円に内接する四角形$\mathrm{ABCD}$において，$\mathrm{AB}=\sqrt{14}$，$\mathrm{AD}=\sqrt{3}$，$\mathrm{CD}=1$，対角線$\mathrm{AC}=\sqrt{7}$とする．以下の問に答えよ．

(1)$\angle \mathrm{ADC}$の大きさを求めよ．
(2)$\angle \mathrm{ACB}$の大きさを求めよ．

$0<\theta<1$とする．三角形$\mathrm{ABC}$において，$\displaystyle \mathrm{AB}=\mathrm{AC}=\frac{1}{\theta}$，$\angle \mathrm{BAC}=\theta$とする．また，辺$\mathrm{AB}$を$(1-\theta):\theta$に内分する点を$\mathrm{D}$とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)三角形$\mathrm{BCD}$の面積を$S$とする．$\displaystyle \lim_{\theta \to +0}S$を求めよ．
(2)$\displaystyle \lim_{\theta \to +0} \mathrm{BC}$を求めよ．
(3)$\displaystyle \lim_{\theta \to +0} \mathrm{CD}$を求めよ．

下図のような$\angle \mathrm{B}=\angle \mathrm{C}={30}^\circ$の二等辺三角形$\mathrm{ABC}$において，$\triangle \mathrm{ABC}$の外接円の中心を$\mathrm{O}$，半径を$\sqrt{3}$とする．さらに，弧$\mathrm{AC}$上に$\mathrm{AP}=\mathrm{PC}$となる点$\mathrm{P}$をとる．次の問いに答えよ．
（図は省略）

(1)辺$\mathrm{AB}$，$\mathrm{BC}$の長さを求めよ．
(2)線分$\mathrm{BP}$の長さを求めよ．
(3)$\angle \mathrm{BPC}$および$\mathrm{CP}$の長さを求めよ．
(4)四角形$\mathrm{ABCP}$の面積を求めよ．

平面上に長さ$5$の線分$\mathrm{AB}$がある．$\mathrm{B}$を中心とする半径$4$の円周上を点$\mathrm{C}$が動く．ただし，$\mathrm{C}$は直線$\mathrm{AB}$上にないとする．$\mathrm{A}$で直線$\mathrm{AB}$に接し$\mathrm{C}$を通る円を$\mathrm{O}$とする．直線$\mathrm{BC}$と円$\mathrm{O}$の交点のうち，$\mathrm{C}$でない点を$\mathrm{D}$とする．


(1)$\displaystyle \mathrm{CD}=\frac{[ク]}{[ケ]}$である．

(2)円$\mathrm{O}$の半径のとり得る長さの最小値は$\displaystyle \frac{[コ]}{[サ]}$である．

(3)$\triangle \mathrm{ACD}$のとり得る面積の最大値は$\displaystyle \frac{[シ]}{[ス]}$である．

(4)$\cos \angle \mathrm{ADC}$のとり得る値の最小値は$\displaystyle \frac{[セ]}{[ソ]}$である．

(5)円$\mathrm{O}$の半径と$\triangle \mathrm{ABC}$の外接円の半径が一致するとき$\mathrm{AD}=[タ]$である．

$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=7$，$\mathrm{BC}=5$，$\mathrm{AC}=8$とし，$\angle \mathrm{A}$の$2$等分線と辺$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{D}$とする．

(1)$\displaystyle \mathrm{BD}=\frac{[タ]}{[チ]}$である．

(2)$\displaystyle \mathrm{AD}=\frac{[ツ] \sqrt{[テ]}}{[ト]}$である．
(3)$\triangle \mathrm{ABC}$の外接円の半径を$R_1$，$\triangle \mathrm{ABD}$の外接円の半径を$R_2$とすると，$\displaystyle \frac{R_2}{R_1}=\frac{\sqrt{[ナ]}}{[ニ]}$である．

座標平面上に$3$点
\[ \mathrm{P}_1(25,\ 0),\quad \mathrm{P}_2(0,\ 0),\quad \mathrm{P}_3(3,\ 4) \]
をとる．このとき，三角形$\mathrm{P}_1 \mathrm{P}_2 \mathrm{P}_3$の外接円$C$の半径は$\displaystyle \frac{[ア][イ]}{[ウ]} \sqrt{[エ]}$である．$\mathrm{P}_3$を通り$x$軸に平行な直線と$C$の交点のうち$\mathrm{P}_3$と異なるものを$\mathrm{P}_4$とする．四角形$\mathrm{P}_1 \mathrm{P}_2 \mathrm{P}_3 \mathrm{P}_4$の$2$本の対角線の交点を$\mathrm{Q}$とするとき
\[ \sin (\angle \mathrm{P}_2 \mathrm{QP}_3)=\frac{[オ][カ]}{[キ][ク][ケ]} \]
である．$C$の弧$\mathrm{P}_1 \mathrm{P}_2 \mathrm{P}_3$に対する中心角を$\theta$とするとき
\[ \sin \theta=-\frac{[コ][サ]}{[シ][ス]} \]
となる．弧$\mathrm{P}_1 \mathrm{P}_4 \mathrm{P}_3$上の点$\mathrm{R}$を，四角形$\mathrm{P}_1 \mathrm{P}_2 \mathrm{P}_3 \mathrm{R}$の面積が最大になるようにとる．そのとき四角形の面積は$\displaystyle \frac{[セ][ソ][タ]}{[チ]}$である．

