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国立 山口大学 2015年 第2問$\triangle \mathrm{ABC}$において，辺$\mathrm{BC}$上に頂点$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$とは異なる点$\mathrm{P}$をとる．$\mathrm{AB}=l$，$\mathrm{AP}=m$，$\angle \mathrm{PAB}=\alpha$，$\angle \mathrm{PAC}=\beta$とするとき，次の問いに答えなさい．
(1)$\triangle \mathrm{ABP}$の面積を$l,\ m,\ \alpha$を用いて表しなさい．
(2)$\mathrm{AC}$の長さおよび$\triangle \mathrm{ABC}$の面積$S$を$l,\ m,\ \alpha,\ \beta$を用いて表しなさい．
(3)次の不等式が成り立つことを示しなさい．
\[ S \geqq \frac{2m^2 \sin \alpha \sin \beta}{\sin (\alpha+\beta)} \]
(1)$\triangle \mathrm{ABP}$の面積を$l,\ m,\ \alpha$を用いて表しなさい．
(2)$\mathrm{AC}$の長さおよび$\triangle \mathrm{ABC}$の面積$S$を$l,\ m,\ \alpha,\ \beta$を用いて表しなさい．
(3)次の不等式が成り立つことを示しなさい．
\[ S \geqq \frac{2m^2 \sin \alpha \sin \beta}{\sin (\alpha+\beta)} \]
国立 山口大学 2015年 第2問$\triangle \mathrm{ABC}$において，辺$\mathrm{BC}$上に頂点$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$とは異なる点$\mathrm{P}$をとる．$\mathrm{AB}=l$，$\mathrm{AP}=m$，$\angle \mathrm{PAB}=\alpha$，$\angle \mathrm{PAC}=\beta$とし，$\triangle \mathrm{ABC}$の面積を$S$とするとき，次の問いに答えなさい．
(1)$\mathrm{AC}$を$l,\ m,\ \alpha,\ \beta$を用いて表しなさい．
(2)次の不等式が成り立つことを示しなさい．
\[ S \geqq \frac{2m^2 \sin \alpha \sin \beta}{\sin (\alpha+\beta)} \]
(3)$\triangle \mathrm{ABC}$の重心を$\mathrm{G}$とする．$\displaystyle S=\frac{2m^2 \sin \alpha \sin \beta}{\sin (\alpha+\beta)}$のとき，$\displaystyle \frac{\mathrm{AG}}{\mathrm{PG}}$の値を求めなさい．
(1)$\mathrm{AC}$を$l,\ m,\ \alpha,\ \beta$を用いて表しなさい．
(2)次の不等式が成り立つことを示しなさい．
\[ S \geqq \frac{2m^2 \sin \alpha \sin \beta}{\sin (\alpha+\beta)} \]
(3)$\triangle \mathrm{ABC}$の重心を$\mathrm{G}$とする．$\displaystyle S=\frac{2m^2 \sin \alpha \sin \beta}{\sin (\alpha+\beta)}$のとき，$\displaystyle \frac{\mathrm{AG}}{\mathrm{PG}}$の値を求めなさい．
国立 山口大学 2015年 第3問$a,\ b$を定数とする．空間内に$4$点$\mathrm{A}(1,\ 5,\ 9)$，$\mathrm{B}(3,\ 4,\ 8)$，$\mathrm{C}(2,\ 6,\ 7)$，$\mathrm{D}(a,\ b,\ 12)$がある．$\triangle \mathrm{ABC}$の重心を$\mathrm{G}$とする．$\mathrm{AG} \perp \mathrm{DG}$，$\mathrm{BG} \perp \mathrm{DG}$であるとき，次の問いに答えなさい．
(1)点$\mathrm{G}$の座標と$a,\ b$の値を求めなさい．
(2)$\angle \mathrm{BAC}$の大きさを求めなさい．
(3)$\triangle \mathrm{ABC}$の面積を求めなさい．
(4)点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$を頂点とする四面体の体積を求めなさい．
(1)点$\mathrm{G}$の座標と$a,\ b$の値を求めなさい．
(2)$\angle \mathrm{BAC}$の大きさを求めなさい．
(3)$\triangle \mathrm{ABC}$の面積を求めなさい．
