA}=\mathrm{BD}$を満たす$\mathrm{A}$と異なる点$\mathrm{D}$を定め，更に辺$\mathrm{BC}$上に$\angle \mathrm{BED}={90}^\circ$を満たす点$\mathrm{E}$を定めると，$\mathrm{AD}=[$35$] \sqrt{[$36$]}-\sqrt{[$37$]}$，$\mathrm{BE}=[$38$]$である．
(1)$\mathrm{AC}=[$28$] \sqrt{[$29$]}$，$\mathrm{BC}=\sqrt{[$30$]}+[$31$]$である．
(2)$\displaystyle \cos \angle \mathrm{BAC}=\frac{\sqrt{[$32$]}-\sqrt{[$33$]}}{[$34$]}$である．
(3)辺$\mathrm{AC}$上に$\mathrm{BA}=\mathrm{BD}$を満たす$\mathrm{A}$と異なる点$\mathrm{D}$を定め，更に辺$\mathrm{BC}$上に$\angle \mathrm{BED}={90}^\circ$を満たす点$\mathrm{E}$を定めると，$\mathrm{AD}=[$35$] \sqrt{[$36$]}-\sqrt{[$37$]}$，$\mathrm{BE}=[$38$]$である．
私立 天使大学 2015年 第2問$\mathrm{BC}=1$，$\angle \mathrm{B}={60}^\circ$，$\angle \mathrm{C}={90}^\circ$をみたす$\triangle \mathrm{ABC}$の辺$\mathrm{BC}$，辺$\mathrm{CA}$，辺$\mathrm{AB}$上にそれぞれ点$\mathrm{P}$，点$\mathrm{Q}$，点$\mathrm{R}$をとる．ただし，点$\mathrm{P}$，点$\mathrm{Q}$，点$\mathrm{R}$は$\triangle \mathrm{ABC}$の頂点とは異なる点で，$\triangle \mathrm{PQR}$は正三角形である．次の問いに答えなさい．
(1)$\angle \mathrm{CPQ}=\theta$とおく．このとき$\angle \mathrm{BPR}=\mkakko{$\mathrm{a}$} \mkakko{$\mathrm{b}$} \mkakko{$\mathrm{c}$}^\circ-\theta$をみたし，$\angle \mathrm{BRP}=\mkakko{$\mathrm{d}$} \theta$である．
(2)$\mathrm{BP}=x$とおく．このとき$\displaystyle \mathrm{CQ}=\frac{\sqrt{\mkakko{$\mathrm{e}$}}}{\mkakko{$\mathrm{f}$}} x$である．
(3)$\triangle \mathrm{PQR}$の面積を$S$とおく．このとき$\displaystyle S=\frac{\sqrt{\mkakko{$\mathrm{g}$}}}{\mkakko{$\mathrm{h}$}} \left( \frac{\mkakko{$\mathrm{i}$}}{\mkakko{$\mathrm{j}$}} x^2+\mkakko{$\mathrm{k}$}x+1 \right)$である．ただし$\mkakko{$\mathrm{j}$}$は正の数である．
(4)$\displaystyle S=\frac{7}{64} \sqrt{3}$のとき，$x$の値を求めなさい．
$\displaystyle x=\frac{\mkakko{$\mathrm{l}$}}{\mkakko{$\mathrm{m}$}}$または$\displaystyle x=\frac{\mkakko{$\mathrm{n}$}}{\mkakko{$\mathrm{o}$} \mkakko{$\mathrm{p}$}}$である．ただし$\mkakko{$\mathrm{m}$}$と$\mkakko{$\mathrm{o}$}$は正の数である．
(1)$\angle \mathrm{CPQ}=\theta$とおく．このとき$\angle \mathrm{BPR}=\mkakko{$\mathrm{a}$} \mkakko{$\mathrm{b}$} \mkakko{$\mathrm{c}$}^\circ-\theta$をみたし，$\angle \mathrm{BRP}=\mkakko{$\mathrm{d}$} \theta$である．