次の文章中の$[ア]$から$[ヨ]$までに当てはまる数字$0$～$9$を求めよ．

(1)実数$a$に対し，$2$つの$2$次関数

$f(x)=x^2-2a^2x-a^4-2a^2-8$
$g(x)=-x^2+2(a^2-4)x-3a^4-2a^3-16$

を考える．

(i) すべての実数$x$に対して$g(x)<f(x)$が成り立つための必要十分条件は
\[ a>-[ア] \quad \text{かつ} \quad a \neq [イ] \]
である．
(ii) $g(x)$の最大値は$-[ウ]a^4-[エ]a^3-[オ]a^2$である．
(iii) 次の条件$(*)$を満たす実数$b$がただ$1$つ存在するとする．

$(*)$ \quad 「すべての実数$x$に対して \ $g(x) \leqq b \leqq f(x)$ \ が成り立つ．」

このとき，
\[ a=-[カ] \quad \text{または} \quad a=[キ] \]
であり，$a=-[カ]$のときは$b=-[ク][ケ]$，$a=[キ]$のときは$b=-[コ][サ]$である．

(2)次の条件で定められる数列$\{a_n\}$，$\{b_n\}$を考える．
\[ a_1=1,\quad b_1=-2,\quad \left\{ \begin{array}{lcl}
a_{n+1} &=& 8a_n+b_n \\
b_{n+1} &=& -25a_n-2b_n
\end{array} \right. \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
このとき
\[ [シ]a_{n+1}+b_{n+1}=[ス]([シ]a_n+b_n) \]
であるので，
\[ b_n={[セ]}^n-[ソ]a_n \]
である．これにより
\[ \frac{a_{n+1}}{{[タ]}^n}=\frac{a_n}{{[タ]}^{n-1}}+1 \]
となる．したがって
\[ a_n=n \cdot {[チ]}^{n-\mkakko{ツ}} \]
となる．
(3)平面上に，$\triangle \mathrm{ABC}$とその内部の点$\mathrm{O}$をとったとき，

$\mathrm{OA}=1+\sqrt{3}$
$\mathrm{OB}=\sqrt{3}$
$\mathrm{OC}=\sqrt{2}$
$\sqrt{3} \overrightarrow{\mathrm{OA}}+2 \overrightarrow{\mathrm{OB}}+3 \overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{\mathrm{0}}$

となっていた．
このとき，内積$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}$の値は$\displaystyle \frac{-[テ]-\sqrt{[ト]}}{[ナ]}$であるので
\[ \angle \mathrm{AOB}={[ニ][ヌ][ネ]}^\circ \]
である．同様に$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}=-[ノ]-\sqrt{[ハ]}$から
\[ \angle \mathrm{AOC}={[ヒ][フ][ヘ]}^\circ \]
である．したがって，
\[ \angle \mathrm{BOC}={[ホ][マ][ミ]}^\circ \]
となる．また，
\[ \sin {[ホ][マ][ミ]}^\circ=\frac{\sqrt{[ム]} \left( [メ]+\sqrt{[モ]} \right)}{4} \]
である．したがって，$\triangle \mathrm{ABC}$の面積は$\displaystyle [ヤ]+\frac{[ユ] \sqrt{[ヨ]}}{2}$である．

原点を$\mathrm{O}$とする座標平面において点$\mathrm{R}(a,\ b) (a>0,\ b>0)$をとる．$x$軸の正の部分に点$\mathrm{P}$を，$y$軸の正の部分に点$\mathrm{Q}$を，線分$\mathrm{PQ}$が点$\mathrm{R}$を通るようにとる．以下，$\displaystyle \angle \mathrm{OPQ}=\theta \left( 0<\theta<\frac{\pi}{2} \right)$とおく．

(1)線分$\mathrm{PQ}$の長さを，$\theta$および$a,\ b$を用いて表しなさい．
(2)線分$\mathrm{PQ}$の長さを最小にする角$\theta$に対して，$\tan \theta$および線分$\mathrm{PQ}$の長さを$a,\ b$を用いて表しなさい．
(3)$a=1$，$b=8$とする．三角形$\mathrm{OPQ}$の$3$辺の長さの和を最小にする角$\theta$に対して，$\tan \theta$の値および線分$\mathrm{PQ}$の長さを求めなさい．