(4)点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$を頂点とする四面体の体積を求めなさい．
国立 京都教育大学 2015年 第2問次のような，一辺の長さが$1$の正八面体を考える．ただし，$\mathrm{M}$は辺$\mathrm{BC}$の中点である．
（図は省略）
(1)$\cos \angle \mathrm{AMD}$を求めよ．
(2)$\triangle \mathrm{AMD}$の面積を求めよ．
（図は省略）
(1)$\cos \angle \mathrm{AMD}$を求めよ．
(2)$\triangle \mathrm{AMD}$の面積を求めよ．
私立 慶應義塾大学 2015年 第2問次の$[ ]$にあてはまる最も適当な数または式を解答欄に記入しなさい．
(1)多項式$f(x)=5x^3-12x^2+8x+1$を$x-1$で割ったときの商$g(x)$は$g(x)=[ケ]$であり，余りは$[コ]$である．また，$g(x)$を$x-1$で割ったときの余りは$[サ]$である．
さらに，定数$[コ]$，$[サ]$，$[シ]$，$[ス]$を用いると，$x$についての恒等式
\[ \frac{f(x)}{(x-1)^4}=\frac{[コ]}{(x-1)^4}+\frac{[サ]}{(x-1)^3}+\frac{[シ]}{(x-1)^2}+\frac{[ス]}{x-1} \]
が成り立つ．
(2)点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円周上の$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$が
\[ 5 \overrightarrow{\mathrm{OA}}+6 \overrightarrow{\mathrm{OB}}=-7 \overrightarrow{\mathrm{OC}} \]
を満たすとする．このとき$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}=[セ]$であり，$|\overrightarrow{\mathrm{AB}}|=[ソ]$である．また$\angle \mathrm{ACB}$の大きさを$\theta ({0}^\circ \leqq \theta \leqq {180}^\circ)$とすると$\sin \theta=[タ]$である．
(1)多項式$f(x)=5x^3-12x^2+8x+1$を$x-1$で割ったときの商$g(x)$は$g(x)=[ケ]$であり，余りは$[コ]$である．また，$g(x)$を$x-1$で割ったときの余りは$[サ]$である．
さらに，定数$[コ]$，$[サ]$，$[シ]$，$[ス]$を用いると，$x$についての恒等式
\[ \frac{f(x)}{(x-1)^4}=\frac{[コ]}{(x-1)^4}+\frac{[サ]}{(x-1)^3}+\frac{[シ]}{(x-1)^2}+\frac{[ス]}{x-1} \]
が成り立つ．
(2)点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円周上の$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$が
\[ 5 \overrightarrow{\mathrm{OA}}+6 \overrightarrow{\mathrm{OB}}=-7 \overrightarrow{\mathrm{OC}} \]
を満たすとする．このとき$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}=[セ]$であり，$|\overrightarrow{\mathrm{AB}}|=[ソ]$である．また$\angle \mathrm{ACB}$の大きさを$\theta ({0}^\circ \leqq \theta \leqq {180}^\circ)$とすると$\sin \theta=[タ]$である．
私立 立教大学 2015年 第2問図のように$\angle \mathrm{ACB}$が直角である直角三角形$\mathrm{ABC}$があり，$a=\mathrm{BC}$，$b=\mathrm{CA}$，$c=\mathrm{AB}$，$\displaystyle \angle \mathrm{ABC}=\theta \left( 0<\theta<\frac{\pi}{2} \right)$，$\displaystyle t=\tan \frac{\theta}{2}$とする．このとき，次の問に答えよ．
（図は省略）
(1)$\displaystyle \frac{a}{c},\ \frac{b}{c}$をそれぞれ$t$を用いて表せ．
(2)$\displaystyle \frac{b}{a+c}$を$t$を用いて表せ．
(3)$\displaystyle \frac{b}{c}=\frac{12}{13}$となる$t$の値を求めよ．
(4)$a,\ b,\ c$を適当に並び換えると等差数列になるときの$\displaystyle \frac{a}{c},\ \frac{b}{c}$の値の組をすべて求めよ．
（図は省略）
(1)$\displaystyle \frac{a}{c},\ \frac{b}{c}$をそれぞれ$t$を用いて表せ．