(2)$\mathrm{BP}=x$とおく．このとき$\displaystyle \mathrm{CQ}=\frac{\sqrt{\mkakko{$\mathrm{e}$}}}{\mkakko{$\mathrm{f}$}} x$である．
(3)$\triangle \mathrm{PQR}$の面積を$S$とおく．このとき$\displaystyle S=\frac{\sqrt{\mkakko{$\mathrm{g}$}}}{\mkakko{$\mathrm{h}$}} \left( \frac{\mkakko{$\mathrm{i}$}}{\mkakko{$\mathrm{j}$}} x^2+\mkakko{$\mathrm{k}$}x+1 \right)$である．ただし$\mkakko{$\mathrm{j}$}$は正の数である．
(4)$\displaystyle S=\frac{7}{64} \sqrt{3}$のとき，$x$の値を求めなさい．
$\displaystyle x=\frac{\mkakko{$\mathrm{l}$}}{\mkakko{$\mathrm{m}$}}$または$\displaystyle x=\frac{\mkakko{$\mathrm{n}$}}{\mkakko{$\mathrm{o}$} \mkakko{$\mathrm{p}$}}$である．ただし$\mkakko{$\mathrm{m}$}$と$\mkakko{$\mathrm{o}$}$は正の数である．
私立 京都女子大学 2015年 第3問$\triangle \mathrm{ABC}$において，辺$\mathrm{AB}$の長さを$\sqrt{3}$，辺$\mathrm{BC}$の長さを$2$，辺$\mathrm{CA}$の長さを$1$とし，$\angle \mathrm{A}$の二等分線と辺$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{D}$，$\angle \mathrm{C}$の二等分線と線分$\mathrm{AD}$の交点を$\mathrm{E}$とする．このとき，次の問に答えよ．
(1)線分$\mathrm{AD}$と$\mathrm{AE}$のそれぞれの長さを求めよ．
(2)$\triangle \mathrm{AEC}$の面積を求めよ．
(3)$\triangle \mathrm{AEC}$の面積と$\triangle \mathrm{EDC}$の面積の比を求めよ．
(1)線分$\mathrm{AD}$と$\mathrm{AE}$のそれぞれの長さを求めよ．
(2)$\triangle \mathrm{AEC}$の面積を求めよ．
(3)$\triangle \mathrm{AEC}$の面積と$\triangle \mathrm{EDC}$の面積の比を求めよ．
私立 西南学院大学 2015年 第1問三角形$\mathrm{ABC}$の面積を$S$，内接円の半径を$r$とする．$\mathrm{AB}=1+\sqrt{3}$，$\mathrm{BC}=\sqrt{6}$，$\angle \mathrm{ABC}={45}^\circ$のとき，以下の値を求めよ．
(1)$\mathrm{AC}=[ア]$
(2)$\angle \mathrm{BAC}={[イウ]}^\circ$
(3)$\displaystyle S=\frac{3+\sqrt{[エ]}}{[オ]}$
(4)$\displaystyle r=\frac{1}{2} \left( [カ]+\sqrt{[キ]}-\sqrt{[ク]} \right)$
(1)$\mathrm{AC}=[ア]$
(2)$\angle \mathrm{BAC}={[イウ]}^\circ$
(3)$\displaystyle S=\frac{3+\sqrt{[エ]}}{[オ]}$
(4)$\displaystyle r=\frac{1}{2} \left( [カ]+\sqrt{[キ]}-\sqrt{[ク]} \right)$
私立 西南学院大学 2015年 第6問三角形$\mathrm{ABC}$において，$\angle \mathrm{A}$の$2$等分線と辺$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{D}$とする．このとき$\mathrm{AB}:\mathrm{AC}=\mathrm{BD}:\mathrm{DC}$が成り立つことを証明せよ．