次の設問の空欄を，あてはまる数値や記号，式などで埋めなさい．

(1)$a$を正の定数とするとき，方程式$x^2-y^2+ax-y+2=0$が$2$直線を表すとする．$a=[$1$]$のとき，$2$直線の方程式はそれぞれ$[$2$]$，$[$3$]$となる．ただし，$[$2$]$，$[$3$]$は解答の順序を問わない．
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$の各辺の長さを$\mathrm{AB}=c$，$\mathrm{BC}=a$，$\mathrm{CA}=b$とする．$a=2$，$b=3$のとき，$c$のとりうる値の範囲は$[$4$]$である．また，$\angle \mathrm{C}$の大きさが${90}^\circ$のとき，$c=[$5$]$となる．
(3)$a>0$かつ$a^{2p}=5$であるとき，$\displaystyle \frac{a^{2p}-a^{-2p}}{a^p+a^{-p}}$の値は$[$6$]$である．
(4)関数$y={(\log_3 x)}^2-\log_3 x^4+5 (1 \leqq x \leqq 27)$は，$x=[$7$]$で最大値$[$8$]$をとり，$x=[$9$]$で最小値$[$10$]$をとる．
(5)関数$f(x)$が等式$\displaystyle f(x)=2x^2+\int_{-2}^0 xf(t) \, dt+\int_0^2 f(t) \, dt$を満たすとき，$f(x)=[$11$]$である．
(6)男性$8$人，女性$10$人からなる企業があるとする．このとき，男性$2$人，女性$3$人の役員を選ぶ場合の数は$[$12$]$通りである．また，この$5$人の役員を選んだとき，役員から社長と副社長をそれぞれ$1$人選出する場合の数は$[$13$]$通りである．
(7)ベクトル$\overrightarrow{a}=(2,\ 1)$に垂直で，大きさが$\sqrt{5}$のベクトルは$2$つあり，それぞれを$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$とすると，$\overrightarrow{b}=([$14$])$，$\overrightarrow{c}=([$15$])$である．ただし，$[$14$]$，$[$15$]$は解答の順序を問わない．
(8)数列$4,\ 9,\ 16,\ 25,\ 36,\ \cdots$について考える．この数列の第$n$項を$a_n$で表すと，$a_n=[$16$]$となるので，初項から第$n$項までの和$S_n$は$S_n=[$17$]n^3+[$18$]n^2+[$19$]n$と表すことができる．

次の$[　]$にあてはまる答を記せ．

(1)$k$を定数とするとき，方程式$\sqrt{4x-3}=x+k$の実数解の個数が$2$個となる$k$の値の範囲は$[ア]$，実数解の個数が$1$個となる$k$の値の範囲は$[イ]$である．また，曲線$y=\sqrt{4x-3}$と直線$y=x$で囲まれた部分を，$x$軸の周りに$1$回転させてできる立体の体積は$[ウ]$である．
(2)曲線$y=kx^3-1$と曲線$y=\log x$が共有点をもち，その点において共通の接線をもつとするとき，定数$k$の値は$[エ]$，共通の接線の方程式は$y=[オ]$である．
(3)数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和を$S_n$とするとき，$\{a_n\}$は
\[ a_1=1,\quad a_{n+1}=S_n+n^2+1 \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
を満たす．このとき，$a_4=[カ]$であり，$\{a_n\}$の一般項は$a_n=[キ]$である．また，$S_n=[ク]$である．
(4)$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=3$，$\mathrm{AC}=4$，$\displaystyle \angle \mathrm{A}=\frac{\pi}{3}$である．$\triangle \mathrm{ABC}$の外心を$\mathrm{O}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{c}$とおく．

(i) $\triangle \mathrm{ABC}$の外接円の半径は$[ケ]$である．
(ii) $\overrightarrow{\mathrm{AO}}$を$\overrightarrow{b}$と$\overrightarrow{c}$を用いて表すと$\overrightarrow{\mathrm{AO}}=[コ] \overrightarrow{b}+[サ] \overrightarrow{c}$である．
(iii) 直線$\mathrm{BO}$と辺$\mathrm{AC}$の交点を$\mathrm{P}$とするとき，$\mathrm{AP}:\mathrm{PC}$は$[シ]$である．

(5)$\mathrm{X}$君と$\mathrm{Y}$さんは，毎日正午に次の規則にしたがって食事をとる．

(i) 食堂$\mathrm{A}$，食堂$\mathrm{B}$，食堂$\mathrm{C}$のいずれかで食事をとる．
(ii) 食堂は前日とは異なる$2$つの食堂のうちの$1$つを無作為に選ぶ．
(iii) $2$人が同じ食堂を選んだ日は，必ず一緒に食事をとる．

$1$日目，$2$人は別々の食堂で食事をとったとする．このとき，$3$日目に初めて$2$人が一緒に食事をとる確率は$[ス]$である．また，$2$人が一緒に食事をとる$2$回目の日が$7$日目となる確率は$[セ]$である．