(2)$\displaystyle \frac{b}{a+c}$を$t$を用いて表せ．
(3)$\displaystyle \frac{b}{c}=\frac{12}{13}$となる$t$の値を求めよ．
(4)$a,\ b,\ c$を適当に並び換えると等差数列になるときの$\displaystyle \frac{a}{c},\ \frac{b}{c}$の値の組をすべて求めよ．
私立 自治医科大学 2015年 第9問円$C:x^2+y^2=20$と円$C$の外部に存在する点$\mathrm{R}(8,\ a)$（$a$は負の実数）について考える．点$\mathrm{R}$を通り円$C$に接する直線は$2$つ存在する．この$2$つの直線が円$C$と接する点を$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$とする（点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$の$x$座標をそれぞれ$p,\ q$とする）．$\angle \mathrm{PRQ}={60}^\circ$となるとき，$|a+p+q|$の値を求めよ．
私立 中央大学 2015年 第3問$1$辺の長さが$1$の正方形$\mathrm{ABCD}$がある．辺$\mathrm{BC}$の中点を$\mathrm{E}$，辺$\mathrm{CD}$の$3$等分点のうち$\mathrm{C}$に近い方を$\mathrm{F}$，線分$\mathrm{AE}$と線分$\mathrm{BF}$との交点を$\mathrm{G}$とする．このとき，以下の設問に答えよ．
(1)$\sin \angle \mathrm{EAB}$の値を求めよ．
(2)線分$\mathrm{BG}$の長さを求めよ．
(3)四角形$\mathrm{AGFD}$の面積を求めよ．
(1)$\sin \angle \mathrm{EAB}$の値を求めよ．
(2)線分$\mathrm{BG}$の長さを求めよ．
(3)四角形$\mathrm{AGFD}$の面積を求めよ．
私立 東京理科大学 2015年 第2問原点を$\mathrm{O}$とする座標空間内に$2$点$\mathrm{A}(3,\ -2,\ 1)$，$\mathrm{B}(1,\ 2,\ 5)$を定め，$t$を実数として，$z$軸上を動く点$\mathrm{P}(0,\ 0,\ t)$をとる．
(1)線分$\mathrm{AB}$の長さは$[ア]$である．
(2)線分$\mathrm{AP}$の長さと線分$\mathrm{BP}$の長さが等しくなるのは$t=[イ]$のときである．
(3)$\angle \mathrm{APB}$が直角となるのは$t=[ウ] \pm \sqrt{[エ]}$のときである．
(4)$\triangle \mathrm{ABP}$の面積が最小となるのは$\displaystyle t=\frac{[オ][カ]}{[キ]}$のときである．
(1)線分$\mathrm{AB}$の長さは$[ア]$である．
(2)線分$\mathrm{AP}$の長さと線分$\mathrm{BP}$の長さが等しくなるのは$t=[イ]$のときである．
(3)$\angle \mathrm{APB}$が直角となるのは$t=[ウ] \pm \sqrt{[エ]}$のときである．
(4)$\triangle \mathrm{ABP}$の面積が最小となるのは$\displaystyle t=\frac{[オ][カ]}{[キ]}$のときである．
私立 東京理科大学 2015年 第2問$\mathrm{AB}=2$，$\mathrm{BC}=3$，$\mathrm{CD}=6$，$\mathrm{DA}=5$である四角形$\mathrm{ABCD}$があり，この四角形は円$\mathrm{O}$に内接している．
(1)$\displaystyle \cos \angle \mathrm{B}=-\frac{[ア]}{[イ]}$であり，$\mathrm{AC}=\sqrt{[ウ][エ]}$である．
(2)円$\mathrm{O}$の半径は$\displaystyle \frac{[オ]}{[カ][キ]} \sqrt{[ク][ケ][コ]}$である．
(3)四角形$\mathrm{ABCD}$の面積は$[サ] \sqrt{[シ]}$である．
(4)四角形$\mathrm{ABCD}$は，ある円に外接している．この円の半径は$\displaystyle \frac{[ス]}{[セ]} \sqrt{[ソ]}$である．
(1)$\displaystyle \cos \angle \mathrm{B}=-\frac{[ア]}{[イ]}$であり，$\mathrm{AC}=\sqrt{[ウ][エ]}$である．
(2)円$\mathrm{O}$の半径は$\displaystyle \frac{[オ]}{[カ][キ]} \sqrt{[ク][ケ][コ]}$である．
(3)四角形$\mathrm{ABCD}$の面積は$[サ] \sqrt{[シ]}$である．
(4)四角形$\mathrm{ABCD}$は，ある円に外接している．この円の半径は$\displaystyle \frac{[ス]}{[セ]} \sqrt{[ソ]}$である．